Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Réduction des endomorphismes : Diagonalisabilité
Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit .


En effet, si est une base de vecteurs propres, alors en notant la valeur propre correspondant au vecteur propre (les ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de dans la base est :


Théorème de diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

On suppose de dimension finie et on note le nombre de valeurs propres de .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :

En effet, si , alors en notant une base de vecteurs propres pour , la Formule de Changement de base donne :
et donc et .

Méthode pratique de diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

En pratique, si l’on cherche à diagonaliser :

  • on calcule le polynôme caractéristique (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de );
  • pour chaque valeur propre , on détermine le sous-espace propre (ou, si l’on préfère, on résout le système ) et on obtient une base de , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre  ;
  • si pour toutes les valeurs propres , est égale à la multiplicité de dans le polynôme caractéristique , alors est diagonalisable et on a (les valeurs propres sont mises chacune fois) et est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice . On a alors .

Exemple :Soit

Donc les valeurs propres sont :

  • 2 de multiplicité 2
  • -3 de multiplicité 1


Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de  : On cherche les tels que :


Donc
On procède de même pour et on obtient :

On a bien : et , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : , avec