Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

**Suites arithmétique et géométrique**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 12
Chap. préc. :	Coniques
Chap. suiv. :	Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Suites arithmétique et géométrique
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Suite (ou progression) arithmétique

Définition d'une suite arithmétique

Définition

Une suite arithmétique

\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;

est une famille de réels

\;{\big (}

ou complexes

{\big )}\;

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

\;n+1\;

est lié au terme de rang

\;n\;

par la relation de récurrence «

\;u_{n+1}=u_{n}+r,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;

», où

\;r\;

est un réel

\;{\big (}

ou complexe

{\big )}\;

non nul ^[1] appelé « raison de la suite » et

\;u_{n_{0}}\;

{\big (}

terme de rang

\;n_{0}{\big )}\;

appelé « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r\;

».

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=0\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;0{\big )}$ , « $\;u_{n}=u_{0}+n\,r\;$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=1\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;1{\big )}$ , « $\;u_{n}=u_{1}+(n-1)\,r\;$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmétique $\;(u_{n})\;$ de 1^er terme $\;u_{n_{0}}\;$ et de raison arithmétique $\;r\;$ », on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $\;n\;$ » par

«

\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;

» ;

     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}+(p-n_{0})\,r\right]=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}(p-n_{0})\right]r\;$ » ^[2] ou,
     son expression se réécrit avec la somme des $\;(n-n_{0})\;$ 1^ers entiers naturels « $\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}(p-n_{0})={\dfrac {(n-n_{0}+1)\,(n-n_{0})}{2}}\;$ » ^[3],
     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,u_{n_{0}}+{\dfrac {(n-n_{0}+1)\,(n-n_{0})}{2}}\,r\;$ » ou encore
     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\left[u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,{\dfrac {r}{2}}\right]=(n-n_{0}+1)\left[{\dfrac {u_{n_{0}}}{2}}+{\dfrac {u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r}{2}}\right]\;$ » soit finalement

«

\;S_{\left[n_{0},n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;

» ^[4].

À retenir

La somme des 1^ers termes de la suite arithmétique jusqu'au rang

\;n\;

inclus est égale au produit du nombre de termes de la suite jusqu'au rang

\;n\;

inclus par la moyenne arithmétique du 1^er terme et du dernier terme envisagé soit «

\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=(n-n_{0}+1)\,{\dfrac {u_{n_{0}}+u_{n}}{2}}\;

».

Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$ « $\;S_{\left[0\,,\,n\right]}=(n+1)\,{\dfrac {u_{0}+u_{n}}{2}}\;$ » $\;{\big (}$ il y a $\;n+1\;$ termes de $\;u_{0}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$ ,
les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$ « $\;S_{\left[1\,,\,n\right]}=n\,{\dfrac {u_{1}+u_{n}}{2}}\;$ » $\;{\big (}$ il y a $\;n\;$ termes de $\;u_{1}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$ .

Suite (ou progression) géométrique

Définition d'une suite géométrique

Définition

Une suite géométrique

\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;

est une famille de réels

\;{\big (}

ou complexes

{\big )}\;

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

\;n+1\;

est lié au terme de rang

\;n\;

par la relation de récurrence «

\;u_{n+1}=u_{n}\times q,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;

», où

\;q\;

est un réel

\;{\big (}

ou complexe

{\big )}\;

^[1]

\;\neq 1\;

appelé « raison de la suite » et

\;u_{n_{0}}\;

{\big (}

terme de rang

\;n_{0}{\big )}

appelé « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

\;u_{n}=u_{n_{0}}\times q^{(n-n_{0})}\;

».

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=0\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;0{\big )}$ , « $\;u_{n}=u_{0}\;q^{n}\;$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=1\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;1{\big )}$ , « $\;u_{n}=u_{1}\;q^{(n-1)}\;$ ».

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite géométrique $\;(u_{n})\;$ de 1^er terme $\;u_{n_{0}}\;$ et de raison géométrique $\;q\;$ », on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $\;n\;$ » par

«

\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;

» ;

     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[u_{n_{0}}\;q^{(p-n_{0})}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}\right]\;$ » ou,
     son expression se réécrit avec la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1^ères puissances entières naturelles de $\;q$ , « $\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}={\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$ » ^[5],
     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0},n\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;$ » ou encore « $\;S_{\left[n_{0},n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-q\,u_{n}}{1-q}}\;$ » ^[6].

À retenir

La somme des 1^ers termes de la suite géométrique jusqu'au rang

\;n\;

inclus est égale au « produit du 1^er terme

\;u_{n_{0}}\;

par le facteur

\;{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;

», «

\;n-n_{0}+1\;

étant le nombre de termes de la somme » soit «

\;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=u_{n_{0}}\,{\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}\;

».

Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$ « $\;S_{\left[0\,,\,n\right]}=u_{0}\,{\dfrac {1-q^{(n+1)}}{1-q}}\;$ » ${\big (}$ il y a $\;n+1\;$ termes de $\;u_{0}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$ ,
Les deux cas particuliers conduisent à $\bullet \;$ « $\;S_{\left[1\,,\,n\right]}=u_{1}\,{\dfrac {1-q^{n}}{1-q}}\;$ » ${\big (}$ il y a $\;n\;$ termes de $\;u_{1}\;$ à $\;u_{n}{\big )}$ .

Suite arithmético-géométrique

Définition d'une suite arithmético-géométrique

Définition

Une suite arithmético-géométrique

\;(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\;

est une famille de réels

\;{\big (}

ou complexes

{\big )}\;

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

\;n+1\;

est lié au terme de rang

\;n\;

par la relation de récurrence «

\;u_{n+1}=a\times u_{n}+b,\;\;\forall \;n\geqslant n_{0}\;

», où

\;a\;

est un réel

\;{\big (}

ou complexe

{\big )}\;

^[1]

\;\neq 1\;

^[7] et

\;b\;

également un réel

\;{\big (}

ou complexe

{\big )}\;

^[1]

\;\neq 0\;

^[8],

\;u_{n_{0}}\;

{\big (}

terme de rang

\;n_{0}{\big )}

étant le « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

1^er terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n_{0}{\big )}$ : « $\;u_{n_{0}}\;$ »,
2^ème terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n_{0}+1{\big )}$ : « $\;u_{n_{0}+1}=a\;u_{n_{0}}+b\;$ »,
3^ème terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n_{0}+2{\big )}$ : « $\;u_{n_{0}+2}=a\;u_{n_{0}+1}+b=a\left(a\;u_{n_{0}}+b\right)+b\;\;$ » soit « $\;u_{n_{0}+2}=a^{2}\;u_{n_{0}}+a\;b+b\;$ »,
4^ème terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n_{0}+3{\big )}$ : « $\;u_{n_{0}+3}=a\;u_{n_{0}+2}+b=a\left(a^{2}\;u_{n_{0}}+a\;b+b\right)+b=a^{3}\;u_{n_{0}}+a^{2}\;b+a\;b+b\;$ » soit « $\;u_{n_{0}+3}=a^{3}\;u_{n_{0}}+b\left(a^{2}+a+1\right)\;$ »,
5^ème terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n_{0}+4{\big )}$ : « $\;u_{n_{0}+4}=a\;u_{n_{0}+3}+b=a\left(a^{3}\;u_{n_{0}}+a^{2}\;b+a\;b+b\right)+b=a^{4}\;u_{n_{0}}+a^{3}\;b+a^{2}\;b+a\;b\;+b\;$ » soit « $\;u_{n_{0}+4}=a^{4}\;u_{n_{0}}+b\left(a^{3}+a^{2}+a+1\right)\;$ »,
$\ldots$
(n - n_0 + 1)^ème terme ${\big (}$ ou terme de rang $\;n{\big )}$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $\;a\;$ apparaît en facteur, il est donc apparu $\;(n-n_{0})\;$ fois dans le terme de rang $\;n\;$ d'où l'existence de « $\;a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}\;$ » et
(n - n_0 + 1)^ème terme $\color {transparent}{\big (}$ ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $\;b\;$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $\;a\;$ dans le 3^ème $\cdots$
(n - n_0 + 1)^ème terme $\color {transparent}{\big (}$ ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $\;\color {transparent}{b}\;$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $\;a^{(n-n_{0}-1)}\;$ dans le $\;(n-n_{0}+1)^{\text{ème}}$
(n - n_0 + 1)^ème terme $\color {transparent}{\big (}$ ou terme de rang $\color {transparent}{\;n{\big )}}$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $\;\color {transparent}{b}\;$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, d'où l'existence de « $\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ » dans le terme de rang $\;n$ « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ ».

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Supposant que le terme de rang $\;n\;$ s'écrive « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ » $\;{\big (}$ hypothèse de récurrence ${\big )}$ ,
il nous faut montrer que le terme de rang $\;n+1\;$ s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant $\;n\;$ par $\;n+1\;$ soit « $\;u_{n+1}=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$ » ;

pour cela « on reporte $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ dans la relation de récurrence $\;u_{n+1}=a\;u_{n}+b\;$ » $\Rightarrow$ « $\;u_{n+1}=$ $a\left(a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\right)+b=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+a\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}+b\;$ » ou encore, le résultat attendu « $\;u_{n+1}=a^{n+1-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$ » ^[9] d'où la démonstration de cette expression par récurrence $\;{\big (}$ cette expression étant établie pour les $\;5\;$ 1^ers termes ^[10] ${\big )}$ .

L'expression du terme général est donc «

\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;

» ^[11].

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=0\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;0{\big )}$ , « $\;u_{n}=a^{n}\;u_{0}+b\sum \limits _{k=0}^{n-1}a^{k}\;$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=1\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;1{\big )}$ , « $\;u_{n}=a^{n-1}\;u_{1}+b\sum \limits _{k=0}^{n-2}a^{k}\;$ ».

Simplification de l'expression du terme général

     Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ » un 2^ème facteur « $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ » dont la simplification dépend de la valeur de $\;a$ :
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $\;\color {transparent}{b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}}\;$ » $\succ \;$ « si $\;a\neq 1\;$ », « $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ » étant la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1^ers termes d'une progression géométrique
                                           Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$ « si $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$ », « » étant la somme des $\;\color {transparent}{n-n_{0}}\;$ 1^ers termes de 1^er terme $\;1\;$ et de raison $\;a\neq 1\;$ $\Rightarrow$
                         Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$ « si $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$ », « $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}={\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$ » ^[12],
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $\;\color {transparent}{b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}}\;$ » $\succ \;$ « si $\;a=1\;$ », « $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}\;$ se réécrivant $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}1^{k}\;$ est égal à la somme de $\;1\;$ répété $\;(n-n_{0})\;$ fois », soit
                                           Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $\color {transparent}{\succ }\;$ « si $\;\color {transparent}{a=1}\;$ », « se réécrivant « $\;\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}1^{k}=n-n_{0}\;$ »,

d'où l'expression simplifiée du terme général $\bullet \;$ « pour $\;a\neq 1\;$ », « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$ »,
d'où l'expression simplifiée du terme général $\bullet \;$ « pour $\;a=1\;$ », « $\;u_{n}=u_{n_{0}}+b\;(n-n_{0})\;$ » ^[13].

Le retour sur les deux cas particuliers $\;{\big (}$ dans le cas où $\;a\neq 1{\big )}\;$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $\bullet \;$ « pour $\;n_{0}=0\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;0{\big )}$ , « $\;u_{n}=a^{n}\;u_{0}+b\;{\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}\;$ »,
Le retour sur les deux cas particuliers $\;\color {transparent}{\big (}$ dans le cas où $\;\color {transparent}{a\neq 1{\big )}}\;$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $\bullet \;$ « pour $\;n_{0}=1\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;1{\big )}$ , « $\;u_{n}=a^{n-1}\;u_{1}+b\;{\dfrac {1-a^{n-1}}{1-a}}\;$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmético-géométrique $\;(u_{n})\;$ de 1^er terme $\;u_{n_{0}}$ , de constantes $\;a\neq 1\;$ et $\;b\;$ quelconque dans la relation affine de récurrence $\;u_{n+1}=a\;u_{n}+b\;$ » ^[14],
Soit la « suite arithmético-géométrique $\;\color {transparent}{(u_{n})}\;$ de 1^er terme $\;\color {transparent}{u_{n_{0}}}$ , de constantes $\;\color {transparent}{a\neq 1}\;$ et $\;\color {transparent}{b}\;$ quelconque on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $\;n\;$ » par « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}u_{p}\;$ » ;

     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[a^{p-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{p-n_{0}}}{1-a}}\right]=u_{n_{0}}\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}\left\lbrace \sum \limits _{p=n_{0}}^{n}\left[1-a^{(p-n_{0})}\right]\right\rbrace \;$ » ou, après factorisation,
     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]\left[\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}\right]+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$ » ^[15] ou, avec la somme des $\;n-n_{0}\;$ 1^ères puissances entières naturelles de $\;a$ ,
                                                                                                                                                 son expression se réécrit « $\;\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}a^{(p-n_{0})}={\dfrac {1-a^{(n-n_{0}+1)}}{1-a}}\;$ » ^[12],
     son expression se réécrit « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n-n_{0}+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$ » ;

     le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. « $\;u_{n_{0}}\;$ » et « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$ », en effet
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n_{0}}\;a^{(n-n_{0})}-{\dfrac {b}{1-a}}\;a^{(n-n_{0})}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$ » ou,
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $\;S_{\left[n_{0}\,,n\,\right]}=\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}-a\left[u_{n}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$ » ^[16] ou, après factorisation partielle,
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{(1-a)^{2}}}\left(1-a\right)+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}-{\dfrac {b}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}(n-n_{0}+1)\;$ » soit
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $\;S_{\left[n_{0}\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{n_{0}}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-n_{0})\;$ ».

     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=0\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;0{\big )}$ , « $\;S_{\left[0\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{0}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n$
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $\color {transparent}{\bullet }\;$ « si $\;\color {transparent}{n_{0}=0}\;$ » $\color {transparent}{\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;\color {transparent}{0{\big )}}$ , « $\;\color {transparent}{S_{\left[0\,,\,n\right]}}$ $=\left[u_{0}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{(n+1)}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n+1)\;$ »,
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $\bullet \;$ « si $\;n_{0}=1\;$ » ${\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;1{\big )}$ , « $\;S_{\left[1\,,\,n\right]}={\dfrac {u_{1}-a\,u_{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;(n-1)$
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $\color {transparent}{\bullet }\;$ « si $\;\color {transparent}{n_{0}=1}\;$ » $\color {transparent}{\big (}$ c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $\;\color {transparent}{1{\big )}}$ , « $\;\color {transparent}{S_{\left[1\,,\,n\right]}}$ $=\left[u_{1}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]{\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+{\dfrac {b}{1-a}}\;n\;$ ».

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 et ^1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s) $\ldots$
↑ Il y a en effet $\;n-n_{0}+1\;$ termes c.-à-d. autant de fois $\;u_{n_{0}}$ .
↑ En effet si on écrit cette somme $\;S\;$
      en croissant $\;S=\quad \;\,1\quad \;\;+\qquad \;\,2\qquad \;\,+\cdots +\qquad \quad \;k\qquad \quad \;+\cdots +(n-n_{0}-1)+(n-n_{0})\;$ puis
   en décroissant $S=(n-n_{0})+(n-n_{0}-1)+\cdots +(n-n_{0}-k+1)+\cdots +\qquad \;\,2\qquad \;\,+\quad \;\,1\quad \;\,$ et
   En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $\;2\,S\;$ », $\;(n-n_{0})\;$ fois le même terme $\;(1+n-n_{0})\;$ d'où « $\;S={\dfrac {(n-n_{0})\,(n-n_{0}+1)}{2}}\;$ » ;
   le cas où $\;n_{0}=0\;$ nous conduit au résultat classique de la somme des $\;n\;$ 1^ers entiers naturels « $\;\sum \limits _{p=0}^{n}p={\dfrac {(n+1)\,n}{2}}\;$ ».
↑ On rappelle que « $\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r\;$ ».
↑ En effet cette somme $\;S\;$ s'écrivant « $\;S=1+q+\cdots +q^{k}+\cdots +q^{(n-n_{0})}\;$ », on vérifie en la multipliant par $\;1-q\;$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit « $\;(1-q)\,S$ $=(1-q)\left[1+q+\cdots +q^{k}+\cdots +q^{(n-n_{0})}\right]=$ $(1-q)+q\,(1-q)+\cdots +q^{k}\,(1-q)+\cdots +q^{(n-n_{0})}\,(1-q)=1-q^{(n-n_{0}+1)}\;$ » $\Rightarrow$ $\;S=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}$ $={\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}$ .
↑ On rappelle que $\;u_{n}=u_{n_{0}}\;q^{(n-n_{0})}$ .
↑ Si $\;a\;$ était $\;=1$ , la suite serait simplement « arithmétique » de raison $\;b\;{\big (}$ à condition que $\;b\;$ soit non nul ${\big )}$ ;
si $\;a\;$ était $\;=1$ et $\;b=0$ , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Si $\;b\;$ était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison $\;a\;{\big (}$ à condition que $\;a\;$ soit $\;\neq 1{\big )}$ ;
si $\;b\;$ était nul et $\;a=1$ , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Le passage de $\;a\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}+b\;$ à $\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $\;a\;$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $\;k$ , ce dernier variant de $\;1\;$ à $\;n-n_{0}\;$ au lieu de $\;0\;$ à $\;n-n_{0}-1\;$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $\;b\;$ ce qui modifie la variation de $\;k$ , ce dernier variant de $\;0\;$ à $\;n-n_{0}\;$ au lieu de $\;1\;$ à $\;n-n_{0}$ .
↑ L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\;\ldots$
↑ On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique ${\big (}a=1\;$ et $\;b\neq 0{\big )}$ $\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\;b\;$ et à une suite géométrique ${\big (}b=0\;$ et $\;a\neq 1{\big )}$ $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}$ .
↑ ^12,0 et ^12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.
↑ On retrouve, si $\;b\neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.
↑ On suppose $\;a\neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $\;b\neq 0\;$ ${\big (}$ déjà traité ${\big )}\;$ ou « constante » si $\;b=0\;$ ${\big (}$ sans intérêt ${\big )}$ .
↑ En effet, dans la 2^ème somme, le terme $\;1\;$ apparaît $\;(n-n_{0}+1)\;$ fois.
↑ Obtenu en utilisant « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}=u_{n}-b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}=u_{n}+{\dfrac {b}{1-a}}\;a^{n-n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;a^{n-n_{0}}\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]=u_{n}-{\dfrac {b}{1-a}}\;$ ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Coniques

Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

[Choix-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 et ^1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s) $\ldots$

[2] Il y a en effet $\;n-n_{0}+1\;$ termes c.-à-d. autant de fois $\;u_{n_{0}}$ .

[3] En effet si on écrit cette somme $\;S\;$
en croissant $\;S=\quad \;\,1\quad \;\;+\qquad \;\,2\qquad \;\,+\cdots +\qquad \quad \;k\qquad \quad \;+\cdots +(n-n_{0}-1)+(n-n_{0})\;$ puis
en décroissant $S=(n-n_{0})+(n-n_{0}-1)+\cdots +(n-n_{0}-k+1)+\cdots +\qquad \;\,2\qquad \;\,+\quad \;\,1\quad \;\,$ et
En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $\;2\,S\;$ », $\;(n-n_{0})\;$ fois le même terme $\;(1+n-n_{0})\;$ d'où « $\;S={\dfrac {(n-n_{0})\,(n-n_{0}+1)}{2}}\;$ » ;
le cas où $\;n_{0}=0\;$ nous conduit au résultat classique de la somme des $\;n\;$ 1^ers entiers naturels « $\;\sum \limits _{p=0}^{n}p={\dfrac {(n+1)\,n}{2}}\;$ ».

[4] On rappelle que « $\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\,r\;$ ».

[5] En effet cette somme $\;S\;$ s'écrivant « $\;S=1+q+\cdots +q^{k}+\cdots +q^{(n-n_{0})}\;$ », on vérifie en la multipliant par $\;1-q\;$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit « $\;(1-q)\,S$ $=(1-q)\left[1+q+\cdots +q^{k}+\cdots +q^{(n-n_{0})}\right]=$ $(1-q)+q\,(1-q)+\cdots +q^{k}\,(1-q)+\cdots +q^{(n-n_{0})}\,(1-q)=1-q^{(n-n_{0}+1)}\;$ » $\Rightarrow$ $\;S=\sum \limits _{p=n_{0}}^{n}q^{(p-n_{0})}$ $={\dfrac {1-q^{(n-n_{0}+1)}}{1-q}}$ .

[6] On rappelle que $\;u_{n}=u_{n_{0}}\;q^{(n-n_{0})}$ .

[7] Si $\;a\;$ était $\;=1$ , la suite serait simplement « arithmétique » de raison $\;b\;{\big (}$ à condition que $\;b\;$ soit non nul ${\big )}$ ;
si $\;a\;$ était $\;=1$ et $\;b=0$ , la suite deviendrait simplement « constante ».

[8] Si $\;b\;$ était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison $\;a\;{\big (}$ à condition que $\;a\;$ soit $\;\neq 1{\big )}$ ;
si $\;b\;$ était nul et $\;a=1$ , la suite deviendrait simplement « constante ».

[9] Le passage de $\;a\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}-1}a^{k}+b\;$ à $\;b\sum \limits _{k=0}^{n-n_{0}}a^{k}\;$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $\;a\;$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $\;k$ , ce dernier variant de $\;1\;$ à $\;n-n_{0}\;$ au lieu de $\;0\;$ à $\;n-n_{0}-1\;$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $\;b\;$ ce qui modifie la variation de $\;k$ , ce dernier variant de $\;0\;$ à $\;n-n_{0}\;$ au lieu de $\;1\;$ à $\;n-n_{0}$ .

[10] L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\;\ldots$

[11] On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique ${\big (}a=1\;$ et $\;b\neq 0{\big )}$ $\;u_{n}=u_{n_{0}}+(n-n_{0})\;b\;$ et à une suite géométrique ${\big (}b=0\;$ et $\;a\neq 1{\big )}$ $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}$ .

[somme_des_premiers_termes_d'une_suite_géométrique-12] 12,0 et ^12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.

[13] On retrouve, si $\;b\neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.

[14] On suppose $\;a\neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $\;b\neq 0\;$ ${\big (}$ déjà traité ${\big )}\;$ ou « constante » si $\;b=0\;$ ${\big (}$ sans intérêt ${\big )}$ .

[15] En effet, dans la 2^ème somme, le terme $\;1\;$ apparaît $\;(n-n_{0}+1)\;$ fois.

[16] Obtenu en utilisant « $\;u_{n}=a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}+b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;a^{n-n_{0}}\;u_{n_{0}}=u_{n}-b\;{\dfrac {1-a^{n-n_{0}}}{1-a}}=u_{n}+{\dfrac {b}{1-a}}\;a^{n-n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;a^{n-n_{0}}\left[u_{n_{0}}-{\dfrac {b}{1-a}}\right]=u_{n}-{\dfrac {b}{1-a}}\;$ ».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]