Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Battements

Accord d'un piano

Établissement de la formule de variation de la célérité de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur par considérations dimensionnelles

     Rappelant que la « célérité $\;c\;$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur » est déterminée par les paramètres physiques de cette dernière,
     Rappelant que la « célérité $\;\color {transparent}{c}\;$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur » est déterminée par la masse volumique $\;\rho \;$ du matériau la composant,
     Rappelant que la « célérité $\;\color {transparent}{c}\;$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur » est déterminée par son diamètre $\;d\;$ ainsi que
     Rappelant que la « célérité $\;\color {transparent}{c}\;$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur » est déterminée par la tension $\;T\;$ à laquelle elle est soumise, et
     faisant l'hypothèse d'une formule du type «$\;c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }\;$» où $\;K$, $\;\alpha$, $\;\beta \;$ et $\;\gamma \;$ sont des constantes sans dimension, déterminer «$\;\alpha$, $\;\beta \;$ et $\;\gamma \;$» par des considérations dimensionnelles.

Solution

     La formule supposée «$\;c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }\;$» s'exprimant en «$\;m\cdot s^{-1}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;[L]\,[T]^{-1}\;$» avec «$\;K\;$» sans dimension,
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» s'exprimant en «$\;\color {transparent}{m\cdot s^{-1}}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;\color {transparent}{[L]\,[T]^{-1}}\;$» avec «$\;\rho \;$» en «$\;kg\cdot m^{-3}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;[M]\,[L]^{-3}\;$»,
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» s'exprimant en «$\;\color {transparent}{m\cdot s^{-1}}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;\color {transparent}{[L]\,[T]^{-1}}\;$» avec «$\;d\;$» en «$\;m\;$» ayant l'homogénéité de «$\;[L]\;$» et
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» s'exprimant en «$\;\color {transparent}{m\cdot s^{-1}}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;\color {transparent}{[L]\,[T]^{-1}}\;$» avec «$\;T\;$» en «$\;N=kg\cdot m\cdot s^{-2}\;$» ayant l'homogénéité de «$\;[M]\,[L]\,[T]^{-2}\;$»,
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» nous en déduisons, par identification dimensionnelle, «$\;[L]\,[T]^{-1}=\left\lbrace [M]^{\alpha }\,[L]^{(-3\,\alpha )}\right\rbrace \,[L]^{\beta }\,\left\lbrace [M]^{\gamma }\,[L]^{\gamma }\,[T]^{(-2\,\gamma )}\right\rbrace =[M]^{(\alpha +\gamma )}\,[L]^{(-3\,\alpha +\beta +\gamma )}\,[T]^{(-2\,\gamma )}\;$» d'où
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» nous en déduisons, par identification des exposants de «$\;[T]\;$», $\;-2\,\gamma =-1\;$ soit «$\;\gamma ={\dfrac {1}{2}}\;$»,
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» nous en déduisons, par identification des exposants de «$\;[M]\;$», $\;\alpha +\gamma =0\;$ soit «$\;\alpha =-\gamma =-{\dfrac {1}{2}}\;$» et
     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» nous en déduisons, par identification des exposants de «$\;[L]\;$», $\;-3\,\alpha +\beta +\gamma =1\;$ soit «$\;\beta =1+3\,\alpha -\gamma =1-4\,\gamma =-1\;$» ;

     La formule supposée «$\;\color {transparent}{c=K\,\rho ^{\alpha }\,d^{\beta }\,T^{\gamma }}\;$» nous pouvons donc réécrire la formule selon «$\;c=K\,{\dfrac {\sqrt {T}}{{\sqrt {\rho }}\,d}}=K\,{\sqrt {\dfrac {T}{\rho \,d^{2}}}}\;$» avec $\;K\;$ constante sans dimension.

 

Accord du piano par réglage des trois cordes donnant les notes les plus aiguës

     Bien qu'une corde de piano ne soit pas sans raideur nous admettrons que la dépendance de la « célérité $\;c\;$ de propagation des ondes transversales le long d'une corde avec raideur » relativement à la « tension $\;T\;$ à laquelle elle est soumise » est bien celle déterminée dans la solution de la question « établissement de la formule de variation de la célérité de propagation des ondes transversales le long d'une corde sans raideur par considérations dimensionnelles » plus haut dans cet exercice.

     Les notes les plus aiguës d'un piano étant produites par trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence, nous réalisons ce réglage $\;{\big (}$l'accord du piano${\big )}\;$ en ajustant les tensions des cordes et pour cela, nous utilisons le phénomène de battement.

Détermination du lien entre la fréquence fondamentale de vibration d'une corde et la tension à laquelle cette dernière est soumise

     Nous admettons qu'en frappant une corde de piano, il se développe, sur celle-ci, des ondes stationnaires et
     Nous admettons que la longueur d'onde fondamentale de vibration de la corde est le double de la longueur de cette dernière.

     Sachant que la « fréquence fondamentale de vibration de la corde varie comme $\;T^{\,\delta }\;$», déterminer l'« exposant $\;\delta \;$».

Solution

     Pour la « fréquence fondamentale de vibration de la corde », la longueur $\;L\;$ de cette dernière est $\;{\dfrac {\lambda _{1}}{2}}\;$ $\;{\big (}$le mode de vibration de la corde étant à un fuseau${\big )}\;$ avec «$\;\lambda _{1}={\dfrac {c}{f_{1}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$» ce qui établit que la « fréquence fondamentale de vibration de chaque corde varie comme $\;c\;$» c'est-à-dire comme «$\;{\sqrt {T}}=T^{\frac {1}{2}}\;$» à identifier à $\;T^{\,\delta }\;$ d'où «$\;\delta ={\dfrac {1}{2}}\;$».

 

Détermination de la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné

     Considérant deux cordes vibrant à la « fréquence fondamentale $\;440\,Hz\;$», nous supposons entendre les battements à l'oreille si la « période de battements est comprise entre $\;0,5\,s\;$ et $\;5\,s\;$», en déduire la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de ces deux cordes par cette méthode.

Solution

     La « période de battements $\;{\big (}$à l'oreille${\big )}\;$ entre les deux cordes vibrant à la fréquence fondamentale $\;440\,Hz\;$» variant entre «$\;0,5\,s\;$ et $\;5\,s\;$», nous en déduisons que
     la « fréquence de battements $\;{\big (}$à l'oreille${\big )}\;$ entre ces deux cordes » varie entre «$\;0,2\,Hz\;$ et $\;2\,Hz\;$» ; or celle-ci
     la « fréquence de battements est égale à la différence de fréquences fondamentales de vibration de chaque corde d'où
     la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de ces deux cordes
     la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration au pire de «$\;{\dfrac {2\,Hz}{440\,Hz}}\simeq 4,5\,10^{-3}\;$» et
     la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration au mieux de «$\;{\dfrac {0,2\,Hz}{440\,Hz}}\simeq 4,5\,10^{-4}\;$», nous retiendrons ce meilleur réglage d'où une précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de ces deux cordes «$\;4,5\,10^{-4}=0,045\,\%\;$».

 

Détermination de la précision relative sur la tension à laquelle les deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné sont soumises

     Déduire, de la solution de la question « détermination de la précision relative de l'égalité des fréquences de vibration de deux cordes de fréquences fondamentales espérées égales pour une période de battements variant dans un intervalle donné » plus haut dans cet exercice, la précision relative sur la tension des cordes considérées.

Solution

     D'après l'introduction à la question « accord du piano par réglage des trois cordes donnant les notes les plus aiguës » plus haut dans cet exercice, nous en déduisons que la « célérité de propagation des ondes transversales le long d'une corde avec raideur $\;c\;$ est $\;\propto \;$ à $\;{\sqrt {T}}\;$», soit «$\;c=K'\;{\sqrt {T}}\;$ où $\;K'\;$ est une constante dimensionnelle » dépendant, entre autres, de la masse volumique de la matière composant la corde, du diamètre et de la raideur de celle-ci, puis

     d'après la solution de la question « détermination du lien entre la fréquence fondamentale de vibration d'une corde et la tension à laquelle cette dernière est soumis » plus haut dans cet exercice, la « fréquence fondamentale de vibration des cordes considérées $\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$ se réécrit selon $\;f_{1}={\dfrac {K'\;{\sqrt {T}}}{2\,L}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;T={\dfrac {4\,L^{2}}{{K'}^{2}}}\,f_{1}^{\,2}\;$» ce qui permet d'en déduire

     la précision relative $\;{\big (}$ou incertitude relative${\big )}\;$ sur $\;T\;$ connaissant celle sur $\;f_{1}\;$ par calcul d'erreurs relatives $\;{\big (}$obtenu par différenciation logarithmique${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dT}{T}}=2\,{\dfrac {df_{1}}{f_{1}}}\;$» puis
     la précision relative $\;\color {transparent}{\big (}$ou incertitude relative$\color {transparent}{\big )}\;$ sur $\;\color {transparent}{T}\;$ connaissant celle sur $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ par calcul d'incertitudes relatives $\;{\big (}$obtenu par majoration de la valeur absolue${\big )}\;$ d'où «$\;{\dfrac {\vert dT\vert }{T}}=2\,{\dfrac {\vert df_{1}\vert }{f_{1}}}\;$» majorée selon
          la précision relative $\;\color {transparent}{\big (}$ou incertitude relative$\color {transparent}{\big )}\;$ sur $\;\color {transparent}{T}\;$ connaissant celle sur $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ par calcul d'incertitudes relatives $\;\color {transparent}{\big (}$obtenu par majoration de la valeur absolue$\color {transparent}{\big )}\;$ d'où «$\;{\dfrac {\Delta T}{T}}=2\,{\dfrac {\Delta f_{1}}{f_{1}}}\;$» c'est-à-dire numériquement
          la précision relative $\;\color {transparent}{\big (}$ou incertitude relative$\color {transparent}{\big )}\;$ sur $\;\color {transparent}{T}\;$ connaissant celle sur $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ par calcul d'incertitudes relatives $\;\color {transparent}{\big (}$obtenu par majoration de la valeur absolue$\color {transparent}{\big )}\;$ d'où «$\;{\dfrac {\Delta T}{T}}\simeq 2\times 0,045\,\%\simeq 0,09\,\%\;$».