Leçons de niveau 15

Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité

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Trigonalisabilité
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Chapitre no 5
Leçon : Réduction des endomorphismes
Chap. préc. :Diagonalisabilité
Chap. suiv. :Applications
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Réduction des endomorphismes/Trigonalisabilité
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Soient un -espace vectoriel de dimension finie et .

Définition[modifier | modifier le wikicode]


Remarque
On obtient une définition équivalente en remplaçant « triangulaire supérieure » par « triangulaire inférieure ». En effet, on vérifie facilement que la matrice de dans une base est triangulaire supérieure si et seulement si celle dans est triangulaire inférieure. Ou plus savamment (cf. cet exercice du chapitre 7) : toute matrice est semblable à sa transposée.

Théorème de trigonalisation[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème





Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels[modifier | modifier le wikicode]

Soit  ; son polynôme caractéristique est qui a comme unique racine , qui est donc l'unique valeur propre de .

On peut déjà en déduire que n'est pas diagonalisable (car ) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre est de dimension 1.

Le calcul le confirme :

, avec .

On peut alors compléter avec par exemple le vecteur , de manière que forme une base de .

On sait déjà que et l'on trouve facilement .

La matrice dans la base s'écrit donc

.

La matrice telle que n'est autre que la matrice de passage de la base canonique à la base . Elle est donc constituée des vecteurs de exprimés dans la base  :

.

De même, pour calculer , il suffit d'exprimer les vecteurs de dans la base . On trouve facilement

et donc
.

Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes[modifier | modifier le wikicode]

Soit  ; son polynôme caractéristique est .

Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs : et avec

et ,

que l’on complète par pour former une base de , et l'on calcule :

.

La matrice dans est donc

et l’on a avec la matrice de passage de la base canonique à la base , d'où :

et .