Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité

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Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $\varphi \in \operatorname {L} (E)$.

Définition

Définition : endomorphisme trigonalisable - trigonalisation

• $\varphi$ est trigonalisable si, et seulement si, il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est triangulaire supérieure .
• Trigonaliser un endomorphisme, c’est déterminer une base de trigonalisation pour cet endomorphisme.

Remarque

On obtient une définition équivalente en remplaçant « triangulaire supérieure » par « triangulaire inférieure ». En effet, on vérifie facilement que la matrice de $\varphi$ dans une base $(e_{1},\dots ,e_{n})$ est triangulaire supérieure si et seulement si celle dans $(e_{n},\dots ,e_{1})$ est triangulaire inférieure. Ou plus savamment (cf. cet exercice du chapitre 7) : toute matrice est semblable à sa transposée.

Théorème de trigonalisation

Début d’un théorème

Théorème de trigonalisation

$\varphi$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $K$.

Fin du théorème

Démonstration

Si $\varphi$ est trigonalisable alors son polynôme caractéristique $p_{\varphi }$ est scindé puisque c'est le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire T (ses racines sont les coefficients diagonaux de T).

La réciproque se démontre par récurrence sur $n=\dim E$ (le cas $n=1$ est évident). Soit $n>1$. Supposons que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $n-1$ dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable, et donnons-nous un endomorphisme $\varphi$ d'un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ dont le polynôme caractéristique $p_{\varphi }$ est scindé.

$p_{\varphi }$ admet au moins une racine $\lambda$. Comme $\lambda$ est une valeur propre de $\varphi$, il existe un vecteur non nul $e_{1}\in E$ tel que $\varphi (e_{1})=\lambda e_{1}$. On peut le compléter en une base $\left(e_{1},\dots ,e_{n}\right)$ de $E$. La matrice de $\varphi$ dans cette base est de la forme

${\begin{pmatrix}\lambda &L\\0&B\end{pmatrix}}\quad {\text{donc}}\quad p_{\varphi }(X)=(\lambda -X)p_{B}(X)$

(en calculant le déterminant par blocs), si bien que $p_{\varphi }(X)$ est scindé. Par hypothèse de récurrence, $B$ est alors semblable à une matrice triangulaire supérieure, donc $\varphi$ est trigonalisable.

 

Corollaire

Si $K$ est un corps algébriquement clos (par exemple, le corps $\mathbb {C}$ des complexes), alors $\varphi$ est trigonalisable.

Exemples

Matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels

Soit $M={\begin{pmatrix}1&3\\-{\frac {3}{4}}&-2\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )$ ; son polynôme caractéristique est $p_{M}(X)=\left(X+{\frac {1}{2}}\right)^{2}$ qui a comme unique racine $-{\frac {1}{2}}$, qui est donc l'unique valeur propre de $M$.

On peut déjà en déduire que $M$ n'est pas diagonalisable (car $M\neq -{\frac {1}{2}}I_{2}$) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre $E_{-{\frac {1}{2}}}$ est de dimension 1.

Le calcul le confirme :

$E_{-{\frac {1}{2}}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}2x\\-x\end{pmatrix}}~\right|~x\in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Vect} (e'_{1})$, avec $e'_{1}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$.

On peut alors compléter $e'_{1}$ avec par exemple le vecteur $e'_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$, de manière que $B'=(e_{1}',e'_{2})$ forme une base de $\mathbb {R} ^{2}$.

On sait déjà que $Me'_{1}={\frac {-1}{2}}e_{1}'$ et l'on trouve facilement $Me'_{2}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\frac {3}{2}}e'_{1}-{\frac {1}{2}}e'_{2}$.

La matrice $M$ dans la base $B'$ s'écrit donc

$T={\begin{pmatrix}{\frac {-1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\0&{\frac {-1}{2}}\end{pmatrix}}$.

La matrice $P$ telle que $M=PTP^{-1}$ n'est autre que la matrice de passage de la base canonique $B=(e_{1},e_{2})$ à la base $B'$. Elle est donc constituée des vecteurs de $B'$ exprimés dans la base $B$ :

$P={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}$.

De même, pour calculer $P^{-1}$, il suffit d'exprimer les vecteurs de $B$ dans la base $B'$. On trouve facilement

$e_{1}={\frac {1}{2}}e'_{1}+{\frac {1}{2}}e'_{2}$ et $e_{2}=e'_{2}$ donc

$P^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}$.

Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes

Soit $M={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &2&-1\\0&\mathrm {i} &0\\0&-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{3}(\mathbb {C} )$ ; son polynôme caractéristique est $p_{M}(X)=\left(\mathrm {i} -X\right)^{2}(2-X)$.

Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs : $E_{\mathrm {i} }=\operatorname {Vect} (e'_{1})$ et $E_{2}=\operatorname {Vect} (e'_{2})$ avec

$e'_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\in E_{\mathrm {i} }$ et $e'_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\\mathrm {i} -2\end{pmatrix}}$,

que l’on complète par $e'_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ pour former une base $B'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ de $\mathbb {C} ^{3}$, et l'on calcule :

$Me'_{3}={\frac {8-\mathrm {i} }{5}}e'_{1}+{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}e'_{2}+\mathrm {i} e'_{3}$.

La matrice $M$ dans $B'$ est donc

$T={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0&{\frac {8-\mathrm {i} }{5}}\\0&2&{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}\\0&0&i\end{pmatrix}}$

et l’on a $M=PTP^{-1}$ avec $P$ la matrice de passage de la base canonique $B$ à la base $B'$, d'où :

$P={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&\mathrm {i} -2&0\end{pmatrix}}$ et $P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}\\0&0&{\frac {-2-\mathrm {i} }{5}}\\0&1&0\end{pmatrix}}$.