« Fonctions d'une variable réelle/Continuité » : différence entre les versions

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[[Fichier:Floor function.svg|thumb|Graphe de la fonction partie entière.]]
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* La fonction [[w:Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] n'est continue en aucun point de <math>\Z</math>.
* La fonction [[w:Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] n'est continue en aucun point de <math>\Z</math>.
*:On rappelle que cette fonction <math>E</math> est définie par :<center><math>\forall x \in \R\quad E(x)=n\Leftrightarrow\left(n\in\Z\quad\text{et}\quad n\le x < n+1\right)</math>.</center>Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, <math>\lim_{x \to0^-} {E(x)} =-1</math> mais <math>E(0)=0</math>.
*:On rappelle que cette fonction <math>E</math> est définie par :<div style="text-align: center;"><math>\forall x \in \R\quad E(x)=n\Leftrightarrow\left(n\in\Z\quad\text{et}\quad n\le x < n+1\right)</math>.</div>Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, <math>\lim_{x \to0^-} {E(x)} =-1</math> mais <math>E(0)=0</math>.


<u>Remarque :</u> Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction <math>f:\R\to\R</math> définie par
<u>Remarque :</u> Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction <math>f:\R\to\R</math> définie par
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En résumé :
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<center>{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.}}</center>
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.}}</div>


{{Démonstration déroulante|contenu=
{{Démonstration déroulante|contenu=
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Toute fonction '''continue sur un intervalle fermé borné''' est bornée et y atteint ses bornes.
Toute fonction '''continue sur un intervalle fermé borné''' est bornée et y atteint ses bornes.
Autrement dit : Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math> [a,b]</math>, alors il existe <math>c,d\in[a,b]</math> tels que <math>\inf(f([a,b])=f(c)</math> et <math>\sup(f([a,b]))=f(d)</math>, ou encore, en tenant compte du théorème précédent, tels que :
Autrement dit : Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math> [a,b]</math>, alors il existe <math>c,d\in[a,b]</math> tels que <math>\inf(f([a,b])=f(c)</math> et <math>\sup(f([a,b]))=f(d)</math>, ou encore, en tenant compte du théorème précédent, tels que :
<center><math>f([a,b])=[f(c),f(d)]</math>.</center>
<div style="text-align: center;"><math>f([a,b])=[f(c),f(d)]</math>.</div>
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En résumé :
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<center>{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.}}</center>
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.}}</div>


[[Fichier:Extrem value theorem.png|thumb|centre|La fonction atteint ses bornes en ''c'' et ''d''.]]
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On dit aussi que <math>f</math> réalise un '''homéomorphisme''' entre <math>[a,b]</math> et <math>J</math>. Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans [https://books.google.fr/books?id=6OpUAAAAYAAJ&q=surjection+monotone Alain Mézard et Charles Delorme, ''Cours de mathématiques supérieures'', vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255].
On dit aussi que <math>f</math> réalise un '''homéomorphisme''' entre <math>[a,b]</math> et <math>J</math>. Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans [https://books.google.fr/books?id=6OpUAAAAYAAJ&q=surjection+monotone Alain Mézard et Charles Delorme, ''Cours de mathématiques supérieures'', vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255].
<center>{{Encadre|contenu=Toute surjection monotone d'une partie de <math>\R</math> sur un intervalle est continue.}}</center>
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=Toute surjection monotone d'une partie de <math>\R</math> sur un intervalle est continue.}}</div>


{{Démonstration déroulante|titre=Preuves du lemme et du théorème|contenu=
{{Démonstration déroulante|titre=Preuves du lemme et du théorème|contenu=
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{{Remarque|D'après le lemme, toute bijection monotone entre intervalles réels est continue. La réciproque se généralise :
{{Remarque|D'après le lemme, toute bijection monotone entre intervalles réels est continue. La réciproque se généralise :
<center>Toute injection continue d'un intervalle réel dans <math>\R</math> est monotone.</center>
<div style="text-align: center;">Toute injection continue d'un intervalle réel dans <math>\R</math> est monotone.</div>
{{Démonstration déroulante|contenu=On peut utiliser [[Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 5|des arguments de connexité]], ou démontrer plus généralement que toute [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux|fonction de Darboux]] (c.-à-d. toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires) injective sur un intervalle [''a'', ''b''] est monotone : soit ''f'' une telle fonction, avec par exemple ''f''(''a'') < ''f''(''b''). Pour tous ''x < y ''dans [''a'', ''b''[, par hypothèse sur ''f'', ''f''(''a'') et ''f''(''x'') sont d'un côté de ''f''(''y'') et ''f''(''b'') est de l'autre côté, donc ''f''(''x'') < ''f''(''y'') < ''f''(''b'') et ''f'' est croissante.
{{Démonstration déroulante|contenu=On peut utiliser [[Topologie générale/Exercices/Connexité#Exercice 5|des arguments de connexité]], ou démontrer plus généralement que toute [[Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Théorème de Darboux|fonction de Darboux]] (c.-à-d. toute fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires) injective sur un intervalle [''a'', ''b''] est monotone : soit ''f'' une telle fonction, avec par exemple ''f''(''a'') < ''f''(''b''). Pour tous ''x < y ''dans [''a'', ''b''[, par hypothèse sur ''f'', ''f''(''a'') et ''f''(''x'') sont d'un côté de ''f''(''y'') et ''f''(''b'') est de l'autre côté, donc ''f''(''x'') < ''f''(''y'') < ''f''(''b'') et ''f'' est croissante.
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Version du 23 juillet 2017 à 00:02

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Continuité
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Chapitre no 3
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chap. préc. :Limites
Chap. suiv. :Dérivabilité

Exercices :

Continuité
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Fonctions d'une variable réelle/Continuité
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Définition et interprétation géométrique


Interprétation géométrique « naïve »:

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer le graphe sans lever le crayon.

Exemples et contre-exemples :

  • La fonction est continue sur .
  • La fonction est continue sur mais pas en 0 (tout simplement parce qu'elle n'y est pas définie !).
Graphe de la fonction partie entière.
  • La fonction partie entière n'est continue en aucun point de .
    On rappelle que cette fonction est définie par :
    .
    Elle a un graphique « en escalier » (voir illustration ci-contre) : par exemple, mais .

Remarque : Cette interprétation fonctionne bien dans la très grande majorité des cas, mais il existe des cas « pathologiques ». Par exemple, la fonction définie par

n'est continue qu'en zéro (du fait de la densité de dans , on ne peut tracer la courbe de ).

Prolongement par continuité


Exemple : On connaît la limite . Si la fonction est définie par , son prolongement par continuité en est donc :

Continuité et opérations

Les propriétés suivantes découlent directement des propriétés correspondantes pour les limites de fonctions (limites et opérations et limite d'une fonction composée).

Théorèmes sur les fonctions continues

Voici trois théorèmes importants sur les fonctions continues réelles (ils possèdent des généralisations en topologie).

Début d’un théorème
Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle.

Début d’un théorème
Fin du théorème


En résumé :

L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.

La fonction atteint ses bornes en c et d.
Début d’un théorème
Fin du théorème


On dit aussi que réalise un homéomorphisme entre et . Le point essentiel de ce théorème est la continuité de la réciproque. Elle repose le lemme suivant, dont l'énoncé est rarement explicité mais figure dans Alain Mézard et Charles Delorme, Cours de mathématiques supérieures, vol. 2, PUF, 1994, p. 101 et 255.

Toute surjection monotone d'une partie de sur un intervalle est continue.