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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Réduction des endomorphismes : Diagonalisabilité
Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
.
Définition : endomorphisme diagonalisable - diagonalisation
*

est dit
diagonalisable s'il existe une base de

constituée de vecteurs propres pour

.
En dimension finie, cela équivaut à dire qu’il existe une base de
dans laquelle la matrice de
est diagonale.
- Diagonaliser
, c’est déterminer une base de vecteurs propres pour
.
En effet, si
est une base de vecteurs propres, alors en notant
la valeur propre correspondant au vecteur propre
(les
ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de
dans la base
est :

On suppose
de dimension
finie et l'on note
le nombre de valeurs propres de
.
Début d’un théorème
Théorème de diagonalisation
Fin du théorème
'Démonstration'
Comme
est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de
. En l'ordonnant dans l’ordre des
, on obtient que les
sont bien supplémentaires. Réciproquement, si les
sont supplémentaires, alors la réunion "ordonnée" des bases des sous-espaces propres donne bien une base de diagonalisation.
Cela découle des propriétés de la somme directe.
On remarque que
et, comme les
sont deux à deux distincts, les polynômes
sont deux à deux premiers entre eux, donc le Lemme des noyaux nous assure que les
sont en somme directe. Comme, par hypothèse, la somme de leurs dimensions vaut
, on en déduit qu’ils sont supplémentaires.
Remarquons d’abord que, comme on vient de démontrer que
équivaut à
, on sait donc que
est diagonalisable et il existe donc une base dans laquelle sa matrice est diagonale. En calculant le polynôme caractéristique de cette matrice, on obtient le résultat voulu.
La somme des multiplicités vaut
, car c’est le degré du polynôme caractéristique.
Cela découle du lemme des noyaux :
, ce qui montre que
annule
.
S'il existe un polynôme
scindé et à racines simples qui annule
, alors le polynôme minimal de
, puisqu'il divise
, est aussi scindé et à racines simples.
Évident : le polynôme minimal est une réponse à la question d'existence de
.
Définition : Matrice diagonalisable - Diagonalisation
- Contre-exemple
- Si
n'a qu'une valeur propre
, d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à
— mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.
- En effet, la seule matrice diagonale ayant
comme valeur propre d'ordre n est
, et
.
Début d’un théorème
Théorème de diagonalisation
Fin du théorème
Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :
Propriété
Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque de

est diagonalisable.
En effet, si
alors, en notant
une base de vecteurs propres pour
, la formule de changement de base donne :
et donc
et
.
En pratique, si l’on cherche à diagonaliser
:
- on calcule le polynôme caractéristique
(ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de
en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de
);
- pour chaque valeur propre
, on détermine le sous-espace propre
(ou, si l’on préfère, on résout le système
) et on obtient une base de
, c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre
;
- si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres
,
est égale à la multiplicité de
dans le polynôme caractéristique
, alors
est diagonalisable et on a
(les valeurs propres sont mises chacune
fois) et
est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice
. On a alors
.
Exemple :Soit
Donc les valeurs propres sont :
- 2 de multiplicité 2
- -3 de multiplicité 1
Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de
:
On cherche les
tels que :
Donc
On procède de même pour
et on obtient :
On a bien :
et
, donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est :
, avec