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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini

Leçons de niveau 14
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Le laser - Lune

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     Pour mesurer la distance Terre - Lune avec une précision de quelques millimètres, on envoie un faisceau laser en direction de la Lune.

     Une partie de la lumière du laser est réfléchie par un « rétroréflecteur », dispositif qui a la propriété de renvoyer la lumière dans la direction d'où elle arrive et qui a été déposé sur le sol lunaire par les astronautes de la mission en .

     Un télescope terrestre recueille ensuite une partie de la lumière renvoyée par le « rétroréflecteur ».

     La mesure précise de la durée de l'aller - retour de la lumière entre la surface terrestre et la surface lunaire permet de déduire la distance entre ces surfaces.

Évaluation de la durée de l'aller - retour de la lumière entre la Terre et la Lune connaissant la distance les séparant

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     Sachant que , évaluer .

     La précision de l'horloge atomique utilisée étant de , calculer la précision relative sur la valeur de .

Connaissant le diamètre du faisceau au départ de la Terre, détermination du diamètre de la tache sur le sol lunaire

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     Le faisceau au départ de la Terre a un diamètre et sa longueur d'onde dans le vide est . Calculer son rayon angulaire ou demi-angle d'ouverture dû à la diffraction du faisceau théoriquement cylindrique par la pupille de sortie du laser.

     En déduire le diamètre de la tache que fait le faisceau sur le sol lunaire.

Détermination de la fraction de la puissance lumineuse émise par la Terre et reçue par le « rétroréflecteur » de la Lune

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     Le « rétroréflecteur » étant un carré de côté , calculer la fraction de la puissance lumineuse émise par la Terre qui est reçue par le « rétroréflecteur ».

Perte de puissance lumineuse captée par le télescope récepteur de la Terre

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     Expliquer pourquoi le télescope récepteur à la surface de la Terre[8] ne capte qu'une très faible fraction de la lumière réfléchie par le « rétroréflecteur ».

     Au total la puissance lumineuse reçue à l'arrivée étant environ fois la puissance lumineuse émise au départ, estimez-vous que la diffraction soit la seule cause des pertes ?

Mesure du diamètre d'un cheveu

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     Comment s'y prendre pour mesurer le diamètre d'un cheveu de l'ordre de «» en utilisant un laser de longueur d'onde dans le vide «», un écran, une règle de «» graduée et un mètre ruban de «» ?

     Quelle précision maximum peut-on atteindre sachant que la règle et le mètre sont gradués en millimètres ?

Notes et références

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  1. Plus précisément la célérité de la lumière est .
  2. Cette précision ayant pour conséquence que les 1ers chiffres suivant la virgule dans la mesure de sont assurés et que l'imprécision ne porte que le 11ème chiffre ;
       supposant connue avec une meilleure précision, on en déduit que l'incertitude relative sur est identique à celle sur et une précision relative sur la distance « surface terrestre - surface lunaire » de correspond à une incertitude absolue de en soit de , permettant de connaître la distance « Terre - Lune » au centimètre près.
  3. C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol lunaire est la tache d'Airy.
       Voir la note « 5 » plus bas dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
  4. 4,0 et 4,1 On rappelle qu'il y a dans et bien sûr dans .
  5. 5,0 5,1 et 5,2 George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.
  6. 6,0 et 6,1 Hypothèse simplificatrice mais en fait ce n'est absolument pas uniforme.
  7. Ce n'est qu'un ordre de grandeur en effet :
       on sous-estime légèrement la puissance reçue par la Lune en négligeant celle correspondant aux anneaux de diffraction entourant la tache d'Airy, donc « on surestime légèrement la fraction renvoyée » mais
       si le « rétroréflecteur » est centré sur la tache d'Airy, l'éclairement y est supérieur à l'éclairement moyen et par suite on sous-estime la puissance renvoyée par le « rétroréflecteur » et donc « on sous-estime la fraction renvoyée » ;
       il est néanmoins vraisemblable que la sous-estimation de est plus importante que la surestimation serait certainement une meilleure estimation
       il serait possible de faire un calcul plus exact dans la mesure où on connaît la répartition de l'éclairement dans la tache d'Airy d'une part et d'autre part la position du « rétroréflecteur » dans la tache d'Airy voir le paragraphe « allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       Voir la note « 5 » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
  8. Nous supposerons la taille du télescope récepteur à la surface de la Terre de même taille que le « rétroréflecteur » positionné sur la Lune.
  9. C.-à-d. la partie du faisceau dont l'intersection avec le sol terrestre est la tache principale de diffraction la section étant carrée et non plus un disque, la tache principale est également carrée et non plus la tache d'Airy voir le paragraphe « diffraction par un voilage » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
       Voir la note « 5 » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
  10. C.-à-d. la moitié de fraction de puissance réfléchie par le « rétroréflecteur » relativement à la puissance transportée dans le faisceau principal correspondant à la tache d'Airy.
       Voir la note « 5 » plus haut dans cet exercice pour plus de détails sur Airy.
  11. On peut s'étonner de l'identité des phénomènes car on passe d'une ouverture à un obstacle mais, dans les deux cas, il s'agit de la diffraction par un « bord » ;
       dans le cas d'une fente, le bord de gauche en supposant horizontale la section de la fente « étale » la lumière sur la gauche là où il y aurait eu obscurité et le bord de droite sur la droite où il y aurait eu obscurité d'où la tache centrale alors que,
       dans le cas d'un obstacle en supposant horizontale la section de l'obstacle, le bord de gauche « étale » la lumière sur la droite là où il y aurait eu obscurité et le bord de droite sur la gauche où il y aurait eu obscurité d'où une tache centrale obtenue par recouvrement ;
       le fait que la figure de diffraction à l'infini d'un cheveu est la même que celle de la fente « dans laquelle il s'incrusterait exactement » est une application du théorème de Babinet des écrans « complémentaires » des écrans tels que l'un s'incruste dans l'autre en donnant un écran totalement opaque sont dits « complémentaires ».
       Jacques Babinet (1794 - 1872) est un mathématicien, physicien, astronome et météorologue français, surtout connu pour son invention du compensateur de Babinet utilisé dans l'étude de la biréfringence, mais aussi son invention d'un goniomètre, d'un polariscope se composant de deux polariseurs et d'une source de lumière, utilisant la propriété de photélasticimétrie basée sur la biréfringence des matériaux acquise sous l'effet des contraintes et d'un photomètre entre autres
  12. Voir le paragraphe « expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  13. Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles (fonction sinus au voisinage de zéro) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel «».
  14. Il s'agit d'une incertitude de positionnement
  15. Cela peut sembler beaucoup compte-tenu du fait que l'on peut facilement mesurer à près avec un double-décimètre mais il s'agit d'une incertitude sur la limite estimée du bord de la tache
  16. Voir le paragraphe « application au cas “ z = xp yq ” où “ p et q sont des nombres rationnels relatifs ” » du T.P. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  17. En effet, mesurant «» on trouve «» soit «» ;
         En effet, avec «» et «», on en déduit «».