Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité

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Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité
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Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit .


En effet, si est une base de vecteurs propres, alors en notant la valeur propre correspondant au vecteur propre (les ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de dans la base est :

Théorème de diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

On suppose de dimension finie et l'on note le nombre de valeurs propres de .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Interprétation matricielle[modifier | modifier le wikicode]

Contre-exemple
Si n'a qu'une valeur propre , d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.
En effet, la seule matrice diagonale ayant comme valeur propre d'ordre n est , et .
Début d’un théorème
Fin du théorème


Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :

En effet, si alors, en notant une base de vecteurs propres pour , la formule de changement de base donne :

et donc et .

Méthode pratique de diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

En pratique, si l’on cherche à diagonaliser :

  • on calcule le polynôme caractéristique (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de );
  • pour chaque valeur propre , on détermine le sous-espace propre (ou, si l’on préfère, on résout le système ) et on obtient une base de , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre  ;
  • si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres , est égale à la multiplicité de dans le polynôme caractéristique , alors est diagonalisable et on a (les valeurs propres sont mises chacune fois) et est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice . On a alors .

Exemple :Soit

Donc les valeurs propres sont :

  • 2 de multiplicité 2
  • -3 de multiplicité 1


Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de  : On cherche les tels que :


Donc
On procède de même pour et on obtient :

On a bien : et , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : , avec