Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propagation d'un signal : Battements
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Sommaire

Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation[modifier | modifier le wikicode]

......On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe entre un vibreur  [1] engendrant un mouvement transversal et une poulie sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse  [2], l'axe de la poulie étant situé à la distance du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ;

......on se propose de prolonger l'étude présentée dans le chapitre traitant des ondes stationnaires mécaniques, montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur donne une onde résultante stationnaire en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en  [3], il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste  ;

......avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire qu'il conviendra d'évaluer mais la superposition des deux ondes stationnaires ne satisfaisant pas à la C.A.L. imposée par le vibreur en

......il y a de nouveau une réflexion sur de l'onde en une onde se propageant vers la poulie, onde qui se réfléchit sur en une onde revenant vers et la superposition des ondes et donne une nouvelle onde résultante stationnaire etc …

......Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des premiers couples de réflexions sur la poulie et le vibreur est l'onde stationnaire superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur , puis
......Le but de cet exercice est de rechercher la condition de résonance d'une telle onde.

......Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites (c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude) puis nous reprendrons l'étude en considérant que la réflexion sur se fait avec un cœfficient de réflexion et celle sur avec un cœfficient de réflexion .

Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la démarche[modifier | modifier le wikicode]

......Rappeler la démarche permettant d'établir l'onde réfléchie une première fois sur le vibreur à partir de l'onde réfléchie sur la poulie au point et à l'instant .

Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r) sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

......Remarquant que se déduit de par simple déphasage, déterminer sans calcul l'expression de l'onde résultante à partir de .

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

......Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n premiers couples d'ondes stationnaires successives après une réflexion sur le vibreur et une sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer alors l'onde résultante, superposition des premiers couples d'ondes stationnaires successives après une réflexion sur la poulie et une sur le vibreur et

......vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme .

Évaluation de l'onde résultante précédente[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le but d'évaluer nous introduisons la grandeur instantanée complexe dont est la partie imaginaire, puis l'amplitude complexe telle que  ;

......en remarquant que est la « somme des premiers termes d'une suite géométrique » de premier terme (à expliciter) et de raison (également à expliciter), en déduire une expression simplifiée de puis

......déterminer son module et son argument , dans le but de terminer l'évaluation de et celle de l'onde résultante .

Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier que l'onde résultante obtenue précédemment est bien stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase, les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ;

......exprimer l'amplitude aux ventres et vérifier que la « condition de résonance » telle que vous la connaissez correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres ; nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal » [6] de l'amplitude aux ventres.

Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion r et r'[modifier | modifier le wikicode]

Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)[modifier | modifier le wikicode]

......Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie au point et à l'instant , sachant que l'onde réfléchie en se déduit de l'onde incidente au même point par puis

......déterminer l'onde résultante , superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur , on la mettra sous la forme et on explicitera et  [10] ;

......vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale » [11] d'une part, et d'autre part que les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase.

Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r")[modifier | modifier le wikicode]

......Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur au point et à l'instant , sachant que l'onde réfléchie en se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie au même point par  ;

......vérifier alors que l'onde se déduit de l'onde en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur par un facteur à préciser et en ajoutant à la phase initiale une valeur également à préciser ;

......déduire l'onde résultante ,  [18] à partir de , on l'écrira sous la forme en explicitant et  ;

......vérifier que se déduit de par un facteur multiplicateur à préciser mais qu'il n'y a pas de relations simples entre et dans le cas général.

Itération du procédé[modifier | modifier le wikicode]

......Itérer le procédé exposé précédemment dans le but d'obtenir l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers après réflexions sur et l'onde se propageant vers après réflexions sur à partir de .

Expression de l'onde résultante superposant les n premiers couples d'ondes résultantes successives après une réflexion sur le vibreur et une sur la poulie[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer alors l'onde résultante, superposition des premiers couples d'ondes résultantes successives après une réflexion sur la poulie et une sur le vibreur et

......vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme dans laquelle on explicitera les différents termes introduits.

Évaluation de l'onde résultante précédente dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le but de simplifier l'expression de nous nous plaçons dans la condition de résonance établie dans le paragraphe précédent avec des réflexions successives sur la poulie et le vibreur idéales et considérons que cette condition est réalisée dans le cas présent où les réflexions successives ne le sont pas ;
......vérifiez alors que quel que soit , ce qui permet de réécrire l'onde résultante sous la forme

 ;

......évaluer alors la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison ,
............en déduire une expression simplifiée de .

Étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale » [11] d'une part, et d'autre part que les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase ;

......préciser l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds » en fonction de , et quand le nombre de réflexions envisagé est très grand (théoriquement infini).

Évaluation des cœfficients de réflexion sur la poulie et le vibreur[modifier | modifier le wikicode]

......Expérimentalement on trouve que l'« amplitude » aux ventres est et celle aux « pseudo-nœuds »  ;

......en déduire les cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur ;

......commenter.

Étude des modes propres d'une corde de Melde[modifier | modifier le wikicode]

Étude théorique[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur effectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude ,  ; la corde horizontale dans sa position de repos, de longueur , de masse linéique , est fixée à l'autre extrémité et la tension de la corde est notée .

Déplacement instantané en tout point de la corde[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer le déplacement de tout point de la corde à l'instant .

Valeurs de fréquences de résonance[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les valeurs des fréquences de résonance ;

......interpréter et commenter ce phénomène de résonance ;

......quels seraient les fréquences propres ainsi que les modes propres associés à une corde identique (c'est-à-dire de même longueur, même masse linéique et même tension) fixée aux deux extrémités ?

Étude expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

......Dans une expérience de Melde, on suspend un solide de masse à l'extrémité initialement attachée et qui passe maintenant dans la gorge d'une poulie [27], on trouve alors les résultats suivants : pour une même longueur de la corde et une même masse de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de pour deux fuseaux et de pour trois fuseaux.

Autres valeurs de fréquences de résonance[modifier | modifier le wikicode]

......Les valeurs numériques des fréquences de résonance observées sont-elles compatibles entre elles ?

......Dans le cas d'une réponse positive, préciser les valeurs de fréquences de résonance suivantes.

Détermination de la célérité de propagation des ondes sur cette corde[modifier | modifier le wikicode]

......La longueur de la corde étant , en déduire la célérité de propagation d'une perturbation sur cette corde.

Détermination de la masse linéique de cette corde[modifier | modifier le wikicode]

......La masse du solide accroché à la corde étant , préciser la tension de la corde puis

......déterminer un ordre de grandeur de la masse linéique de cette corde.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Choisi comme origine de l'axe , ce dernier étant orienté vers l'autre extrémité c'est-à-dire la poulie.
  2. La tension de la corde est alors est l'intensité du champ de pesanteur local.
  3. En effet .
  4. Nous ne tenons pas compte des deux réflexions qui induisent un déphasage supplémentaire de car ce déphasage ne change pas l'état vibratoire.
  5. 5,0 et 5,1 Voir le chap. Suites arithmétique et géométrique de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. En fait la condition « connue » de résonance annule aussi le numérateur de l'amplitude aux ventres, ce qui conduit donc à une forme indéterminée qu'il conviendrait de lever ; cette levée d'indétermination qu'il n'est pas demandé de faire conduit à une très grande valeur d'amplitude aux ventres qu'il est licite de considérer comme maximale.
  7. On admet que cela correspond effectivement à une valeur maximale.
  8. On a encore car est un nombre entier fini.
  9. Quand l'angle en radian est de valeur absolue petite c'est-à-dire quand , on peut confondre la valeur de son sinus avec sa valeur en radian c'est-à-dire .
  10. sera déterminé en précisant son cosinus et son sinus.
  11. 11,0 et 11,1 Ces positions étant aux endroits des nœuds, on peut les appeler des « pseudo-nœuds ».
  12. Par utilisation de la formule d'Euler relative au cosinus .
  13. On a utilisé la parité du cosinus de façon à ce que le cœfficient de dans son argument soit positif.
  14. C'est-à-dire que tous les fuseaux sont identiques de longueur .
  15. Toutefois l'« amplitude » aux ventres n'est pas la même, elle vaut ici au lieu de .
  16. « Pseudo-nœuds » et non « nœuds » car ces derniers ne vibrent pas.
  17. L'« amplitude » aux « pseudo-nœuds » n'est pas nulle, elle vaut ici au lieu de .
  18. On rappelle que l'onde est l'onde réfléchie de l'onde sur la poulie.
  19. Toutes deux multiples de .
  20. Alors que le vibreur n'absorbe, apparemment, aucune puissance lors des réflexions successives.
  21. Le caractère stationnaire doit être caractérisé par l'absence de dépendance de la phase initiale avec , or ici ce n'est pas le cas, les phases initiales contiennent des termes en et en traduisant la propagation vers les et .
  22. Ce choix étant arbitraire.
  23. On utilise la formule de trigonométrie puis on identifie la forme développée de à soit pour tout d'où les deux relations.
  24. En fait deux choix restent possibles parmi les déterminations principales de la phase initiale (c'est-à-dire les déterminations , nous choisissons la plus simple, l'autre correspondrait à un changement de signe du cœfficient devant le cosinus.
  25. Toutefois cette condition entraîne une amplitude aux ventres infinie, ce qui ne respecte pas le caractère constant de la longueur de la corde, il conviendrait alors d'introduire des éléments limitant cette amplitude, comme l'amortissement des perturbations lors de leur propagation (dû à des forces de frottement) et aussi la raideur de la corde ;
    ......en ce qui concerne ce dernier point, la corde a été considérée comme infiniment élastique c'est-à-dire que sa raideur a été supposée nulle (ainsi une force quasi nulle et par suite un apport d'énergie quasi nul sont suffisants pour provoquer un allongement fini de la corde), ceci ayant pour conséquence la non limitation de l'amplitude aux ventres lors de la résonance, mais dès lors que l'on envisage une raideur non nulle pour la corde, une limitation apparaît due au fait qu'une partie de l'apport d'énergie doit être utilisée pour constituer la réserve d'énergie potentielle élastique de la corde ;
    ......l'étude d'une corde possédant une raideur ne sera pas abordée à notre niveau, nous ne soulèverons donc pas plus la difficulté d'une amplitude aux ventres infinie lors de la résonance.
  26. Cette dernière forme est équivalente à .
  27. Cela permet de tendre la corde et simultanément de connaître sa tension, l'expérience se passant sur Terre où l'intensité de la pesanteur est (on suppose que la tension est suffisante pour que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe).
  28. Il ne s'agit que d'un ordre de grandeur, la précision sur la célérité de propagation d'une perturbation n'étant pas assurée.