Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

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Définition

Soit $\phi \in ℒ(E)$.

Définition : endomorphisme diagonalisable - diagonalisation

• $\phi$ est dit diagonalisable s'il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres pour $\phi$.

En dimension finie, cela équivaut à dire qu’il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $\phi$ est diagonale.

• Diagonaliser $\phi$ , c’est déterminer une base de vecteurs propres pour $\phi$.

En effet, si $\underset{\_}{f}=(f_1,\cdots ,f_n)$ est une base de vecteurs propres, alors en notant ${\lambda }_i$ la valeur propre correspondant au vecteur propre $f_i$ (les ${\lambda }_i$ ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de $\phi$ dans la base $\underset{\_}{f}$ est :

$M_{\phi }(\underset{\_}{f})=\left(\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& & & & & \\ & {\lambda }_2& & & (0)& \\ & & \ddots & & & \\ & & & \ddots & & \\ & (0)& & & {\lambda }_{n-1}& \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

Théorème de diagonalisation

On suppose $E$ de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ finie et l'on note $p=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{S}\mathrm{p}(\phi ))$ le nombre de valeurs propres de $\phi$.

Début d’un théorème

Théorème de diagonalisation

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $\phi \in ℒ(E)$ est diagonalisable ;
2. $E=\underset{i=1}{\overset{p}{⨁}}{E}_{{\lambda }_i}(\phi )$ ;
3. $n=\sum _{i=1}^p\dim E_{{\lambda }_i}(\phi )$ ;
4. le polynôme caractéristique est scindé et pour tout $i\in [[1,p]]$, la dimension de $E_{{\lambda }_i}(\phi )$ est égale à la multiplicité de ${\lambda }_i$ comme racine du polynôme caractéristique ;
5. il existe un polynôme scindé et à racines simples qui annule $\phi$ ;
6. le polynôme minimal de $\phi$ est scindé et à racines simples.

Fin du théorème

'Démonstration'

$(1\iff 2)$ Comme $\phi \in ℒ(E)$ est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de $\phi$. En l'ordonnant dans l’ordre des ${\lambda }_i$, on obtient que les $E_{{\lambda }_i}(\phi )$ sont bien supplémentaires. Réciproquement, si les $E_{{\lambda }_i}(\phi )$ sont supplémentaires, alors la réunion "ordonnée" des bases des sous-espaces propres donne bien une base de diagonalisation.
$(2\Rightarrow 3)$ Cela découle des propriétés de la somme directe.
$(3\Rightarrow 2)$ On remarque que $E_{{\lambda }_i}(\phi )=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\phi -{\lambda }_i{\mathrm{I}\mathrm{d}}_E)$ et, comme les ${\lambda }_i$ sont deux à deux distincts, les polynômes $(X-{\lambda }_i)$ sont deux à deux premiers entre eux, donc le Lemme des noyaux nous assure que les $E_{{\lambda }_i}(\phi )$ sont en somme directe. Comme, par hypothèse, la somme de leurs dimensions vaut $n=\dim E$ , on en déduit qu’ils sont supplémentaires.
$(3\Rightarrow 4)$ Remarquons d’abord que, comme on vient de démontrer que $(1)$ équivaut à $(3)$ , on sait donc que $\phi$ est diagonalisable et il existe donc une base dans laquelle sa matrice est diagonale. En calculant le polynôme caractéristique de cette matrice, on obtient le résultat voulu.
$(4\Rightarrow 3)$ La somme des multiplicités vaut $n$ , car c’est le degré du polynôme caractéristique.
$(2\iff 5)$ Cela découle du lemme des noyaux : $E=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}0=\underset{i=1}{\overset{p}{⨁}}{E}_{{\lambda }_i}(\phi )=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\prod _{i=1}^n(\phi -{\lambda }_i{\mathrm{I}\mathrm{d}}_E))$, ce qui montre que $\prod _{i=1}^n(X-{\lambda }_i)$ annule $\phi$.
$(5\Rightarrow 6)$ S'il existe un polynôme $P$ scindé et à racines simples qui annule $\phi$, alors le polynôme minimal de $\phi$, puisqu'il divise $P$, est aussi scindé et à racines simples.
$(6\Rightarrow 5)$ Évident : le polynôme minimal est une réponse à la question d'existence de $(5)$.

 

Interprétation matricielle

Définition : Matrice diagonalisable - Diagonalisation

• $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire si :

$\mathrm{\exists }P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)\mathrm{\exists }D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)\in {\mathrm{M}}_n(K)A=PD{P}^{-1}$.

• Diagonaliser une matrice $A$ , c’est déterminer des matrices $P$ et $D$ vérifiant l'égalité ci-dessus.

Contre-exemple

Si $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ n'a qu'une valeur propre $\lambda$, d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à $\lambda$ — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.

En effet, la seule matrice diagonale ayant $\lambda$ comme valeur propre d'ordre n est $\lambda {\mathrm{I}}_n$, et $P\lambda {\mathrm{I}}_n{P}^{-1}=\lambda {\mathrm{I}}_n$.

Début d’un théorème

Théorème de diagonalisation

Les assertions suivantes sont équivalentes :

• $A\in {\mathrm{M}}_n(K)$ est diagonalisable ;
• $K^n=\underset{i=1}{\overset{p}{⨁}}{E}_{{\lambda }_i}(A)$ ;
• $n=\sum _{i=1}^p\dim E_{{\lambda }_i}(A)$ ;
• le polynôme caractéristique est scindé et pour tout $i\in [[1,p]]$, la dimension de $E_{{\lambda }_i}(A)$ est égale à la multiplicité de ${\lambda }_i$ comme racine du polynôme caractéristique ;
• il existe un polynôme scindé à racines simples qui annule $A$ ;
• Le polynôme minimal de $A$ est scindé et à racines simples.

Fin du théorème

Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :

Propriété

Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque de $E$ est diagonalisable.

En effet, si $A=M_{\phi }(\underset{\_}{e})$ alors, en notant $\underset{\_}{f}$ une base de vecteurs propres pour $\phi$, la formule de changement de base donne :

$M_{\phi }(\underset{\_}{e})=P(\underset{\_}{e},\underset{\_}{f})M_{\phi }(\underset{\_}{f})P(\underset{\_}{f},\underset{\_}{e})$ et donc $P=P(\underset{\_}{e},\underset{\_}{f})$ et $D=M_{\phi }(\underset{\_}{f})$.

Méthode pratique de diagonalisation

En pratique, si l’on cherche à diagonaliser $A\in {𝕄}_n(ℝ)$:

• on calcule le polynôme caractéristique $p_A(t)=det(A-t{I}_n)$ (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de $A$ en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de $A$ );
• pour chaque valeur propre $\lambda$ , on détermine le sous-espace propre $E_{\lambda }(A)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A-\lambda I_n)$ (ou, si l’on préfère, on résout le système $(A-\lambda I_n)X=0$ ) et on obtient une base de $E_{\lambda }(A)$ , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre $\lambda$ ;
• si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres $\lambda$ , $\dim E_{\lambda }(A)$ est égale à la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique $p_A$ , alors $A$ est diagonalisable et on a $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ (les valeurs propres sont mises chacune $\dim E_{\lambda }(A)$ fois) et $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice $D$. On a alors $A=PD{P}^{-1}⟺D=P^{-1}AP$ .

Exemple :Soit $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& -1\\ 2& -1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\in {𝕄}_3(ℝ)$
$p_A(X)=\det (A-X{I}_3)=\left|\begin{array}{ccc}-X& 3& -1\\ 2& -1-X& 1\\ 0& 0& 2-X\end{array}\right|=-(2-X{)}^2(3+X)$
Donc les valeurs propres sont :

• 2 de multiplicité 2
• -3 de multiplicité 1

Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de $E_2(A)$ : On cherche les $X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$ tels que :
$(A-2I_3)X=0$
$\iff \left[\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ 2& -3& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=0\iff -2x_1+3x_2-x_3=0$
Donc $E_2(A)=\mathrm{Vect}\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\end{array}\right]\}$
On procède de même pour $E_{-3}(A)$ et on obtient :
$E_{-3}(A)=\mathrm{Vect}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\right\}$
On a bien : $\dim (E_2(A))=2$ et $\dim (E_{-3}(A))=1$, donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : $D=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -3\end{array}\right]$, avec $P=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 3& -2& 0\end{array}\right]$