« Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1 » : différence entre les versions

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== Exercice 17-6 ==
== Exercice 17-6 ==
On considère la fonction <math>f</math> définie, pour <math>x</math> réel positif, par :
On considère la fonction <math>f</math> définie, pour <math>x</math> réel positif, par :
:<math>f(x)=x[x-E(x)]</math>
:<math>f(x)=x[x-E(x)]</math>,
où <math>E</math> désigne la [[Continuité et variations/Langage de la continuité#La fonction partie entière|fonction partie entière]].
en désignant par <math>E(x)</math> le plus grand entier inférieur à <math>x</math>.


'''1°''' &nbsp;Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de <math>f</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[0,3\right[</math>.
'''1°''' &nbsp;Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de <math>f</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[0,3\right[</math>.


'''2°''' &nbsp;Soit <math>k</math> un entier naturel. Donner l'expression de <math>f(x)</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[k,k+1\right[</math>, puis calculer :
'''2°''' &nbsp;Soit <math>k</math> un entier naturel. Donner l'expression de <math>f(x)</math> pour <math>x</math> élément de <math>\left[k,k+1\right[</math>, puis calculer <math>u_k:=\int_k^{k+1}f</math>.
:En déduire que <math>(u_n)</math> est une [[Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques|suite arithmétique]], dont on donnera la raison et le premier terme.
:<math>u_k=\int_k^{k+1}f(x)\,\mathrm dx</math>.
:Calculer <math>u_{k+1}-u_k</math>. En déduire que la suite finie <math>(u_0,\,u_1,\cdots,u_{n-1})</math> est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.


'''3°''' &nbsp;Calculer :
'''3°''' &nbsp;Pour <math>n\in\N</math>, calculer <math>\int_0^nf</math>.
:<math>\int_0^n f(x)\,\mathrm dx</math>,
:<math>n</math> étant un entier naturel.
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
#{{...}}
#
#*Si <math>k\le x<k+1</math>, <math>f(x)=x(x-k)</math>.
#*<math>u_k=\frac{(k+1)^3-k^3}3-k\frac{(k+1)^2-k^2}2=\frac k2+\frac13</math>.
#*Autrement dit : <math>(u_n)</math> est la suite arithmétique de raison <math>\frac12</math> et de premier terme <math>\frac13</math>.
#<math>\int_0^nf</math> est égale à la somme des <math>n</math> premiers termes de cette suite arithmétique, c'est-à-dire à <math>\frac n2(u_0+u_{n-1})=\frac n3+\frac{n(n-1)}4</math>.
}}
}}



Version du 9 juin 2017 à 19:08

Suites d'intégrales 1
Image logo représentative de la faculté
Exercices no17
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Intégrale et primitives

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Calculs indirects
Exo suiv. :Suites d'intégrales 2
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Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1
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Exercice 17-1

On pose :

.

 Démontrer que :

.

 Démontrer que :

.

 En déduire que :

.

Exercice 17-2

Pour tout entier naturel , on pose :

.

 Prouver qu'il existe des réels et tels que, pour tout de  :

.
En déduire le calcul de .

 Démontrer que :

.
En déduire .

Exercice 17-3

On pose :

 ;
 ;
.

 Déterminer la primitive de qui est égale à pour . En déduire une expression de .

 Démontrer que , et que :

.

 En déduire des expressions de et .

Exercice 17-4

Soit la fonction numérique de la variable réelle définie par :

.

 Trouver deux entiers relatifs et tels que :

.
En déduire, pour appartenant à , la valeur de :
.

 On considère la suite définie, pour entier naturel non nul, par :

.
Cette suite admet-elle une limite quand tend vers  ?

Exercice 17-5

Pour , soit :

 ;
.

 Démontrer que, pour tout entier supérieur à , on a :

 ;
.

 Calculer , , et .

 Peut-on, lorsque est impair, calculer et à l'aide d'un changement de variable simple ?

Exercice 17-6

On considère la fonction définie, pour réel positif, par :

,

désigne la fonction partie entière.

 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de pour élément de .

 Soit un entier naturel. Donner l'expression de pour élément de , puis calculer .

En déduire que est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.

 Pour , calculer .

Exercice 17-7

Soit :

.

 Justifier l'existence de . Calculer et .

 Établir une relation de récurrence entre et . En déduire l'expression de en fonction de .

 On pose :

.
Démontrer que est une valeur approchée par excès de , avec :
.