Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1

Exercice 17-1

On pose :

$I_{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\sin \pi t\,\mathrm {d} t\qquad (n\in \mathbb {N} ^{*})$.

1°  Démontrer que :

$\forall n\qquad 0<I_{n}<\int _{0}^{1}t^{n}\,\mathrm {d} t$.

2°  Démontrer que :

$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}t^{n}\ \mathrm {d} t=0$.

3°  En déduire que :

$\lim _{n\to \infty }I_{n}=0$.

Solution

1. Sur $\left]0,1/2\right[$ et $\left]1/2,1\right[$, $t\mapsto t^{n}\sin \pi t$ est continue et $0<t^{n}\sin \pi t<t^{n}$.
2. $\int _{0}^{1}t^{n}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{n+1}}$.
3. Théorème des gendarmes.

 

Exercice 17-2

Pour tout entier naturel $n$, on pose :

$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{2n+1}x}}$.

1°  Prouver qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ :

${\frac {1}{\cos x}}=\left({\frac {a}{1-\sin x}}+{\frac {b}{1+\sin x}}\right)\cos x$.

En déduire le calcul de $I_{0}$.

2°  Démontrer que :

$2nI_{n}=(2n-1)I_{n-1}+{\frac {2^{n}}{\sqrt {2}}}$.

En déduire $I_{2}$.

Solution

1. $a=b={\frac {1}{2}}$ convient, donc $I_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\mathrm {d} x}{\cos x}}={\frac {1}{2}}\left[\ln {\frac {1+t}{1-t}}\right]_{0}^{1/{\sqrt {2}}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}=\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)$.
2. • $I_{n}-I_{n-1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1-\cos ^{2}}{\cos ^{2n+1}}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\sin ^{2}}{\cos ^{2n+1}}}=$
     $\left[{\frac {\sin }{\cos ^{2n+1}}}\times -\cos \right]_{0}^{\frac {\pi }{4}}+\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {\cos }{\cos ^{2n+1}}}+(2n+1){\frac {\sin ^{2}}{\cos ^{2n+2}}}\right)\cos =$
     ${\frac {-2^{n}}{\sqrt {2}}}+\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {1}{\cos ^{2n-1}}}+(2n+1){\frac {1-\cos ^{2}}{\cos ^{2n+1}}}\right)=$
     ${\frac {-2^{n}}{\sqrt {2}}}+I_{n-1}+(2n+1)\left(I_{n}-I_{n-1}\right)$ donc
     $2n\left(I_{n}-I_{n-1}\right)={\frac {2^{n}}{\sqrt {2}}}-I_{n-1}$, d'où la formule de récurrence annoncée.
   • En particulier, $2I_{1}=I_{0}+{\sqrt {2}}$ et $4I_{2}=3I_{1}+{\frac {4}{\sqrt {2}}}$ donc
     $I_{2}={\frac {3}{8}}\left(I_{0}+{\sqrt {2}}\right)+{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {3\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)+7{\sqrt {2}}}{8}}$.

 

Exercice 17-3

On pose :

$A_{n}(x)=1+2x+\cdots +nx^{n-1}$ ;

$B_{n}(x)=1\times 2+2\times 3x+\cdots +n(n+1)x^{n-1}$ ;

$C_{n}(x)=1+1^{2}x+2^{2}x^{2}\cdots +n^{2}x^{n}$.

1°  Déterminer la primitive $F_{n}$ de $A_{n}$ qui est égale à $1$ pour $x=0$. En déduire une expression de $A_{n}(x)$.

2°  Démontrer que $B_{n}(x)=A_{n+1}'(x)$, et que :

$C_{n}(x)=1+xA_{n}(x)+x^{2}A_{n}'(x)$.

3°  En déduire des expressions de $B_{n}(x)$ et $C_{n}(x)$.

Solution

Si $x\neq 1$ :

1. $F_{n}(x)=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ donc $A_{n}(x)=F'_{n}(x)={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}$.
2. • $A_{n+1}(x)=\sum _{k=0}^{n}(k+1)x^{k}$ donc $A'_{n+1}(x)=\sum _{k=1}^{n}k(k+1)x^{k-1}=B_{n}(x)$.
   • $1+xA_{n}(x)+x^{2}A_{n}'(x)=1+\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)x^{k+1}+\sum _{k=1}^{n-1}k(k+1)x^{k+1}=1+x+\sum _{k=1}^{n-1}(k+1)^{2}x^{k+1}=C_{n}(x)$.
3. • $B_{n}(x)=A'_{n+1}(x)=\left({\frac {(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}}\right)'$

   $={\frac {(n+1)nx^{n+2}-2n(n+2)x^{n+1}+(n+2)(n+1)x^{n}-2}{(x-1)^{3}}}$ ;

   • $C_{n}(x)=1+x{\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}+x^{2}{\frac {n(n-1)x^{n+1}-2(n^{2}-1)x^{n}+(n+1)nx^{n-1}-2}{(x-1)^{3}}}$.

   $={\frac {n^{2}x^{n+3}+(-2n^{2}-2n+1)x^{n+2}+(n+1)^{2}x^{n+1}+x^{3}-4x^{2}+2x-1}{(x-1)^{3}}}$.

 

Exercice 17-4

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :

$f(x)={\frac {1}{x(x+1)}}$.

1°  Trouver deux entiers relatifs $a$ et $x$ tels que :

$f(x)={\frac {a}{x}}+{\frac {b}{x+1}}$.

En déduire, pour $x$ appartenant à $\left]0,+\infty \right[$, la valeur de :

$F(x):=\int _{1}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.

2°  On considère la suite $s$ définie, pour $n$ entier naturel non nul, par :

$s(n)=F(1)+F(2)+\cdots +F(n)$.

Cette suite admet-elle une limite quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Solution

1. $a=1$ et $b=-1$ donc $F(x)=\left[\ln \left({\frac {t}{t+1}}\right)\right]_{1}^{x}=\ln \left({\frac {2x}{x+1}}\right)$.
2. $s(n)=\ln \left({\frac {2^{n}\,n!}{(n+1)!/2}}\right)=\ln \left({\frac {2^{n+1}}{n+1}}\right)\to +\infty$.

 

Exercice 17-5

Pour $n\in \mathbb {N}$, soit :

$I_{n}=\int _{0}^{x}\cos ^{n}$ ;

$J_{n}=\int _{0}^{x}\sin ^{n}$.

1°  Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur à $2$, on a :

$nI_{n}=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}$ ;

$nJ_{n}=-\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)J_{n-2}$.

2°  Calculer $I_{2}$, $J_{2}$, $I_{5}$ et $J_{3}$.

3°  Peut-on, lorsque $n$ est impair, calculer $I_{n}$ et $J_{n}$ à l'aide d'un changement de variable simple ?

Solution

1. Ces deux équations (pour $n\geq 2$) résultent de :
   • $I_{n}=\left[\cos ^{n-1}\sin \right]_{0}^{x}+(n-1)\int _{0}^{x}\cos ^{n-2}\sin ^{2}=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\left(I_{n-2}-I_{n}\right)$ ;
   • $J_{n}=-\left[\sin ^{n-1}\cos \right]_{0}^{x}+(n-1)\int _{0}^{x}\sin ^{n-2}\cos ^{2}=-\sin ^{n-1}x\cos x+(n-1)\left(J_{n-2}-J_{n}\right)$.
2. • $I_{0}=J_{0}=x$, $2I_{2}=\cos x\sin x+I_{0}$ et $2J_{2}=-\sin x\cos x+J_{0}$ donc

   $I_{2}={\frac {x+\cos x\sin x}{2}}$ et $J_{2}={\frac {x-\cos x\sin x}{2}}$.

   • Pour $J_{3}$ et $I_{5}$, cf. question suivante.
3. • $I_{2m+1}=\int _{0}^{x}\left(1-\sin ^{2}\right)^{m}\sin '=\int _{0}^{\sin x}\left(1-u^{2}\right)^{m}\,\mathrm {d} u=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}\sin ^{2k+1}x}{2k+1}}$ ;
   • $J_{2m+1}=-\int _{0}^{x}\left(1-\cos ^{2}\right)^{m}\cos '=-\int _{0}^{\cos x}\left(1-u^{2}\right)^{m}\,\mathrm {d} u=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k+1}\cos ^{2k+1}x}{2k+1}}$.

 

Exercice 17-6

On considère la fonction $f$ définie, pour $x$ réel positif, par :

$f(x)=x[x-E(x)]$,

où $E$ désigne la fonction partie entière.

1°  Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de $f$ pour $x$ élément de $\left[0,3\right[$.

2°  Soit $k$ un entier naturel. Donner l'expression de $f(x)$ pour $x$ élément de $\left[k,k+1\right[$, puis calculer $u_{k}:=\int _{k}^{k+1}f$.

En déduire que $(u_{n})$ est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

3°  Pour $n\in \mathbb {N}$, calculer $\int _{0}^{n}f$.

Solution

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2. • Si $k\leq x<k+1$, $f(x)=x(x-k)$.
   • $u_{k}={\frac {(k+1)^{3}-k^{3}}{3}}-k{\frac {(k+1)^{2}-k^{2}}{2}}={\frac {k}{2}}+{\frac {1}{3}}$.
   • Autrement dit : $(u_{n})$ est la suite arithmétique de raison ${\frac {1}{2}}$ et de premier terme ${\frac {1}{3}}$.
3. $\int _{0}^{n}f$ est égale à la somme des $n$ premiers termes de cette suite arithmétique, c'est-à-dire à ${\frac {n}{2}}(u_{0}+u_{n-1})={\frac {n}{3}}+{\frac {n(n-1)}{4}}$.

 

Exercice 17-7

Soit :

$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,\mathrm {d} x\qquad (n\in \mathbb {N} ^{*})$.

1°  Justifier l'existence de $I_{n}$. Calculer $I_{1}$ et $I_{2}$.

2°  Établir une relation de récurrence entre $I_{n}$ et $I_{n-2}$. En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$.

3°  On pose :

$u_{p}=\left({\frac {2\times 4\times \cdots \times (2p-2)}{3\times 5\times \cdots \times (2p-1)}}\right)^{2}2p$.

Démontrer que $u_{p}$ est une valeur approchée par excès de ${\frac {\pi }{2}}$, avec :

$u_{p}-{\frac {\pi }{2}}<{\frac {u_{p}}{2p+1}}$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}