Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation

     On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe $\;x'x\;$ entre un vibreur $\;O\;$  engendrant un mouvement transversal $\;s_{i}(t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\;$ et
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe $\;\color {transparent}{x'x}\;$ entre une poulie $\;P\;$ sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse $\;m\;$ ,
         On considère l'expérience classique de la corde de Melde l'axe de la poulie étant situé à la distance $\;L\;$ du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

     $\succ \;$on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on se propose de prolonger l'étude montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation $\;(r)\;$ se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur $\;(i)\;$ donne une onde résultante stationnaire $\;(1)\;$ $\;s_{1}(M,\,t)=$ $2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$on se propose de prolonger l'étude en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O\;$ , il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $\;(r')\;$ se propageant vers la poulie, onde $\;(r')\;$ qui se réfléchit sur $\;P\;$ en une onde $\;(r'')\;$ revenant vers $\;O\;$ et la superposition des ondes $\;(r')\;$ et $\;(r'')\;$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $\;(2)\;$ $\;s_{2}(M,\,t)\;$ qu'il conviendra d'évaluer mais
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec cette réflexion sur le vibreur la superposition des deux ondes stationnaires $\;s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)\;$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde $\;(r''')\;$ se propageant vers la poulie, onde $\;(r''')\;$ qui se réfléchit sur $\;P\;$ en une onde $\;(r^{IV})\;$ revenant vers $\;O\;$ et la superposition des ondes $\;(r''')\;$ et $\;(r^{IV})\;$ donne une nouvelle onde résultante stationnaire $\;(3)\;$ $\;s_{3}(M,\,t)\;$ qu'il conviendra d'évaluer mais
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur la superposition des trois ondes stationnaires $\;s_{1}(M,\,t)+s_{2}(M,\,t)+s_{3}(M,\,t)\;$ ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en $\;O$, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste $\;s_{i}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})$ ;

     $\succ \;$etc $\;\ldots$

     Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples de réflexions sur la poulie $\;P\;$ et le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» où «$\;s_{q}(M,\,t)\;$ est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$», puis
     Le but de cet exercice est de rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites $\;{\big (}$c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude${\big )}\;$ puis nous reprendrons l'étude
     Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant que la réflexion sur $\;P\;$ se fait avec un cœfficient de réflexion $\;\rho \;$ et celle sur $\;O\;$ avec un cœfficient de réflexion $\;\rho '$.

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur

Rappel de la démarche

     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ de l'onde $\;(r')\;$ réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur » à partir du
     Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal $\;s_{r}(M,\,t)\;$ au même point $\;M\;$ et au même instant $\;t\;$ de l'onde $\;(r)\;$ réfléchie sur la poulie ».

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde incidente $\;(i)$, à savoir «$\;s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur $\;P$, «$\;s_{i}(P,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r}(P,\,t)=-s_{i}(P,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;P\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=s_{r}\!\left(P,\,t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{P}\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» ;

     cette onde $\;(r)\;$ de signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, «$\;s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» se réécrit, arrivant en $\;O\;$ «$\;s_{r}(O,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se réfléchit sur le vibreur en «$\;s_{r'}(O,\,t)=-s_{r}(O,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se propage en s'éloignant de $\;O\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=s_{r'}\!\left(O,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     cette onde $\;\color {transparent}{(r)}\;$ de signal, au point $\;\color {transparent}{M}\;$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{O}\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$», d'où

     l'expression du signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde $\;(r')\;$ réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur «$\;s_{r'}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie

     Remarquant que $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ se déduit de $\;s_{i}(M,\,t)\;$ par simple déphasage, déterminer $-$ sans calcul $-$ le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde $\;(r')\;$ et de sa réfléchie $\;(r'')\;$ sur la poulie, $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ à partir de l'expression de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Remarquant que $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ se déduit de $\;s_{i}(M,\,t)\;$ par un simple déphasage égal à $\;-2\,k\,L\;$, il en découle le signal de l'onde résultante $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ à partir de l'expression de $\;s_{1}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$ par ajout du déphasage $\;-2\,k\,L\;$ soit «$\;s_{2}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-3\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Itération du procédé

     Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)\;$ par ajout du déphasage $\;-(q-1)\,2\,k\,L\;$ soit «$\;s_{q}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\;$».

 

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$» ou
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)\;$» en posant «$\;2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=S_{n}(t)\;$».

Solution

     Le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=$ $\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» se réécrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\right\rbrace \;$» soit, après mise en facteur de la partie commune à tous les termes de la somme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\left\lbrace \sum \limits _{q=1}^{n}\sin \!\left[\omega \,t-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\right]\right\rbrace \;$» ce qui est bien de la forme
  «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$» avec «$\;\varphi _{q}=-(2\,q-1)\,k\,L+\varphi _{0}\;$» ou encore
«$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)\;$» en posant «$\;2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=S_{n}(t)\;$».                            

 

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Dans le but d'évaluer $\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {S_{n}}}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\omega \,t+\varphi _{q})\;$ dont $\;S_{n}(t)\;$ est la partie imaginaire, puis
     Dans le but d'évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe $\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\varphi _{q})\;$ telle que $\;{\underline {S_{n}}}(t)={\underline {A_{n}}}\,\exp(i\,\omega \,t)$ ;

     vérifier que $\;{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme $\;2\,a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{1})\;$ et de raison $\;\exp \!\left[i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]$ $\;{\big \{}$on explicitera le 1^er terme et la raison${\big \}}$ ;

     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de $\;{\underline {A_{n}}}\;$ puis

     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module $\;A_{n}\;$ et
     vérifier que $\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}\;$ est la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}$, dans le but de
     terminer l'évaluation de $\;S_{n}(t)=A_{n}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})\;$ et celle du signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}\;$ de l'onde résultante $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\,\sin(k\,x-k\,L)$
     terminer l'évaluation de $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=A_{n}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})}\;$ et celle du signal $\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}}\;$ de l'onde résultante $\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)}$ $=A_{n}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n})$.

Solution

     Pour évaluer $\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})\;$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {S_{n}}}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\omega \,t+\varphi _{q})\;$ dont $\;S_{n}(t)\;$ est la partie imaginaire, puis
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp(i\,\varphi _{q})\;$» obtenue après simplification de $\;{\underline {S_{n}}}(t)\;$ par $\;\exp(i\,\omega \,t)$, soit encore
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\exp \!\left\lbrace i\left[\varphi _{0}-(2\,q-1)\,k\,L\right]\right\rbrace =\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]\;\exp \!\left[-2\,i\,(q-1)\,k\,L\right]\right\rbrace \;$
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;\color {transparent}{\underline {A_{n}}}$ $=\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace 2\,a_{0}\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}\right]\;\left[\exp(-2\,i\,k\,L)\right]^{\,q-1}\right\rbrace \;$» soit finalement, en reconnaissant la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique de 1^er terme $\;2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]\;$ et de raison $\;\exp(-2\,i\,k\,L)\;$»,
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]{\dfrac {1-\exp(-2\,n\,i\,k\,L)}{1-\exp(-2\,i\,k\,L)}}\;$» soit, en simplifiant le quotient du 2^ème facteur par mise en facteur de $\;\exp(-n\,i\,k\,L)\;$ au numérateur et de $\;\exp(-i\,k\,L)\;$ au dénominateur pour faire apparaître, respectivement au numérateur et au dénominateur, la formule d'Euler relative au sinus dans le facteur restant
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-k\,L)\right]{\dfrac {\exp(-n\,i\,k\,L)}{\exp(-i\,k\,L)}}\,{\dfrac {\exp(n\,i\,k\,L)-\exp(-n\,i\,k\,L)}{\exp(i\,k\,L)-\exp(-i\,k\,L)}}\;$» soit encore
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]{\dfrac {2\,i\,\sin(n\,k\,L)}{2\,i\,\sin(k\,L)}}\;$» et finalement
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ nous introduisons l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]\;$» ;

     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\exp \!\left[i(\varphi _{0}-n\,k\,L)\right]\;$» nous en déduisons
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de son module «$\;A_{n}=\left\vert {\underline {A_{n}}}\right\vert =2\,a_{0}\,\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert \;$» ainsi que
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ de l'expression de son argument «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\varphi _{0}-n\,k\,L\qquad \quad {\text{si}}\;{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}>0\\\varphi _{0}-n\,k\,L+\pi \quad {\text{si}}\;{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     Pour évaluer $\;\color {transparent}{S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})}\;$ finalement «$\;S_{n}(t)=2\,a_{0}\,\sum \limits _{q=1}^{n}\sin(\omega \,t+\varphi _{q})=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$» et
     le signal de l'onde résultante s'écrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=S_{n}(t)\;\sin(k\,x-k\,L)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$».

 

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Vérifier que l'onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)\;$ obtenu dans la « solution de l'évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase,
     Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

     Vérifier que l'onde résultante exprimer l'amplitude aux ventres et
     Vérifier que l'onde résultante vérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres $\;{\big \{}$nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal »  de l'amplitude aux ventres${\big \}}$.

Solution

     « Les positions des nœuds de l'onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$ sont déterminées par les abscisses telles que $\;\sin(k\,x-k\,L)=0\;$» soit
     « Les positions des nœuds de l'onde résultante «$\;x_{N_{m}}=L-{\dfrac {m\,\pi }{k}},\;m\in \mathbb {N} \;$» ou encore «$\;x_{N_{m}}=L-m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire $\;(1)$ ;

                « celles des ventres de cette onde résultante de signal $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\,\sin(\omega \,t-n\,k\,L+\varphi _{0})\;$ ont une abscisse vérifiant $\;\sin(k\,x-k\,L)=\pm 1\;$» soit
                « celles des ventres de cette onde résultante «$\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$» ou encore «$\;x_{V_{m}}=L-\left(m+{\dfrac {1}{2}}\right){\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire, là encore, les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire $\;(1)$ ; enfin nous remarquons que

     « les points d'un même fuseau correspondant à $\;2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\;$ de même signe vibrent avec la même phase » car cette dernière est indépendante de $\;x\;$ et que
     « les points situés de part et d'autre d'un même nœud correspondant à $\;2\,a_{0}\,{\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\,\sin(k\,x-k\,L)\;$ de signe contraire vibrent en opposition de phase  », le déphasage étant de $\;\pi$ ;

     l'« amplitude aux ventres étant $\;2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert \;$» a un « dénominateur s'annulant pour les pulsations spatiales $\;k_{p}\;$ telles que $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\;{\bigg \{}$correspondant à la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales) » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » en effet, avec $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\;k_{p}\,L=p\,\pi \;$ $\Leftrightarrow$ $\;k_{p}=p\,{\dfrac {\pi }{L}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{p}}}=p\,{\dfrac {\pi }{L}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\lambda _{p}={\dfrac {2\,L}{p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {c}{f_{p}}}={\dfrac {2\,L}{p}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f_{p}=p\,{\dfrac {2\,L}{c}}{\bigg \}}$ en remarquant que
           l'« amplitude aux ventres étant $\;\color {transparent}{2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert }\;$» a un « dénominateur s'annulant pour ces pulsations spatiales annulant aussi le numérateur car $\;n\,k_{p}\,L=n\,p\,\pi \;$ avec $\;n\,p\in \mathbb {N} ^{*}$, nous conduisent à une forme indéterminée dont la levée $\;{\big \{}$qu'il n'était pas demandé de faire${\big \}}\;$ fournie une « très grande »  amplitude aux ventres.

           l'« amplitude aux ventres étant $\;\color {transparent}{2\,a_{0}\left\vert {\dfrac {\sin(n\,k\,L)}{\sin(k\,L)}}\right\vert }\;$» a un « dénominateur s'annulant pour Additif : pour lever l'indétermination on se place au voisinage d'une condition de résonance c'est-à-dire au voisinage de $\;k_{p}\;$ telle que $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ en posant «$\;k\,L=p\,\pi +\varepsilon ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ avec $\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$» dont on déduit, en multipliant par $\;n$, «$\;n\,k\,L=n\,p\,\pi +n\,\varepsilon ,\;n\,\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$» $\;{\big \{}$en effet $\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$ $\Rightarrow$ $\;n\,\vert \varepsilon \vert \ll 1\;$ car $\;n\;$ est un nombre entier fini${\big \}}$, dont on tire $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\vert \sin(k\,L)\vert =\vert \sin(p\,\pi +\varepsilon )\vert =\vert \sin(\varepsilon )\vert \sim \vert \varepsilon \vert \\\vert \sin(n\,k\,L)\vert =\vert \sin(n\,p\,\pi +n\,\varepsilon )\vert =\vert \sin(n\,\varepsilon )\vert \sim n\,\vert \varepsilon \vert \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où, en faisant le rapport de ces deux approximations $\;{\dfrac {\vert \sin(n\,k\,L)\vert }{\vert \sin(k\,L)\vert }}\sim {\dfrac {n\,\vert \varepsilon \vert }{\vert \varepsilon \vert }}=n\;$ et par suite une amplitude aux ventres approximativement égale à $\;2\,n\,a_{0}\;$ à la résonance des ondes stationnaires.

 

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ'

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ de signal $\;s_{r}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ sachant que l'onde réfléchie $\;(r)\;$ en $\;P\;$ se déduit de l'onde incidente $\;(i)\;$ au même point $\;P\;$ par «$\;s_{r}(P,\,t)=-\rho \;s_{i}(P,\,t)\;$» puis

     déterminer le signal $\;s_{1}(M,\,t)\;$ de l'onde résultante $\;(1)$, superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur $\;P\;$ et le mettre sous la forme
  déterminer le signal «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» en explicitant l'amplitude «$\;{\mathcal {A_{1}}}(x)\;$» et la phase «$\;\varphi _{1}(x)\;$»  ;

     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale »  d'une part et que
     vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part.

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde incidente $\;(i)$, à savoir «$\;s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur $\;P$, «$\;s_{i}(P,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r}(P,\,t)=-\rho \;s_{i}(P,\,t)=-\rho \;a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;P\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=s_{r}\!\left(P,\,t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{i}(M,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;\color {transparent}{P}\;$ selon «$\;s_{r}(M,\,t)=-\rho \;a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» ;

     la superposition de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ et l'onde incidente $\;(i)\;$ étant de signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, «$\;s_{1}(M,\,t)=s_{i}(M,\,t)+s_{r}(M,\,t)\;$» c'est-à-dire la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps d'amplitudes différentes, nous pouvons l'évaluer par amplitude complexe $\;{\big (}$ou par « diagramme de Fresnel »${\big )}$ ; ci-dessous nous choisissons la méthode de l'amplitude complexe $\ldots$

     Les grandeurs instantanées complexes étant $\;{\underline {s_{i}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(\varphi _{0}-k\,x)\right]\;$ et
     Les grandeurs instantanées complexes étant $\;{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)=-\rho \,a_{0}\,\exp \!\left[i\,(\varphi _{0}-2\,k\,L+k\,x)\right]$,
     la grandeur instantanée complexe associée à la somme est $\;{\underline {s_{1}}}(M,\,t)={\underline {s_{i}}}(M,\,t)+{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ d'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)+{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\;$
     la grandeur instantanée complexe associée à la somme est $\;\color {transparent}{{\underline {s_{1}}}(M,\,t)={\underline {s_{i}}}(M,\,t)+{\underline {s_{r}}}(M,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)}\;$ d'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $=a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace$ ;

     de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)=a_{0}\,\exp(i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ de la grandeur instantanée complexe associée au signal de l'onde $\;(1)\;$ on en déduit

     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\succ \;$l'amplitude $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ de ce dernier en prenant le module de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;$ soit «$\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=\left\vert {\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right\vert ={\sqrt {{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;\left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]^{*}}}\;$» dans laquelle $\;\left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]^{*}=$ $a_{0}\,\exp(-i\,\varphi _{0})\left\lbrace \exp(i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[-i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ d'où $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=\left\vert {\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right\vert =a_{0}\,{\sqrt {\left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \left\lbrace \exp(i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[-i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace }}\;$ ou, après développement, $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-\rho \left\lbrace \exp \!\left[i\,2\,k\,(L-x)\right]+\exp \!\left[-i\,2\,k\,(L-x)\right]\right\rbrace }}\;$ et finalement, en utilisant la formule d'Euler relative au cosinus «$\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\;$» puis

     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\succ \;$la phase $\;\varphi _{1}(x)\;$ de ce dernier en prenant l'argument de l'amplitude complexe $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\;$ soit «$\;\varphi _{1}(x)=\mathrm {arg} \left[{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)\right]=\varphi _{0}+\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$» $\;{\bigg [}$pour déterminer l'argument d'une somme de complexes, il est judicieux de mettre cette somme sous forme algébrique $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\exp(-i\,k\,x)\!\!&=&\!\!\cos(k\,x)-i\,\sin(k\,x)\\\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\!\!&=&\!\!\cos(k\,x-2\,k\,L)+i\,\sin(k\,x-2\,k\,L)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la forme algébrique de la somme «$\;\exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]=\left\lbrace \cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)\right\rbrace -i\,\left\lbrace \sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)\right\rbrace \;$» dont on peut déduire l'argument${\bigg ]}\;$ d'où
     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\color {transparent}{\succ }\;$la phase $\;\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}=\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\dfrac {{\mathcal {A}}_{1}(x)}{a_{0}}}}\\\sin \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\dfrac {{\mathcal {A}}_{1}(x)}{a_{0}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore
     de l'amplitude complexe $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{1}}}(x)}$ $\color {transparent}{\succ }\;$la phase $\;\color {transparent}{\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}=\mathrm {arg} \left\lbrace \exp(-i\,k\,x)-\rho \,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L)\right]\right\rbrace }\;$ telle que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\varphi _{1}(x)-\varphi _{0}\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     le signal de l'onde résultante $\;(1)\;$ s'écrivant «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» a pour « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\;$» et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour « phase $\;\varphi _{1}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)\;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour pseudo amplitude de « pulsation spatiale $\;2\,k\;$ double de la pulsation spatiale de l'onde incidente » donc
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour pseudo amplitude de « période spatiale $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ égale à la moitié de la période spatiale de l'onde incidente » d'où
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour les mêmes valeurs de « pseudo-amplitude » tous les $\;{\dfrac {\lambda }{2\;}}$,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;V_{m}\;$ pour $\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{V_{m}})\right]=-1\;$» ou
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ telle que $\;L-x_{V_{m}}={\dfrac {(2\,m+1)\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ou encore
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ telle que «$\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\lambda }{4}},\;m\in \mathbb {N} \;$»
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;N_{m}\;$ pour $\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{N_{m}})\right]=+1\;$» ou
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ telle que $\;L-x_{N_{m}}={\dfrac {2\,m\,\pi }{2\,k}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ou encore
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ telle que «$\;x_{N_{m}}=L-{\dfrac {m\,\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$»,
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points que l'on qualifiera de « pseudo-nœuds »
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour celle-ci étant « minimale aux points $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales ;

  le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(1)}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]}\;$» a pour la phase initiale $\;\varphi _{1}\;$ dépendant de $\;x$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori rigoureusement en phase $\ldots$

 

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")

     Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ de signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ en $\;O\;$ se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie $\;(r)\;$ au même point $\;O\;$ par «$\;s_{r'}(O,\,t)=-\rho '\;s_{r}(O,\,t)\;$» puis

     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ se déduit de l'onde incidente $\;(i)\;$ en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur $\;a_{0}\;$ par un facteur à préciser et
     vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se déduit de l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ en ajoutant à la phase initiale $\;\varphi _{0}\;$ une valeur également à préciser ;

     déterminer le signal $\;s_{2}(M,\,t)\;$ de l'onde résultante $\;(2)$, superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur $\;(r')\;$ de signal $\;s_{r'}(M,\,t)\;$ et de sa réfléchie sur la poulie $\;(r'')\;$ de signal $\;s_{r''}(M,\,t)\;$ c'est-à-dire
     déterminer le signal $\;s_{2}(M,\,t)=s_{r'}(M,\,t)+s_{r''}(M,\,t)\;$ et le mettre sous la forme
   déterminer le signal «$\;s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]\;$» en explicitant l'amplitude «$\;{\mathcal {A_{2}}}(x)\;$» et la phase «$\;\varphi _{2}(x)\;$»  ;

     vérifier que $\;{\mathcal {A_{2}}}(x)\;$ se déduit de $\;{\mathcal {A_{1}}}(x)\;$ par un facteur multiplicateur à préciser $\;{\big \{}$il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$se substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}{\big \}}\;$ et

     vérifier que $\;\varphi _{2}(x)\;$ se déduit de $\;\varphi _{1}(x)\;$ par un terme additif à préciser $\;{\big \{}$là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase${\big \}}$.

Solution

     Le signal, au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, de l'onde $\;(r)$, à savoir «$\;s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» se réécrit, en arrivant sur le vibreur $\;O$, «$\;s_{r}(O,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$»,
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» il y est réfléchi en «$\;s_{r'}(O,\,t)=-\rho '\,s_{r}(O,\,t)=\rho '\,\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» puis
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;\color {transparent}{s_{r}(M,\,t)=-\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» il se propage en s'éloignant de $\;O\;$ selon «$\;s_{r'}(M,\,t)=s_{r'}\!\left(O,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$» se réécrivant
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir «$\;s_{r'}(M,\,t)=\rho '\,\rho \,a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» $\;{\big \{}$c'est-à-dire le signal de l'onde $\;(r')\;$ en $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur${\big \}}$ ;

     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;(r')\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;(i)\;$ a un signal se déduisant de celui de cette dernière
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ a un signal en remplaçant «$\;a_{0}\;$ par $\;\rho \,\rho '\,a_{0}\;$» et
     Le signal, au point $\;\color {transparent}{M};$ et à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, de l'onde $\;\color {transparent}{(r)}$, à savoir l'onde $\;\color {transparent}{(r')}\;$ se propageant dans le même sens que l'onde incidente $\;\color {transparent}{(i)}\;$ a un signal en remplaçant «$\;\varphi _{0}\;$ par $\;\varphi _{0}-2\,k\,L\;$» et par suite
     le signal de l'onde résultante $\;(2)\;$ «$\;s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]\;$» peut se déduire de celui de l'onde résultante $\;(1)\;$ «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» par les mêmes transformations, c'est-à-dire
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ «$\;\color {transparent}{s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]}\;$» peut se déduire en remplaçant «$\;a_{0}\;$ par $\;\rho \,\rho '\,a_{0}\;$» dans $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ pour obtenir $\;{\mathcal {A}}_{2}(x)\;$ et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ «$\;\color {transparent}{s_{2}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{2}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{2}(x)\right]}\;$» peut se déduire en remplaçant «$\;\varphi _{0}\;$ par $\;\varphi _{0}-2\,k\,L\;$» dans $\;\varphi _{1}(x)\;$ pour obtenir $\;\varphi _{2}(x)\;$ ce qui conduit à :

     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ $\succ \;$l'expression de « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{2}(x)=\rho \,\rho '\,a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,x-2\,k\,L\right]}}\;$» c'est-à-dire «$\;{\mathcal {A}}_{2}(x)=\rho \,\rho '\,{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$» $\Rightarrow$ les positions des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(2)\;$ sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(1)\;$ ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}\;$ ${\big \{}$toutefois l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » de l'onde résultante $\;(2)\;$ sont respectivement «$\;\rho \,\rho '\,(1+\rho )\,a_{0}\;$» et «$\;\rho \,\rho '\,(1-\rho )\,a_{0}\;$»${\big \}}\;$ et
     le signal de l'onde résultante $\;\color {transparent}{(2)}\;$ $\succ \;$celle de « phase initiale $\;\varphi _{2}(x)=\varphi _{0}-2\,k\,L+\alpha _{1}(x)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire «$\;\varphi _{2}(x)=\varphi _{1}(x)-2\,k\,L\;$» mais la phase initiale $\;\varphi _{2}\;$ dépendant de $\;x\;$ de la même façon que $\;\varphi _{1}$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori en phase $\;\ldots$

 

Itération du procédé

     Itérer le procédé exposé précédemment pour obtenir $\;s_{q}(M,\,t)\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$ à partir de $\;s_{1}(M,\,t)$.

Solution

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;s_{q}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{q}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{q}(x)\right]\;$ le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers $\;P\;$ après $\;(q-1)\;$ réflexions sur $\;O\;$ et l'onde se propageant vers $\;O\;$ après $\;q\;$ réflexions sur $\;P\;$» à partir de «$\;s_{1}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)\right]\;$» 
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ en multipliant l'expression de $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ par $\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\;$ pour obtenir $\;{\mathcal {A}}_{q}(x)\;$ et
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ en ajoutant à l'expression de $\;\varphi _{1}(x)\;$ le déphasage $\;-(q-1)\,2\,k\,L\;$ pour obtenir $\;\varphi _{q}(x)\;$ soit :

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « pseudo-amplitude $\;{\mathcal {A}}_{q}(x)=(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,{\mathcal {A}}_{1}(x)=(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,x-2\,k\,L\right]}}$» $\Rightarrow$ les positions des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(q)\;$ sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante $\;(1)\;$ ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale $\;{\big (}$lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite${\big )}\;$ ${\big \{}$l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » de l'onde résultante $\;(q)\;$ étant respectivement «$\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,(1+\rho )\,a_{0}\;$» et «$\;(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,(1-\rho )\,a_{0}\;$»${\big \}}\;$ et

     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « phase initiale $\;\varphi _{q}(x)=\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L=\varphi _{0}-(q-1)\,2\,k\,L+\alpha _{1}(x)\;$ avec
     Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «$\;\color {transparent}{s_{q}(M,\,t)}$ pour « phase initiale $\;\color {transparent}{\varphi _{q}(x)=\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L}$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ la phase initiale $\;\varphi _{q}\;$ dépendant de $\;x\;$ de la même façon que $\;\varphi _{1}$, il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires, les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrant pas a priori en phase $\;\ldots$

 

Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Exprimer le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» ;

     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$»
     vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «$\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)}$ dans laquelle $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\;$ et $\;\varphi _{1}(x)\;$ sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire » $\;(1)\;$.

Solution

     Le signal de l'onde résultante au point $\;M\;$ et à l'instant $\;t$, superposition des $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $\;n\;$ réflexions sur la poulie $\;P\;$ et $\;\left(n-1\right)\;$ sur le vibreur $\;O\;$ «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)$ $=\sum \limits _{q=1}^{n}s_{q}(M,\,t)\;$» se réécrit selon «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\sum \limits _{q=1}^{n}{\mathcal {A}}_{q}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{q}(x)\right]\;$» soit, avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mathcal {A}}_{q}(x)\!\!&=&\!\!(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,{\mathcal {A}}_{1}(x)\\\varphi _{q}(x)\!\!&=&\!\!\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\end{array}}\right\rbrace \;$» «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$» dans lequel
«$\;{\mathcal {A}}_{1}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\;$» et              
                                                     «$\;\varphi _{1}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie

     Pour évaluer $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$ nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)\;$ dont $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)\;$ est la partie réelle c'est-à-dire telle que $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\Re \!\left[{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)\right]$, la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)\;$ étant de forme suivante
     Pour évaluer $\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}={\underline {A_{n}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ dans laquelle $\;{\underline {A_{n}}}(x)\;$ est l'amplitude complexe associée de forme
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}=}$ $\;{\underline {A_{n}}}(x)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]\,\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left[-i\,(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$ ;

     Pour évaluer $\;{\underline {A_{n}}}(x)\;$ étant $\;\propto \;$ à la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme et de raison à expliciter,
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{{\underline {A_{n}}}(x)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\propto }\;$ à la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » en déduire une expression simplifiée de $\;{\underline {A_{n}}}(x)\;$ puis
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{{\underline {A_{n}}}(x)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\propto }\;$ à la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son module $\;A_{n}(x)\;$ et
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{{\underline {A_{n}}}(x)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\propto }\;$ à la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer son argument $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)$, dans le but de
     Pour évaluer $\;\color {transparent}{{\underline {A_{n}}}(x)}\;$ étant $\;\color {transparent}{\propto }\;$ à la « somme des $\;\color {transparent}{n}\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique » terminer l'évaluation de «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\right]\;$».

     Vérifier que la position des points d'amplitude maximale $\;{\big (}$c'est-à-dire la position des ventres${\big )}\;$ ${\big \{}$préciser la valeur de l'amplitude aux ventres${\big \}}\;$ ainsi que
          Vérifier que la celle des points d'amplitude minimale $\;{\big (}$c'est-à-dire celle des « pseudo-nœuds »${\big )}\;$ ${\big \{}$préciser la valeur de l'amplitude minimale${\big \}}\;$
     Vérifier que la position des points d'amplitude maximale sont les mêmes que celles obtenues dans le cas où les réflexions sont parfaites mais

     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car l'amplitude aux points d'amplitude minimale n'est pas nulle $\;{\big (}$ce sont des « pseudo-nœuds »${\big )}\;$ et
     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car les points d'un « même fuseau » ne vibrent pas rigoureusement en phase d'où
     Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites sa qualification de « pseudo-stationnaire ».

Solution

     Pour évaluer «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$» nous introduisons la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)\;$ dont $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)\;$ est la partie réelle c'est-à-dire telle que $\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=\Re \!\left[{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)\right]$, à savoir
     Pour évaluer «$\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}\;$» ou encore «$\;{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\underline {A_{n}}}(x)\,\exp(i\,\omega \,t)\;$» avec l'amplitude complexe associée
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}}\;$» «$\;{\underline {A_{n}}}(x)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]\,\sum \limits _{q=1}^{n}\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left[-i\,(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace \;$» ou encore

     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}}\;$» «$\;{\underline {A_{n}}}(x)=\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}{\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]\,\left\lbrace (\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left[-i\,(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}\;$» c'est-à-dire la « somme des $\;n\;$ 1^ers termes d'une suite géométrique de 1^er terme $\;{\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]\;$ et de raison $\;(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)\;$» d'où
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\sum \limits _{q=1}^{n}{\Big [}(\rho \,\rho ')^{(q-1)}\,\exp \!\left\lbrace i\,\left[\omega \,t+\varphi _{1}(x)-(q-1)\,2\,k\,L\right]\right\rbrace {\Big ]}}\;$» «$\;{\underline {A_{n}}}(x)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)}}\;$» ;

     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de l'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{n}}}(x)={\mathcal {A}}_{1}(x)\,\exp \!\left[i\,\varphi _{1}(x)\right]{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)}}\;$» nous en déduisons
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son module «$\;A_{n}(x)=\left\vert {\underline {A_{n}}}(x)\right\vert ={\mathcal {A}}_{1}(x)\,{\dfrac {{\Big \vert }1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L){\Big \vert }}{{\Big \vert }1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L){\Big \vert }}}\;$
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son module «$\;\color {transparent}{A_{n}(x)}$ $={\mathcal {A}}_{1}(x)\,{\sqrt {\dfrac {\left[1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L)\right]\,\left[1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L)\right]^{*}}{\left[1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)\right]\,\left[1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)\right]^{*}}}}\;$
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son module «$\;\color {transparent}{A_{n}(x)}$ $={\mathcal {A}}_{1}(x)\,{\sqrt {\dfrac {\left[1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(-2\,i\,n\,k\,L)\right]\,\left[1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\exp(+2\,i\,n\,k\,L)\right]}{\left[1-(\rho \,\rho ')\;\exp(-2\,i\,k\,L)\right]\,\left[1-(\rho \,\rho ')\;\exp(+2\,i\,k\,L)\right]}}}\;$
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son module «$\;\color {transparent}{A_{n}(x)}$ $={\mathcal {A}}_{1}(x)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-(\rho \,\rho ')^{n}\,\left[\exp(+2\,i\,n\,k\,L)+\exp(-2\,i\,n\,k\,L)\right]}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-(\rho \,\rho ')\,\left[\exp(+2\,i\,k\,L)+\exp(-2\,i\,k\,L)\right]}}}={\mathcal {A}}_{1}(x)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$»
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son module finalement «$\;A_{n}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$» ainsi que

     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son argument «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{1}(x)+\mathrm {arg} \left\lbrace 1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\left[\cos(2\,n\,k\,L)-i\,\sin(2\,n\,k\,L)\right]\right\rbrace -\mathrm {arg} \left\lbrace 1-(\rho \,\rho ')\;\left[\cos(2\,k\,L)-i\,\sin(2\,k\,L)\right]\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$en effet pour déterminer l'argument d'une somme de complexes, il est judicieux de mettre cette somme sous forme algébrique${\big ]}\;$ soit, $\;(\rho \,\rho ')\;$ étant $\;<\;$ à $\;1\;$ $\Rightarrow$ $\;(\rho \,\rho ')^{n}<1\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)>0\\1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)>0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\mathrm {arg} \left[1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)+i\;(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,k\,L)\right]\\\mathrm {arg} \left[1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)+i\;(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,k\,L)\right]\end{array}}\right\rbrace \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et par suite s'exprime sous forme d'un arctangente d'où
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son argument «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{1}(x)+\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)}}\right]\;$» soit
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son argument finalement «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)+\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)}}\right]\;$ dans laquelle
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de son argument finalement «$\;\color {transparent}{\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+}$ $\;\alpha _{1}(x)\;$ est tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\right]\;$ dans laquelle
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de «$\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=}$ $A_{n}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$ et
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de «$\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\right.}$ $\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)+\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)}}\right]\;$» avec
     Pour évaluer «$\;\color {transparent}{{\underline {s_{{\text{tot}},\,n}}}(M,\,t)}\;$» de l'expression de «$\;\color {transparent}{s_{{\text{tot}},\,n}(M,\,t)=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\right.}$ $\color {transparent}{\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+}$ $\alpha _{1}(x)\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Les points d'amplitude maximale sont d'abscisse $\;x_{V}\;$ vérifiant «$\;A_{n}(x_{V})=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{V})\right]}}\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$ maximale $\Leftrightarrow$ $\;1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{V})\right]\;$ maximale » c'est-à-dire «$\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{V})\right]=-1\;$» ou «$\;2\,k\,(L-x_{V})\equiv \pi \!\!\mod (2\,\pi )\;$» soit «$\;L-x_{V}\equiv {\dfrac {\pi }{2\,k}}\!\!\mod \left({\dfrac {\pi }{k}}\right)\;$» ou, avec $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}$, «$\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\lambda }{4}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire la même abscisse que celle des ventres de vibration dans le cas de réflexions parfaites, l'amplitude aux ventre valant «$\;A_{n}(x_{V_{m}})=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$» ainsi que

     les points d'amplitude minimale sont d'abscisse $\;x_{N}\;$ vérifiant «$\;A_{n}(x_{N})=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{N})\right]}}\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$ minimale $\Leftrightarrow$ $\;1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{N})\right]\;$ minimale » c'est-à-dire «$\;\cos \!\left[2\,k\,(L-x_{N})\right]=+1\;$» ou «$\;2\,k\,(L-x_{N})\equiv 0\!\!\mod (2\,\pi )\;$» soit «$\;L-x_{N}\equiv 0\!\!\mod \left({\dfrac {\pi }{k}}\right)\;$» ou, avec $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}$, «$\;x_{N_{m}}=L-m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$» c'est-à-dire la même abscisse que celle des nœuds de vibration dans le cas de réflexions parfaites, l'amplitude aux « pseudo-nœuds » valant «$\;A_{n}(x_{N_{m}})=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$» ;

     la phase $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}\;$ dépendant de $\;x\;$ par «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)+\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,k\,L)}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,k\,L)}{1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,k\,L)}}\right]\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos(k\,x)-\rho \,\cos(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin(k\,x)+\rho \,\sin(k\,x-2\,k\,L)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,k\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     la phase $\;\color {transparent}{\varphi _{{\text{tot}},\,n}}\;$ dépendant de $\;\color {transparent}{x}\;$ les points entre deux « pseudo-nœuds » consécutifs ne vibrent pas a priori en phase, de plus
     les points d'abscisse $\;x_{N_{m}}\;$ étant d'amplitude non nulle par «$\;A_{n}(x_{N_{m}})=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\neq 0\;$»
     les points d'abscisse $\;\color {transparent}{x_{N_{m}}}\;$ étant d'amplitude non nulle sont des « pseudo-nœuds » et non des nœuds, d'où le qualificatif de « pseudo-stationnaire » donné à l'onde résultante étudiée.

 

Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites

     Nous nous proposons de simplifier l'expression de $\;s_{{\text{tot}},\,n}=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\right]\;$ dans la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions parfaites sur le vibreur et n sur la poulie » en admettant que cette condition traduit, dans le cas de réflexions non parfaites, une « hypothétique résonance » ;

     Nous nous proposons de simplifier l'expression de l'amplitude $\;A_{n}(x)\;$ de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie dans la « condition d'hypothétique résonance » et

                Nous nous proposons de simplifier celle de la phase $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\;$ de cette onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie dans cette même « condition d'hypothétique résonance » puis

     Nous nous proposons de réécrire l'expression de $\;s_{{\text{tot}},\,n}\;$ dans cette même « condition d'hypothétique résonance ».

Solution

     Nous plaçant dans la condition de résonance établie précédemment avec des réflexions successives sur la poulie et le vibreur idéales c'est-à-dire «$\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$», nous pouvons réécrire les expressions de

• l'amplitude $\;A_{n}(x)\;$ de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie avec «$\;k_{p}={\dfrac {p\,\pi }{L}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» selon «$\;A_{n}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,{\dfrac {p\,\pi }{L}}\,(L-x)\right]}}\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,p\,\pi )}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,p\,\pi )}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit «$\;A_{n}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}\,{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}}{1-(\rho \,\rho ')}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et
• la phase $\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\;$ de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie avec «$\;k_{p}={\dfrac {p\,\pi }{L}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» selon «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x){\cancel {\;+\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')^{n}\;\sin(2\,n\,p\,\pi )}{1-(\rho \,\rho ')^{n}\;\cos(2\,n\,p\,\pi )}}\right]-\arctan \!\left[{\dfrac {(\rho \,\rho ')\;\sin(2\,p\,\pi )}{1-(\rho \,\rho ')\;\cos(2\,p\,\pi )}}\right]}}\;$ avec $\;\alpha _{1}(x)\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)-\rho \,\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}-2\,p\,\pi \right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,{\dfrac {p\,\pi }{L}}\,(L-x)\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)+\rho \,\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}-2\,p\,\pi \right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,{\dfrac {p\,\pi }{L}}\,(L-x)\right]}}}\end{array}}\right\rbrace ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit «$\;\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)\;$ avec $\;\alpha _{1}(x)\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)-\rho \,\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)+\rho \,\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}}\end{array}}\right\rbrace ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Finalement l'expression du signal de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie sous la « condition d'hypothétique résonance » est «$\;s_{{\text{tot}},\,n}(x)=A_{n}(x)\,\cos \!\left[\omega \,t+\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)\right]\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{n}(x)=a_{0}\,{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}\,{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}}{1-(\rho \,\rho ')}}\\\varphi _{{\text{tot}},\,n}(x)=\varphi _{0}+\alpha _{1}(x)\;{\text{avec}}\;\alpha _{1}(x)\;{\text{tel que}}\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\cos \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)-\rho \,\cos \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}}\\\sin \!\left[\alpha _{1}(x)\right]\!\!&=&\!\!-{\dfrac {\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)+\rho \,\sin \!\left(p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right)}{\sqrt {1+\rho ^{2}-2\,\rho \,\cos \!\left[2\,p\,\pi \,{\dfrac {x}{L}}\right]}}}\end{array}}\right\rbrace \end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites

     Ayant vérifié, dans la solution de la question « évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie » plus haut dans cet exercice,
     Ayant vérifié, l'existence, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des « pseudo-nœuds » remplaçant les nœuds de l'onde résultante dans le cas de réflexions parfaites d'une part, et
     Ayant vérifié, que les points d'un même « fuseau » $\;{\big (}$limité par deux « pseudo-nœuds » consécutifs${\big )}\;$ ne vibrent pas rigoureusement en phase d'autre part,

     préciser l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » dans la « condition d'hypothétique résonance » $\;{\big [}$c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions parfaites sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie »${\big ]}\;$ et

     préciser leur limite respective quand le nombre $\;n\;$ de réflexions sur la poulie est très grand $\;{\big (}$théoriquement infini${\big )}$.

Solution

     L'onde obtenue en superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires » successives après $\;(n-1)\;$ réflexions non parfaites sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie étant « pseudo-stationnaire » et

     $\;\succ \;$« ses ventres $\;V\;$ étant d'abscisse $\;x_{V_{m}}=L-{\dfrac {(2\,m+1)\,\lambda }{4}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ${\big (}$c'est-à-dire la même abscisse que celle des ventres de vibration dans le cas de réflexions parfaites${\big )}\;$ d'amplitude de vibration $\;A_{n}(x_{V_{m}})$ $=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$» ainsi que

     $\;\succ \;$« ses “ pseudo-nœuds” $\;N\;$ d'abscisse $\;x_{N_{m}}=L-m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {N} \;$ ${\big (}$c'est-à-dire la même abscisse que celle des nœuds de vibration dans le cas de réflexions parfaites${\big )}\;$ d'amplitude de vibration $\;A_{n}(x_{N_{m}})$ $=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k\,L)}}}\;$»,

     le report de la « condition d'hypothétique résonance » $\;{\big [}$c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions parfaites sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie »${\big ]}\;$ nous donne les valeurs suivantes pour l'amplitude de vibration des points particuliers :
          le report de la « condition d'hypothétique résonance » $\;\succ \;$ventres sous « condition d'hypothétique résonance » $\;A_{n}(x_{V_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k_{p}\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k_{p}\,L)}}}\;$ dans laquelle $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ soit $\;A_{n}(x_{V_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,p\,\pi )}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,p\,\pi )}}}=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')}}}\;$ soit, après simplification,
               le report de la « condition d'hypothétique résonance » $\;\color {transparent}{\succ }\;$ventres sous « condition d'hypothétique résonance » «$\;A_{n}(x_{V_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}}{1-(\rho \,\rho ')}}\;$» et
          le report de la « condition d'hypothétique résonance » $\;\succ \;$« pseudo-nœuds » sous « condition d'hypothétique résonance » $\;A_{n}(x_{N_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,k_{p}\,L)}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,k_{p}\,L)}}}\;$ dans laquelle $\;k_{p}\,L=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ soit $\;A_{n}(x_{N_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}\,\cos(2\,n\,p\,\pi )}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')\,\cos(2\,p\,\pi )}}}=a_{0}\,\left(1+\rho \right)\,{\sqrt {\dfrac {1+(\rho \,\rho ')^{2\,n}-2\,(\rho \,\rho ')^{n}}{1+(\rho \,\rho ')^{2}-2\,(\rho \,\rho ')}}}\;$ soit, après simplification,
                    le report de la « condition d'hypothétique résonance » $\;\color {transparent}{\succ }\;$« pseudo-nœuds » sous « condition d'hypothétique résonance » «$\;A_{n}(x_{N_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,\left(1-\rho \right)\,{\dfrac {1-(\rho \,\rho ')^{n}}{1-(\rho \,\rho ')}}\;$» ;

     quand le nombre $\;n\;$ de réflexions sur la poulie devient très grand $\;{\big (}$théoriquement infini${\big )}$, «$\;\rho \,\rho '\;$ étant $\;<1\;$», $\;\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(\rho \,\rho ')^{n}=0\;$ et par suite
            quand le nombre $\;\color {transparent}{n}\;$ de réflexions sur la poulie devient très grand l'amplitude aux ventres devient «$\;A_{\infty }(x_{V_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,{\dfrac {1+\rho }{1-\rho \,\rho '}}\;$» et
                     quand le nombre $\;\color {transparent}{n}\;$ de réflexions sur la poulie devient très grand celle aux « pseudo-nœuds » «$\;A_{\infty }(x_{N_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,{\dfrac {1-\rho }{1-\rho \,\rho '}}\;$».

 

Évaluation des cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur

     Expérimentalement la mesure de l'« amplitude aux ventres » donnant la valeur de «$\;10\,a_{0}\;$» et
              Expérimentalementcelle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ” » la valeur de «$\;{\dfrac {a_{0}}{2}}\;$»,

     Expérimentalementen déduire les valeurs des cœfficients de réflexion $\;\rho \;$ sur la poulie et $\;\rho '\;$ sur le vibreur ;

     commenter en précisant la puissance renvoyée par la réflexion sur la poulie ou sur le vibreur sachant que la puissance transportée par une onde progressive est $\;\propto \;$ au signal de cette onde.

Solution

     Reportant la valeur de l'« amplitude aux ventres » dans son expression sous la « condition d'hypothétique résonance » $\;{\big [}$c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les $\;n\;$ 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après $\;(n-1)\;$ réflexions parfaites sur le vibreur et $\;n\;$ sur la poulie »${\big ]}\;$ avec un très grand nombre $\;n\;$ de réflexions sur la poulie $\;{\big (}$théoriquement infini${\big )}\;$ nous en déduisons une 1^ère équation en $\;\rho \;$ et $\;\rho '$ : «$\;A_{\infty }(x_{V_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,{\dfrac {1+\rho }{1-\rho \,\rho '}}=10\,a_{0}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {1+\rho }{1-\rho \,\rho '}}=10\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$» et

           Reportant celle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ” » dans son expression sous la « condition d'hypothétique résonance » avec un très grand nombre $\;n\;$ de réflexions sur la poulie $\;{\big (}$théoriquement infini${\big )}\;$ nous en déduisons une 2^ème équation en $\;\rho \;$ et $\;\rho '$ : «$\;A_{\infty }(x_{N_{m},\,{\text{hyp. rés.}}})=a_{0}\,{\dfrac {1-\rho }{1-\rho \,\rho '}}={\dfrac {a_{0}}{2}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {1-\rho }{1-\rho \,\rho '}}={\dfrac {1}{2}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» ;

     nous obtenons un système de deux équations non linéaires en $\;\rho \;$ et $\;\rho '\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {1+\rho }{1-\rho \,\rho '}}=10\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {1-\rho }{1-\rho \,\rho '}}={\dfrac {1}{2}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     nous éliminons $\;\rho '\;$ en formant $\;{\dfrac {\left({\mathfrak {1}}\right)}{\left({\mathfrak {2}}\right)}}\;$ soit «$\;{\dfrac {1+\rho }{1-\rho }}=20\;$» $\Leftrightarrow$ $\;1+\rho =20\,\left(1-\rho \right)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;21\,\rho =19\;$ soit finalement «$\;\rho ={\dfrac {19}{21}}\simeq 0,905\;$» ;      reportant la valeur de $\;\rho ={\dfrac {19}{21}}\;$ dans l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ ${\big \{}$ou l'équation $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\!{\big \}}\;$ nous obtenons «$\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;\;{\dfrac {1+{\dfrac {19}{21}}}{1-{\dfrac {19}{21}}\,\rho '}}=10\;$» $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {40}{21-19\,\rho '}}=10\;$ $\Leftrightarrow$ $\;4=21-19\,\rho '\;$ $\Leftrightarrow$ $\;19\,\rho '=17\;$ soit finalement «$\;\rho '={\dfrac {17}{19}}\simeq 0,895\;$» ;

     sachant que la puissance transportée par une onde progressive est $\;\propto \;$ au signal de cette onde, nous en déduisons que

• la réflexion sur la poulie renvoie la fraction $\;\rho ^{2}={\dfrac {\left(19\right)^{2}}{\left(21\right)^{2}}}\simeq 0,819\;$ de la puissance y arrivant et
• la réflexion sur le vibreur renvoie la fraction $\;\left(\rho '\right)^{2}={\dfrac {\left(17\right)^{2}}{\left(19\right)^{2}}}\simeq 0,801\;$ de la puissance y arrivant.

     Remarque : Nous n'obtenons pas $-$ dans le cas des réflexions réelles $-$ d'ondes « purement stationnaires »  et c'est compréhensible car la présence de nœuds dans une onde purement stationnaire empêche la propagation de la puissance qui reste localisée entre les nœuds alors qu'ici les nœuds sont remplacés par des « pseudo-nœuds », d'amplitude certes faible mais non nulle, correspondant à une propagation de puissance, même si cette propagation est limitée, la plus grande proportion restant localisée entre les points de vibration minimale.

 

Étude des modes propres d'une corde de Melde

Étude théorique

     Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur, relié à l'extrémité $\;O\;$ de la corde, effectue des oscillations verticales sinusoïdales d'amplitude $\;a$, «$\;\xi ({\text{vibreur}},\,t)=a\,\cos(\omega \,t)\;$» ;
         Dans l'expérience de la corde de Melde, la corde, dans sa position de repos, est horizontale, de longueur $\;L$, de masse linéique $\;\mu$, fixée à l'autre extrémité et de tension $\;T_{0}$, son point générique étant d'abscisse $\;x\;$ repérée à partir de $\;O\;$ choisi comme origine de l'axe confondu avec la position de repos de la corde et orienté vers l'extrémité fixe de celle-ci.

Déplacement instantané en tout point de la corde

     Déterminer le déplacement $\;\xi (x,\,t)\;$ de tout point $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ de la corde à l'instant $\;t$.

Solution

     La « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde étant $\;c={\sqrt {\dfrac {T_{0}}{\mu }}}\;$», la « pulsation spatiale $\;{\big (}$ou norme du vecteur d'onde${\big )}\;$ pour une pulsation $\;{\big (}$temporelle${\big )}$ $\;\omega \;$ se détermine par $\;k={\dfrac {\omega }{c}}\;$» ;

     la « solution stationnaire de pulsation $\;\omega \;$ s'écrivant $\;\xi (x,\,t)=A\,\cos(k\,x+\psi _{0})\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\;$» doit satisfaire aux C.A.L. à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l l}\xi (0,\,t)\!\!\!&=&\!\!\!A\,\cos(\psi _{0})\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\!\!\!&=&\!\!\!a\,\cos(\omega \,t)&\forall \;t\\\xi (L,\,t)\!\!\!&=&\!\!\!A\,\cos(k\,L+\psi _{0})\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\!\!\!&=&\!\!\!0&\forall \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     $\;\succ \;$de la dernière C.A.L. on tire «$\;\cos(k\,L+\psi _{0})=0\;$» soit «$\;k\,L+\psi _{0}={\dfrac {(2\,n+1)\,\pi }{2}},\;n\in \mathbb {N} \;$», nous choisissons arbitrairement «$\;k\,L+\psi _{0}={\dfrac {\pi }{2}}\;$» et

     $\;\succ \;$de la 1^ère on induit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\psi _{0})\,\cos(\varphi _{0})=a\\A\,\cos(\psi _{0})\,\sin(\varphi _{0})=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;\varphi _{0}=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {Z} \;$», nous choisissons «$\;\varphi _{0}=0\;$» d'où la réécriture de la C.A.L. «$\;A\,\cos(\psi _{0})=a\;$» ou,
     $\;\color {transparent}{\succ }\;$en reportant le choix de «$\;\psi _{0}={\dfrac {\pi }{2}}-k\,L\;$», nous obtenons $\;A\,\cos \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-k\,L\right]=a\;$ soit enfin $\;A\,\sin(k\,L)=a\;$ donnant «$\;A={\dfrac {a}{\sin(k\,L)}}\;$» ;

     finalement l'expression du déplacement vertical du point $\;M\;$ s'écrit «$\;\xi (x,\,t)={\dfrac {a}{\sin(k\,L)}}\,\cos \!\left(k\,x+{\dfrac {\pi }{2}}-k\,L\right)\,\cos(\omega \,t)\;$» ou encore «$\;\xi (x,\,t)={\dfrac {a}{\sin(k\,L)}}\,\sin \!\left[k\,(L-x)\right]\,\cos(\omega \,t)\;$».

 

Valeurs de fréquences de résonance

     Déterminer les valeurs des fréquences de résonance ;

     interpréter et commenter ce phénomène de résonance ;

     quels seraient les fréquences propres ainsi que les modes propres associés à une corde identique $\;{\big (}$c'est-à-dire de même longueur, même masse linéique et même tension${\big )}\;$ fixée aux deux extrémités ?

Solution

     Les « ventres d'oscillations $\;V\;$ d'abscisse $\;x_{V}\;$» correspondent à «$\;\left\vert \sin \!\left[k\,(L-x_{V})\right]\right\vert =1\;$», leur « amplitude valant $\;{\dfrac {a}{\left\vert \sin(k\,L)\right\vert }}\;$» est maximale pour les pulsations spatiales $\;{\big (}$ou norme de vecteurs d'onde${\big )}\;$ telles que $\;\left\vert \sin(k\,L)\right\vert \;$ soit minimale c'est-à-dire « pour $\;\left\vert \sin(k\,L)\right\vert =0\;$» ; les « valeurs de pulsations spatiales de résonance » sont donc obtenues pour «$\;k_{n}\,L=n\,\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», nous en déduisons :

     $\;\succ \;$les « pulsations spatiales de résonance $\;k_{n}=n\,{\dfrac {\pi }{L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»,
     $\;\succ \;$les « longueurs d'onde de résonance $\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,\pi }{k_{n}}}=2\,\pi \,{\dfrac {L}{n\,\pi }}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et
     $\;\succ \;$les « fréquences de résonance $\;f_{n}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}}=c\,{\dfrac {n}{2\,L}}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;

     remarque : les longueurs d'onde de résonance étant $\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\Leftrightarrow L=n\,{\dfrac {\lambda _{n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$, la « longueur de la corde à la résonance est un multiple de $\;{\dfrac {\lambda _{n}}{2}}\;$» ;
     remarque : or l'extrémité du côté de la poulie étant un nœud, on en déduit qu'à la résonance le vibreur acquiert le statut de « nœud » en accord avec le fait que l'amplitude aux ventres à la résonance étant infinie, l'amplitude finie du vibreur peut être considérée comme quasi nulle ;

     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : la création d'une perturbation locale de petite durée engendre des oscillations stationnaires aux fréquences propres égales aux fréquences de résonance précédemment déterminées d'où les valeurs des « fréquences propres $\;f_{{\text{propre}},\,n}=f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», les modes propres d'oscillations associés étant les suivants :
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$«$\;n=1\;$ de fréquence propre fondamentale $\;f_{{\text{propre}},\,1}=f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$», le mode propre associé correspond à un fuseau,
          cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=1}\;$ de fréquence propre fondamentale $\;\color {transparent}{f_{{\text{propre}},\,1}=f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}}\;$», le ventre étant au milieu de la corde,
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$«$\;n=2\;$ de fréquence propre de rang $\;2$, $\;f_{{\text{propre}},\,2}=f_{2}={\dfrac {c}{L}}\;$», le mode propre associé correspond à deux fuseaux,
          cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=2}\;$ de fréquence propre de rang $\;\color {transparent}{2}$, $\;\color {transparent}{f_{{\text{propre}},\,2}=f_{2}={\dfrac {c}{L}}}\;$», le milieu de la corde étant un nœud,
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$«$\;n=3\;$ de fréquence propre de rang $\;3$, $\;f_{{\text{propre}},\,3}=f_{3}={\dfrac {3\,c}{2\,L}}\;$», le mode propre associé correspond à trois fuseaux,
          cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=3}\;$ de fréquence propre de rang $\;\color {transparent}{3}$, $\;\color {transparent}{f_{{\text{propre}},\,3}=f_{3}={\dfrac {3\,c}{2\,L}}}\;$», le milieu de la corde étant un ventre,
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$$\cdots$
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$«$\;n=2\,p,\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de fréquence propre de rang pair $\;2\,p$, $\;f_{{\text{propre}},\,2\,p}=f_{2\,p}={\dfrac {p\,c}{L}}\;$», le mode propre associé correspond à $\;2\,p\;$ fuseaux,
          cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=2\,p,\;p\in \mathbb {N} ^{*}}\;$ de fréquence propre de rang pair $\;\color {transparent}{2\,p}$, $\;\color {transparent}{f_{{\text{propre}},\,2\,p}=f_{2\,p}={\dfrac {p\,c}{L}}}\;$», le milieu de la corde étant un nœud,
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$«$\;n=2\,p+1,\;p\in \mathbb {N} \;$ de fréquence propre de rang impair $\;2\,p+1$, $\;f_{{\text{propre}},\,2\,p+1}=f_{2\,p+1}={\dfrac {(2\,p+1)\,c}{2\,L}}\;$» de mode propre à $\;2\,p+1\;$ fuseaux,
          cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=2\,p+1,\;p\in \mathbb {N} }\;$ de fréquence propre de rang impair $\;\color {transparent}{2\,p+1}$, $\;\color {transparent}{f_{{\text{propre}},\,2\,p+1}=f_{2\,p+1}={\dfrac {(2\,p+1)\,c}{2\,L}}}\;$», le milieu de la corde étant un ventre,
     cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : $\;\succ \;$$\cdots$

 

Étude expérimentale

     Dans une expérience de Melde, on suspend un solide de masse $\;m\;$ à l'extrémité initialement attachée et qui passe maintenant dans la gorge d'une poulie, on trouve alors les résultats suivants :
          Dans une expérience de Melde, pour une même longueur $\;L\;$ de la corde et une même masse $\;m\;$ de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de $\;38\,Hz\;$ pour deux fuseaux et
          Dans une expérience de Melde, pour une même longueur $\;\color {transparent}{L}\;$ de la corde et une même masse $\;\color {transparent}{m}\;$ de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de $\;57\,Hz\;$ pour trois fuseaux.

Autres valeurs de fréquences de résonance

     Les valeurs numériques des fréquences de résonance observées sont-elles compatibles entre elles ?

     Dans le cas d'une réponse positive, préciser les valeurs de fréquences de résonance suivantes.

Solution

     La « fréquence de résonance pour deux fuseaux $\;f_{2}=38\,Hz\;$» devant être liée à la fréquence propre fondamentale $\;f_{{\text{propre}},\,1}=f_{1}\;$ par la relation «$\;f_{2}=2\,f_{1}\;$» on en déduit cette dernière «$\;f_{1}={\dfrac {f_{2}}{2}}=19\,Hz\;$» ;

     on vérifie alors le bon accord de l'expérience avec la théorie car la « fréquence de résonance pour trois fuseaux $\;f_{3}=57\,Hz\;$» correspond effectivement à «$\;f_{3}=3\,f_{1}\;$».

     Les fréquences de résonance suivantes correspondent aux fréquences propres d'oscillation de la corde soit :

     Les fréquences de résonance suivantes $\succ \;$«$\;n=4\;$ de fréquence de résonance $\;f_{4}=f_{{\text{propre}},\,4}=4\,f_{1}=76\,Hz\;$», le « mode d'oscillation associé correspond à $\;4\;$ fuseaux »,
     Les fréquences de résonance suivantes $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=4}\;$ de fréquence de résonance $\;\color {transparent}{f_{4}=f_{{\text{propre}},\,4}=4\,f_{1}=76\,Hz}\;$», le milieu de la corde étant un nœud,

     Les fréquences de résonance suivantes $\succ \;$«$\;n=5\;$ de fréquence de résonance $\;f_{5}=f_{{\text{propre}},\,5}=5\,f_{1}=95\,Hz\;$», le « mode d'oscillation associé correspond à $\;5\;$ fuseaux »,
     Les fréquences de résonance suivantes $\;\color {transparent}{\succ }\;$«$\;\color {transparent}{n=5}\;$ de fréquence de résonance $\;\color {transparent}{f_{5}=f_{{\text{propre}},\,5}=5\,f_{1}=95\,Hz}\;$», le milieu de la corde étant un ventre,

     Les fréquences de résonance suivantes $\succ \;$$\cdots$

 

Détermination de la célérité de propagation des ondes sur cette corde

     La longueur de la corde étant $\;L=116\,cm$, en déduire la célérité $\;c\;$ de propagation d'une perturbation sur cette corde.

Solution

     Sachant que la longueur de la corde est $\;L=1,16\,m\;$ et que la fréquence propre fondamentale est $\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}$, nous en déduisons la « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde $\;c=2\,L\,f_{1}\;$» soit numériquement «$\;c=2\times 1,16\times 19\simeq 44,1\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$».

 

Détermination de la masse linéique de cette corde

     La masse du solide accroché à la corde étant $\;m=100\,g$, préciser la tension de la corde puis

     La masse du solide accroché à la corde étant $\;\color {transparent}{m=100\,g}$, déterminer un ordre de grandeur de la masse linéique de cette corde.

     Rappel : on démontre que la célérité de propagation des ondes sur une corde $\;c\;$ ne dépend que de la masse linéique $\;\mu \;$ et de la tension $\;T\;$ de cette corde selon «$\;c={\sqrt {\dfrac {T}{\mu }}}\;$».

Solution

     La tension de la corde, étant égale au poids du solide suspendu, vaut «$\;T_{0}=m\,g=100\,10^{-3}\times 9,8\simeq 0,98\;N\;$».

     La « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde étant liée à la tension de cette dernière ainsi qu'à sa masse linéique par $\;c={\sqrt {\dfrac {T_{0}}{\mu }}}\;$» on en déduit la « masse linéique de cette corde $\;\mu ={\dfrac {T_{0}}{c^{2}}}\;$» soit numériquement d'ordre de grandeur $\;\mu \simeq {\dfrac {0,98}{(44,1)^{2}}}\simeq 5,0\;10^{-4}\;kg\!\cdot \!m^{-1}\;$ ou «$\;\mu \simeq 0,50\;g\!\cdot \!m^{-1}\;$».

 

Anharmonicité d'une corde de piano

     Nous nous intéressons aux modes propres d'une corde de piano de longueur $\;L$, fixée en ses deux extrémités et
     Nous supposons que les pulsations spatiale $\;k\;$ et temporelle $\;\omega \;$ d'une onde se propageant le long de cette corde sont liées par «$\;\omega =c\,k\,{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}\;$» où «$\;c\;$ et $\;\alpha \;$ dépendent de la matière composant la corde, de la section de cette dernière et de sa tension mais pas de sa longueur $\;L\;$» $\;{\big (}$le « cœfficient $\;\alpha \;$ étant dû à la raideur de la corde »${\big )}$.

Détermination des unités de c et α par considérations dimensionnelles

     Déterminer, par considérations dimensionnelles, les unités de $\;c\;$ et $\;\alpha \;$ de la relation «$\;\omega =c\,k\,{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}\;$» dans laquelle $\;k\;$ et $\;\omega \;$ sont respectivement les pulsations spatiale et temporelle d'une onde transversale se propageant le long de la corde considérée puis,

     commenter les résultats obtenus.

Solution

     Les pulsations spatiale $\;k\;$ et temporelle $\;\omega \;$ d'une onde se propageant le long de la corde considérée étant liées par la relation $\;{\big (}$dite « de dispersion »${\big )}$ $\;\omega =c\,k\,{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;c={\dfrac {\omega }{k\,{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}}}\;$» ;

     «$\;c={\dfrac {\omega }{k\,{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}}}\;$ a la même homogénéité que $\;{\dfrac {\omega }{k}}\;$» dans la mesure où «$\;{\sqrt {1+\alpha \,k^{2}}}\;$ est nécessairement sans dimension », d'où
     «$\;c\;$ est exprimée en $\;{\dfrac {{\cancel {rad\,\cdot }}s^{-1}}{{\cancel {rad\,\cdot }}\cdot m^{-1}}}\;$» soit finalement «$\;c\;$ en $\;m\cdot s^{-1}\;$» correspondant effectivement à la dimension de la célérité de propagation des ondes le long de cette corde et

     «$\;\alpha \;$ est telle que $\;\alpha \,k^{2}\;$ est sans dimension » avec «$\;k\;$ s'exprimant en $\;{\cancel {rad\,\cdot }}m^{-1}\;$» d'où «$\;\alpha \;$ en $\;m^{2}\;$», constante ayant les dimensions d'une surface.

 

Détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée

     Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, déterminer les « valeurs possibles de pulsation spatiale $\;k\;$» et

     Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, préciser les « fréquences $\;{\big (}$temporelles${\big )}\;$ correspondantes $\;f\;$ en fonction, entre autres, de $\;c$, $\;\alpha \;$ et $\;L\;$».

Solution

     Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, sa « longueur $\;L\;$ doit être un multiple de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$» d'où
     Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, les valeurs possibles de « longueurs d'onde $\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et par suite
     Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, celles de la « pulsation spatiale $\;k\;$ liée à la longueur d'onde $\;\lambda \;$ par $\;k={\dfrac {2\pi }{\lambda }}\;$» soit «$\;k_{n}=n\,{\dfrac {\pi }{L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;

     Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, les pulsations correspondantes sont «$\;\omega _{n}=c\,k_{n}\,{\sqrt {1+\alpha \,k_{n}^{2}}}=n\,{\dfrac {\pi \,c}{L}}\,{\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» d'où
     Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, les fréquences $\;{\big (}$temporelles${\big )}\;$ correspondantes «$\;f_{n}={\dfrac {\omega _{n}}{2\pi }}\;$» soit «$\;f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}}\,{\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

 

Anharmonicité des cordes de piano quand celles-ci ont de la raideur et méthode pour diminuer leur anharmonicité

     D'après les valeurs possibles de fréquence $\;{\big (}$temporelle${\big )}\;$ d'une corde de piano ayant de la raideur, nous constatons que la fréquence d'un harmonique de rang non unitaire n'est pas multiple de la fréquence fondamentale, on parle alors d'« anharmonicité », cette dernière altérant la qualité du son ;

     expliquer pourquoi, allonger les cordes d'un piano, permet d'améliorer la qualité du son qu'elle engendre.

Solution

     Ayant établi, dans la solution de la question « détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée » plus haut dans cet exercice, que les valeurs possibles de fréquence $\;{\big (}$temporelle${\big )}\;$ d'une corde de piano ayant de la raideur s'écrivent selon «$\;f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}}\,{\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», nous constatons que

• la fréquence $\;f_{n}\;$ de l'harmonique de rang $\;n\;$ d'une corde avec raideur diffère de la fréquence $\;{f'}_{\!n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}}\;$ de l'harmonique de même rang $\;n\;$ de la corde supposée sans raideur, «$\;{\dfrac {f_{n}}{{f'}_{\!n}}}={\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}\;$»,
• la fréquence $\;f_{1}\;$ de l'harmonique fondamental d'une corde avec raideur diffère de la fréquence $\;{f'}_{\!1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$ de l'harmonique fondamental de la corde supposée sans raideur, «$\;{\dfrac {f_{1}}{{f'}_{\!1}}}={\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}\;$» et enfin,
• alors que $\;{f'}_{\!n}=n\,{f'}_{\!1}\;$ c'est-à-dire que la fréquence de l'harmonique de rang $\;n\neq 1\;$ est multiple de la fréquence de l'harmonique fondamental pour la corde supposée sans raideur,
• $\;{\dfrac {f_{n}}{f_{1}}}={\dfrac {{f'}_{\!n}}{{f'}_{\!1}}}\,{\dfrac {\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}}=n\,{\dfrac {\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}}\neq n\;$ si $\;n\neq 1\;$ c'est-à-dire que la fréquence de l'harmonique de rang $\;n\neq 1\;$ n'est pas $\;n\;$ fois la fréquence de l'harmonique fondamental pour la corde avec raideur, ceci définissant l'« anharmonicité » de la corde avec raideur, ce qui correspond à une altération de la qualité du son.

     Une façon de diminuer l'« anharmonicité » de la corde avec raideur consiste à rendre le rapport $\;{\dfrac {\sqrt {1+\alpha \,n^{2}{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}}\;$ le plus proche possible de $\;1\;$ pour $\;n\;$ fixé, ce qui est d'autant mieux réalisé que la longueur $\;L\;$ de la corde est grande $\;{\big (}$l'égalité à $\;1\;$ étant obtenue pour une longueur infinie${\big )}\;$ d'où la raison pour laquelle les cordes d'un piano de concert sont plus longues que celles d'un piano de salon.

     Remarque : augmenter la longueur des cordes d'un piano a aussi pour effet de diminuer la fréquence fondamentale de chaque corde «$\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\,{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}}\simeq {\dfrac {c}{2\,L}}\;$ si $\;L\;$ est grande » ainsi
     Remarque : doubler la longueur $\;L_{0}\;$ d'une corde selon $\;{L'}_{\!0}=2\,L_{0}\;$ $\Rightarrow$ sa fréquence fondamentale $\;{f'}_{\!1}={\dfrac {c}{2\,{L'}_{\!0}}}\,{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{{L'}_{\!0}^{2}}}}}\simeq {\dfrac {c}{4\,L_{0}}}\;$ est approximativement divisée par $\;2\;$ il y a donc diminution de l'« anharmonicité » de cette corde mais pour une fréquence fondamentale plus grave, la fréquence de l'harmonique de rang $\;2\;$ de cette corde allongée étant $\;{f'}_{\!2}=2\,{\dfrac {c}{2\,{L'}_{\!0}}}\,{\sqrt {1+\alpha \,4\,{\dfrac {\pi ^{2}}{{L'}_{\!0}^{2}}}}}={\dfrac {c}{2\,L_{0}}}\,{\sqrt {1+\alpha \,{\dfrac {\pi ^{2}}{L_{0}^{2}}}}}=f_{1}\;$ c'est-à-dire la fréquence fondamentale de la corde non allongée $\Rightarrow$ nous retrouvons la même « anharmonicité » pour cette fréquence $\;{\big (}$cette dernière étant la fréquence de l'harmonique de rang $\;2\;$ de la corde allongée et non plus la fréquence fondamentale de la corde non allongée mais avec une même « anharmonicité »${\big )}\;$ ;
     Remarque : en conclusion l'allongement des cordes d'un piano de concert relativement à celles d'un piano de salon diminue l'« anharmonicité » des cordes simultanément à la diminution de leur fréquence fondamentale
     Remarque : en conclusion mais, pour une fréquence souhaitée, cet allongement n'a, à 1^ère vue, aucune influence sur l'« anharmonicité » des cordes d'un piano de concert, il conviendrait de chercher une autre raison à cette augmentation réelle de la qualité du son $\;\ldots$

 

Fréquences propres d'un tuyau sonore

     La colonne d'air contenue dans un instrument à vent $\;{\big (}$flûte, clarinette $\ldots \,{\big )}\;$ ou dans un tuyau d'orgue vibre selon des « modes propres correspondant à des C.A.L. données » ; dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions suivant que l'extrémité est ouverte ou fermée.

C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée

     Rappelez la C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée.

Solution

     Voir le paragraphe « propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée » du chap.$7$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » pour les C.A.L. sur la surpression acoustique ou la vibration de tranches d'air d'une onde stationnaire dans un tuyau, celle concernant la surpression acoustique étant rappelée ci-dessous :

• « si l’extrémité est ouverte », il y a continuité de la pression, la pression étant imposée de l'extérieur et ne pouvant varier il s'agit d'un « nœud de surpression acoustique »,
• « si l'extrémité est fermée », la pression pouvant varier sans contrainte, on établit qu'il s'agit d'un « ventre de surpression acoustique ».

 

Modes propres de vibration d'une colonne d'air de longueur fixée et de célérité de propagation des vibrations connue

     Nous étudions les modes propres de vibration dans un tuyau de longueur «$\;L\;$» fixée dans lequel la célérité de propagation des ondes est «$\;c\;$» connue.

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes

     Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes puis

     représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $\;3\;$».

Solution

     Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, « la longueur du tuyau doit être un multiple de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$» d'où
     Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, les « longueurs d'onde $\;\lambda _{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» correspondant aux « modes propres définis par $\;L=n{\dfrac {\lambda _{n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et
     Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, les « fréquences propres $\;f_{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» se déduisant de $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\Leftrightarrow f={\dfrac {c}{\lambda }}\;$ soit «$\;f_{n}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}}={\dfrac {c}{\dfrac {2\,L}{n}}}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

Ci-dessous la représentation schématique de la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode propre d'ondes stationnaires c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $\;3\;$» :

 

Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte

     Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte puis

     représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $\;5\;$» $\;{\big (}$justifier cette dernière assertion${\big )}$.

Solution

     Les deux extrémités étant de nature différente, l'une $\;{\big (}$ouverte${\big )}\;$ étant un nœud de surpression et l'autre $\;{\big (}$fermée${\big )}\;$ un ventre, « la longueur du tuyau doit être égale $\;{\dfrac {\lambda }{4}}\;$ à un multiple de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ près » d'où
     Les deux extrémités étant de nature différente, l'une $\;\color {transparent}{\big (}$ouverte$\color {transparent}{\big )}\;$ étant un nœud de surpression et l'autre $\;\color {transparent}{\big (}$fermée$\color {transparent}{\big )}\;$ un ventre, les « longueurs d'onde $\;\lambda _{2\,n+1},\;n\in \mathbb {N} \;$» correspondant aux « modes propres définis par $\;L=(2\,n+1)\,{\dfrac {\lambda _{2\,n+1}}{4}},\;n\in \mathbb {N} \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\lambda _{2\,n+1}={\dfrac {4\,L}{2\,n+1}},\;n\in \mathbb {N} \;$» $\;{\big \{}$ainsi n'existent, dans un tuyau aux deux extrémités de nature différente, que les harmoniques de rang impair${\big \}}\;$ et
     Les deux extrémités étant de nature différente, l'une $\;\color {transparent}{\big (}$ouverte$\color {transparent}{\big )}\;$ étant un nœud de surpression et l'autre $\;\color {transparent}{\big (}$fermée$\color {transparent}{\big )}\;$ un ventre, les « fréquences propres $\;f_{2\,n+1},\;n\in \mathbb {N} \;$» se déduisant de $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\Leftrightarrow f={\dfrac {c}{\lambda }}\;$ soit
    Les deux extrémités étant de nature différente, l'une $\;\color {transparent}{\big (}$ouverte$\color {transparent}{\big )}\;$ étant un nœud de surpression et l'autre $\;\color {transparent}{\big (}$fermée$\color {transparent}{\big )}\;$ un ventre,les « fréquences propres«$\;f_{2\,n+1}=(2\,n+1){\dfrac {c}{4\,L}},\;n\in \mathbb {N} \;$».

Ci-dessous la représentation schématique de la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode propre d'ondes stationnaires c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang $\;5\;$»,
                      $\;{\big \{}$seuls les harmoniques de rang impair existant, le 1^er mode est l'harmonique fondamental, le 2^ème mode, l'harmonique de rang $\;3\;$ et le 3^ème mode, celui de rang $\;5{\big \}}\;$ :

 

Étude de grandes orgues

     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde d'un son de fréquence «$\;32,7\,Hz\;$», correspondant au « Do⁰ »,
     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde en prenant la valeur de la célérité du son à $\;0\,{\text{°C}}\;$ dans l'air égale à «$\;c=331\,m\cdot s^{-1}\;$» ainsi que

     Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur minimale du tuyau produisant cette note.

Solution

     La « longueur d'onde $\;\lambda _{1}\;$ associée à la fréquence $\;f_{1}\;$ correspondant au Do⁰ » est $\;\lambda _{1}={\dfrac {c}{f_{1}}}={\dfrac {331}{32,7}}\;$ en $\;m\;$ soit «$\;\lambda _{1}\simeq 10,122\,m\simeq 10,12\,m\;$».

     Longueur minimale du tuyau produisant ce son : pour que le son émis dans un tuyau de longueur fixée soit le plus grave possible il faut que ce dernier ait une extrémité fermée ;
     Longueur minimale du tuyau produisant ce son : la longueur du tuyau sera alors minimale si la longueur d'onde produite est celle du mode fondamental c'est-à-dire «$\;\lambda _{1}\simeq 10,12\,m\;$» telle que «$\;L={\dfrac {\lambda _{1}}{4}}\;$» soit
     Longueur minimale du tuyau produisant ce son : la longueur du tuyau sera «$\;L\simeq {\dfrac {10,12}{4}}\;$ en $\;m\;$» et finalement «$\;L\simeq 2,531\,m\simeq 2,53\,m\;$».

 

Modélisation d'une clarinette

     Nous supposons qu'une clarinette peut être modélisée très grossièrement par un tube fermé au niveau de l'embouchure et ouvert à son autre extrémité de l'instrument.

Recherche des harmoniques sonores produits par une clarinette

     Expliquer pourquoi le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair.

Solution

     Le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair car cette dernière est modélisée par un tuyau à extrémités fermée au niveau de l'embouchure et ouverte à l'autre extrémité $\;{\big \{}$revoir la justification dans la solution de la question « détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte » plus haut dans cet exercice${\big \}}$,
     Le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair le mode fondamental étant de fréquence «$\;f_{1}={\dfrac {c}{4\,L}},\;$» et
     Le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair le mode générique associé à l'harmonique de rang $\;2\,n+1,\;n\in \mathbb {N} ^{*}$, de fréquence «$\;f_{2\,n+1}=(2\,n+1)\,{\dfrac {c}{4\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

 

Influence d'une « clé de douzième » sur les fréquences propres sonores émises par une clarinette

     Toute clarinette est munie d'une « clé de douzième » ouvrant un trou situé à «$\;{\dfrac {L}{3}}\;$» de l'embouchure.

     Quelles sont dans ce cas, les longueurs d'ondes des modes propres du tuyau modélisant la clarinette entre embouchure et « clé de douzième » ?

     Quel est l'effet de l'ouverture du trou sur la fréquence du son émis par l'instrument $\;{\big (}$faire une application numérique en considérant une « clarinette en si bémol » de longueur «$\;L=71\,cm\;$» de façon à comparer concrètement la fréquence émise lorsque le trou est ouvert à celle émise lorsqu'il est bouché${\big )}$ ?

Solution

     La « clé de douzième d'une clarinette » étant modélisée par un « trou situé à $\;{\dfrac {L}{3}}\;$ de l'embouchure de la clarinette » impose, quand le trou est ouvert, un nœud de surpression alors que
     l'« embouchure de la clarinette » modélisée par une extrémité fermée est un ventre de surpression,
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde $\;\lambda '\;$ doivent être nécessairement telles que «$\;{\dfrac {L}{3}}=(2\,n'+1)\,{\dfrac {\lambda '}{4}},\;n'\in \mathbb {N} \;$» mais aussi
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda '}\;$ doivent être nécessairement telles que, « dans la longueur restante $\;{\dfrac {2\,L}{3}}$, il y ait un multiple de $\;{\dfrac {\lambda '}{2}}\;$», ce qui est réalisé car
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda '}\;$ doivent être nécessairement « la 1^ère condition $\;{\dfrac {L}{3}}=(2\,n'+1)\,{\dfrac {\lambda '}{4}},\;n'\in \mathbb {N} \;$»
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda '}\;$ doivent être nécessairement « la 1^ère condition $\;\color {transparent}{\dfrac {L}{3}}\;$ $\Downarrow$
 s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda '}\;$ doivent être nécessairement « la 1^ère condition «$\;{\dfrac {2\,L}{3}}=(2\,n'+1)\,{\dfrac {\lambda '}{2}},\;n'\in \mathbb {N} \;$ c'est-à-dire la 2^ème condition » ;
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, finalement les longueurs d'onde $\;\lambda '\;$ des modes propres avec la « clé de douzième » sont telles que «$\;{\dfrac {L}{3}}=(2\,n'+1)\,{\dfrac {{\lambda '}_{\!2\,n'+1}}{4}},\;n'\in \mathbb {N} \;$» soit
     s'il y a ondes stationnaires résonantes, finalement les longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda '}\;$ des modes propres avec la « clé de douzième » sont «$\;{\lambda '}_{\!2\,n'+1}={\dfrac {4\,L}{3\,(2\,n'+1)}},\;n'\in \mathbb {N} \;$».

     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : les fréquences propres avec utilisation de la « clé de douzième » «$\;{f'}_{\!2\,n'+1}={\dfrac {c}{{\lambda '}_{\!2\,n'+1}}}={\dfrac {c}{\dfrac {4\,L}{3\,(2\,n'+1)}}},\;n'\in \mathbb {N} \;$» valent
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : les fréquences propres avec utilisation de la « clé de douzième » «$\;{f'}_{\!2\,n'+1}=(2\,n'+1)\,{\dfrac {3\,c}{4\,L}},\;n'\in \mathbb {N} \;$» alors que
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : les fréquences propres sans utilisation de la « clé de douzième » elles valent «$\;f_{2\,n+1}=(2\,n+1)\,{\dfrac {c}{4\,L}},\;n\in \mathbb {N} \;$», d'où
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième » multiplie la fréquence propre fondamentale par un facteur $\;3\;$ soit
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième » «$\;{f'}_{\!1}={\dfrac {3\,c}{4\,L}}=3\,{\dfrac {c}{4\,L}}=f_{3}\;$» $\;{\big \{}$la fréquence propre fondamentale du son émis par la clarinette utilisant sa « clé de douzième » est identique à celle de l'harmonique de rang $\;3\;$ du son que la clarinette émet sans utilisation de sa « clé de douzième »${\big \}}$, de même avec
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième », «$\;{f'}_{\!3}=3\,{\dfrac {3\,c}{4\,L}}=9\,{\dfrac {c}{4\,L}}=f_{9}\;$» $\;{\big \{}$la fréquence de l'harmonique de rang $\;3\;$ du son émis par la clarinette utilisant sa « clé de douzième » est identique à celle de l'harmonique de rang $\;9\;$ du son que la clarinette émet sans utilisation de sa « clé de douzième »${\big \}}\;$ et
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième », «$\;{f'}_{\!5}=5\,{\dfrac {3\,c}{4\,L}}=15\,{\dfrac {c}{4\,L}}=f_{15}\;$» $\;{\big \{}$la fréquence de l'harmonique de rang $\;5\;$ du son émis par la clarinette utilisant sa « clé de douzième » est identique à celle de l'harmonique de rang $\;15\;$ du son que la clarinette émet sans utilisation de sa « clé de douzième »${\big \}}\;$ etc, en conclusion
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième » multiplie la fréquence du son sortant de la clarinette par un facteur $\;3$ $\;{\big \{}$raison pour laquelle cette clé est appelée « clé de douzième » car, dans une douzième juste, le rapport de fréquences entre les deux notes extrêmes de l'intervalle est $\;3:1{\big \}}$ ;

     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : pour une « clarinette en si bémol » de longueur «$\;L=71\,cm\;$», la fréquence fondamentale,
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : pour une « clarinette en si bémol » sans utiliser la « clé de douzième » est «$\;f_{1}={\dfrac {c}{4\,L}}={\dfrac {331}{4\times 0,71}}\simeq 116,5\,Hz\;$» et
     Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : pour une « clarinette en si bémol » en utilisant la « clé de douzième » «$\;{f'}_{\!1}={\dfrac {3\,c}{4\,L}}={\dfrac {3\times 331}{4\times 0,71}}\simeq 349,5\,Hz\;$».