Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique
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Suite (ou progression) arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite arithmétique[modifier | modifier le wikicode]


Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

......Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

.

......Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du premier terme :

  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , ,
  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , .

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la suite arithmétique de premier terme et de raison arithmétique , on définit la somme des premiers termes jusqu'au rang par

 ;

......son expression se réécrit [2] ou, avec la somme des premiers entiers naturels [3], ou encore soit finalement

[4].


Suite (ou progression) géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite géométrique[modifier | modifier le wikicode]


Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

......Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

.

......Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du premier terme :

  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , ,
  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , .

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la suite géométrique de premier terme et de raison géométrique , on définit la somme des premiers termes jusqu'au rang par

 ;

......son expression se réécrit ou, avec la somme des premières puissances entières naturelles de , [5],

ou encore [6].


Suite arithmético-géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite arithmético-géométrique[modifier | modifier le wikicode]


Expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

Induction du terme général par développement des premiers termes[modifier | modifier le wikicode]

  • Premier terme (ou terme de rang  : ,
  • deuxième terme (ou terme de rang  : ,
  • troisième terme (ou terme de rang  : soit
    ,
  • quatrième terme (ou terme de rang  : soit
    ,
  • cinquième terme (ou terme de rang  : soit
    ,
  • terme de rang n : [9].

Validation de l'expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant que le terme de rang s'écrive , il nous faut montrer que le terme de rang s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant par soit  ;

......pour cela on reporte dans la relation de récurrence ce qui donne ou encore, le résultat attendu [10].

L'expression du terme général est donc [11].

......Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du premier terme :

  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , ,
  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , .

Simplification de l'expression du terme général[modifier | modifier le wikicode]

......Reconnaissant dans le deuxième terme de l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique un deuxième facteur dont la simplification dépend de la valeur de  :
...... si , est égal à la somme des premiers termes d'une progression géométrique de premier terme 1 et de raison soit [12],
...... si , se réécrivant est égal à la somme de 1 répété fois, soit ,

d'où l'expression simplifiée du terme général

si , ,
si , [13].

......Le retour sur les deux cas particuliers (dans le cas où dépendant du rang du premier terme conduit à :

  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , ,
  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , .

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la suite arithmético-géométrique de premier terme , de constantes et dans la relation affine de récurrence [14], on définit la somme des premiers termes jusqu'au rang par

 ;

......son expression se réécrit ou, après factorisation, [15] ou, avec la somme des premières puissances entières naturelles de , [12],

 ;

......le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c'est-à-dire et , en effet ou, avec dont on tire d'où ou, après factorisation partielle, soit finalement

.

......Les deux cas particuliers dépendant du rang du premier terme donnent :

  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , ,
  • si (c'est-à-dire si le premier terme est de rang , .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 et 1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s) …
  2. Il y a en effet termes c'est-à-dire autant de fois .
  3. En effet si on écrit cette somme
    .......en croissant puis
    ...en décroissant et qu'on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans , fois le même terme d'où  ;
    ...... le cas où nous conduit au résultat classique de la somme des premiers entiers naturels .
  4. On rappelle que .
  5. En effet cette somme s'écrivant , on vérifie en la multipliant par et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux en effet d'où .
  6. On rappelle que .
  7. Si était , la suite serait simplement « arithmétique » de raison à condition que soit non nul) ; si était et , la suite deviendrait simplement « constante ».
  8. Si était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison à condition que soit  ; si était nul et , la suite deviendrait simplement « constante ».
  9. Il s'agit du terme ;
    ...dans tous les termes sauf le premier, apparaît en facteur, il est donc apparu fois dans le terme de rang d'où l'existence de  ;
    ...dans tous les termes sauf le premier, apparaît à l'état brut dans le second, multiplié par dans le troisième multiplié par dans le d'où l'existence de dans le terme de rang .
  10. Le passage de à correspond d'une part à l'introduction du facteur dans le terme générique ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de 1 à au lieu de 0 à et d'autre part la factorisation du dernier terme ce qui modifie la variation de , ce dernier variant de 0 à au lieu de 1 à .
  11. On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique et et à une suite géométrique et .
  12. 12,0 et 12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique » ci-dessus.
  13. On retrouve, si , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.
  14. On suppose , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si (déjà traité) ou « constante » si (sans intérêt).
  15. En effet, dans la deuxième somme, le terme 1 apparaît fois.