Réduction des endomorphismes/Diagonalisabilité
Définition
[modifier | modifier le wikicode]Soit .
- est dit diagonalisable s'il existe une base de constituée de vecteurs propres pour .
En dimension finie, cela équivaut à dire qu’il existe une base de dans laquelle la matrice de est diagonale.
- Diagonaliser , c’est déterminer une base de vecteurs propres pour .
En effet, si est une base de vecteurs propres, alors en notant la valeur propre correspondant au vecteur propre (les ne sont pas nécessairement deux à deux distincts), on obtient que la matrice de dans la base est :
Théorème de diagonalisation
[modifier | modifier le wikicode]On suppose de dimension finie et l'on note le nombre de valeurs propres de .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- est diagonalisable ;
- ;
- ;
- le polynôme caractéristique est scindé et pour tout , la dimension de est égale à la multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique ;
- il existe un polynôme scindé et à racines simples qui annule ;
- le polynôme minimal de est scindé et à racines simples.
Comme est diagonalisable, il existe une base de vecteurs propres de . En l'ordonnant dans l’ordre des , on obtient que les sont bien supplémentaires. Réciproquement, si les sont supplémentaires, alors la réunion "ordonnée" des bases des sous-espaces propres donne bien une base de diagonalisation.
Cela découle des propriétés de la somme directe.
On remarque que et, comme les sont deux à deux distincts, les polynômes sont deux à deux premiers entre eux, donc le Lemme des noyaux nous assure que les sont en somme directe. Comme, par hypothèse, la somme de leurs dimensions vaut , on en déduit qu’ils sont supplémentaires.
Remarquons d’abord que, comme on vient de démontrer que équivaut à , on sait donc que est diagonalisable et il existe donc une base dans laquelle sa matrice est diagonale. En calculant le polynôme caractéristique de cette matrice, on obtient le résultat voulu.
La somme des multiplicités vaut , car c’est le degré du polynôme caractéristique.
Cela découle du lemme des noyaux : , ce qui montre que annule .
S'il existe un polynôme scindé et à racines simples qui annule , alors le polynôme minimal de , puisqu'il divise , est aussi scindé et à racines simples.
Évident : le polynôme minimal est une réponse à la question d'existence de .
Interprétation matricielle
[modifier | modifier le wikicode]- est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire si :
. |
- Diagonaliser une matrice , c’est déterminer des matrices et vérifiant l'égalité ci-dessus.
- Contre-exemple
- Si n'a qu'une valeur propre , d'ordre n — en particulier, si A est triangulaire et si ses éléments diagonaux sont tous égaux à — mais n’est pas diagonale, alors elle n’est même pas diagonalisable.
- En effet, la seule matrice diagonale ayant comme valeur propre d'ordre n est , et .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- est diagonalisable ;
- ;
- ;
- le polynôme caractéristique est scindé et pour tout , la dimension de est égale à la multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique ;
- il existe un polynôme scindé à racines simples qui annule ;
- Le polynôme minimal de est scindé et à racines simples.
Il faut enfin faire le lien entre les deux points de vue (matrice et endomorphisme) :
Un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, sa matrice dans une base quelconque de est diagonalisable.
En effet, si alors, en notant une base de vecteurs propres pour , la formule de changement de base donne :
et donc et .
Méthode pratique de diagonalisation
[modifier | modifier le wikicode]En pratique, si l’on cherche à diagonaliser :
- on calcule le polynôme caractéristique (ou,dans des situations plus théoriques, le polynôme minimal)de en cherchant à le factoriser le plus possible (car on cherche ses racines, qui sont les valeurs propres de );
- pour chaque valeur propre , on détermine le sous-espace propre (ou, si l’on préfère, on résout le système ) et on obtient une base de , c'est-à-dire une base de vecteurs propres pour la valeur propre ;
- si le polynôme caractéristique est scindé, et que pour toutes les valeurs propres , est égale à la multiplicité de dans le polynôme caractéristique , alors est diagonalisable et on a (les valeurs propres sont mises chacune fois) et est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que l’ordre des valeurs propres dans la matrice . On a alors .
Exemple :Soit
Donc les valeurs propres sont :
- 2 de multiplicité 2
- -3 de multiplicité 1
Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de :
On cherche les tels que :
Donc
On procède de même pour et on obtient :
On a bien : et , donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est :
, avec