Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

**Suites arithmétique et géométrique**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 12
Chap. préc. :	Coniques
Chap. suiv. :	Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Suites arithmétique et géométrique
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Suite (ou progression) arithmétique

Définition d'une suite arithmétique

Définition

Une suite arithmétique

(u_{n})_{n \in ℕ}

est une famille de réels

(

ou complexes

)

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

n + 1

est lié au terme de rang

n

par la relation de récurrence «

u_{n + 1} = u_{n} + r, \forall n ⩾ n_{0}

», où

r

est un réel

(

ou complexe

)

non nul^[1] appelé « raison de la suite » et

u_{n_{0}}

(

terme de rang

n_{0})

appelé « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r

».

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = u_{0} + n r$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmétique $(u_{n})$ de 1^er terme $u_{n_{0}}$ et de raison arithmétique $r$ », on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $n$ » par

«

S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}

» ;

     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [u_{n_{0}} + (p - n_{0}) r] = (n - n_{0} + 1) u_{n_{0}} + [\sum_{p = n_{0}}^{n} (p - n_{0})] r$ »^[2] ou,
     son expression se réécrit avec la somme des $(n - n_{0})$ 1^ers entiers naturels « $\sum_{p = n_{0}}^{n} (p - n_{0}) = \frac{(n - n_{0} + 1) (n - n_{0})}{2}$ »^[3],
     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) u_{n_{0}} + \frac{(n - n_{0} + 1) (n - n_{0})}{2} r$ » ou encore
     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) [u_{n_{0}} + (n - n_{0}) \frac{r}{2}] = (n - n_{0} + 1) [\frac{u_{n_{0}}}{2} + \frac{u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r}{2}]$ » soit finalement

«

S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) \frac{u_{n_{0}} + u_{n}}{2}

»^[4].

À retenir

La somme des 1^ers termes de la suite arithmétique jusqu'au rang

n

inclus est égale au produit du nombre de termes de la suite jusqu'au rang

n

inclus par la moyenne arithmétique du 1^er terme et du dernier terme envisagé soit «

S_{[n_{0}, n]} = (n - n_{0} + 1) \frac{u_{n_{0}} + u_{n}}{2}

».

Les deux cas particuliers conduisent à $∙$ « $S_{[0, n]} = (n + 1) \frac{u_{0} + u_{n}}{2}$ » $($ il y a $n + 1$ termes de $u_{0}$ à $u_{n})$ ,
les deux cas particuliers conduisent à $∙$ « $S_{[1, n]} = n \frac{u_{1} + u_{n}}{2}$ » $($ il y a $n$ termes de $u_{1}$ à $u_{n})$ .

Suite (ou progression) géométrique

Définition d'une suite géométrique

Définition

Une suite géométrique

(u_{n})_{n \in ℕ}

est une famille de réels

(

ou complexes

)

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

n + 1

est lié au terme de rang

n

par la relation de récurrence «

u_{n + 1} = u_{n} \times q, \forall n ⩾ n_{0}

», où

q

est un réel

(

ou complexe

)

^[1]

\neq 1

appelé « raison de la suite » et

u_{n_{0}}

(

terme de rang

n_{0})

appelé « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Par application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«

u_{n} = u_{n_{0}} \times q^{(n - n_{0})}

».

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = u_{0} q^{n}$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = u_{1} q^{(n - 1)}$ ».

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite géométrique $(u_{n})$ de 1^er terme $u_{n_{0}}$ et de raison géométrique $q$ », on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $n$ » par

«

S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}

» ;

     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [u_{n_{0}} q^{(p - n_{0})}] = u_{n_{0}} [\sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}]$ » ou,
     son expression se réécrit avec la somme des $n - n_{0}$ 1^ères puissances entières naturelles de $q$ , « $\sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})} = \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ »^[5],
     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = u_{n_{0}} \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ » ou encore « $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - q u_{n}}{1 - q}$ »^[6].

À retenir

La somme des 1^ers termes de la suite géométrique jusqu'au rang

n

inclus est égale au « produit du 1^er terme

u_{n_{0}}

par le facteur

\frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}

», «

n - n_{0} + 1

étant le nombre de termes de la somme » soit «

S_{[n_{0}, n]} = u_{n_{0}} \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}

».

Les deux cas particuliers conduisent à $∙$ « $S_{[0, n]} = u_{0} \frac{1 - q^{(n + 1)}}{1 - q}$ » $($ il y a $n + 1$ termes de $u_{0}$ à $u_{n})$ ,
Les deux cas particuliers conduisent à $∙$ « $S_{[1, n]} = u_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ » $($ il y a $n$ termes de $u_{1}$ à $u_{n})$ .

Suite arithmético-géométrique

Définition d'une suite arithmético-géométrique

Définition

Une suite arithmético-géométrique

(u_{n})_{n \in ℕ}

est une famille de réels

(

ou complexes

)

^[1] indexés par les entiers naturels telle que le terme de rang

n + 1

est lié au terme de rang

n

par la relation de récurrence «

u_{n + 1} = a \times u_{n} + b, \forall n ⩾ n_{0}

», où

a

est un réel

(

ou complexe

)

^[1]

\neq 1

^[7] et

b

également un réel

(

ou complexe

)

^[1]

\neq 0

^[8],

u_{n_{0}}

(

terme de rang

n_{0})

étant le « 1^er terme de la suite » à partir duquel celle-ci est définie.

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

1^er terme $($ ou terme de rang $n_{0})$ : « $u_{n_{0}}$ »,
2^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 1)$ : « $u_{n_{0} + 1} = a u_{n_{0}} + b$ »,
3^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 2)$ : « $u_{n_{0} + 2} = a u_{n_{0} + 1} + b = a (a u_{n_{0}} + b) + b$ » soit « $u_{n_{0} + 2} = a^{2} u_{n_{0}} + a b + b$ »,
4^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 3)$ : « $u_{n_{0} + 3} = a u_{n_{0} + 2} + b = a (a^{2} u_{n_{0}} + a b + b) + b = a^{3} u_{n_{0}} + a^{2} b + a b + b$ » soit « $u_{n_{0} + 3} = a^{3} u_{n_{0}} + b (a^{2} + a + 1)$ »,
5^ème terme $($ ou terme de rang $n_{0} + 4)$ : « $u_{n_{0} + 4} = a u_{n_{0} + 3} + b = a (a^{3} u_{n_{0}} + a^{2} b + a b + b) + b = a^{4} u_{n_{0}} + a^{3} b + a^{2} b + a b + b$ » soit « $u_{n_{0} + 4} = a^{4} u_{n_{0}} + b (a^{3} + a^{2} + a + 1)$ »,
$\dots$
(n - n_0 + 1)^ème terme $($ ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $a$ apparaît en facteur, il est donc apparu $(n - n_{0})$ fois dans le terme de rang $n$ d'où l'existence de « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ » et
(n - n_0 + 1)^ème terme $($ ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $b$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $a$ dans le 3^ème $\dots$
(n - n_0 + 1)^ème terme $($ ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $b$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $a^{(n - n_{0} - 1)}$ dans le $(n - n_{0} + 1)^{ème}$
(n - n_0 + 1)^ème terme $($ ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $b$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, d'où l'existence de « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » dans le terme de rang $n$ « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ ».

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Supposant que le terme de rang $n$ s'écrive « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » $($ hypothèse de récurrence $)$ ,
il nous faut montrer que le terme de rang $n + 1$ s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant $n$ par $n + 1$ soit « $u_{n + 1} = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ » ;

pour cela « on reporte $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ dans la relation de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ » $\Rightarrow$ « $u_{n + 1} =$ $a (a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}) + b = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ » ou encore, le résultat attendu « $u_{n + 1} = a^{n + 1 - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ »^[9] d'où la démonstration de cette expression par récurrence $($ cette expression étant établie pour les $5$ 1^ers termes^[10] $)$ .

L'expression du terme général est donc «

u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}

»^[11].

Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = a^{n} u_{0} + b \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k}$ »,
Il y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = a^{n - 1} u_{1} + b \sum_{k = 0}^{n - 2} a^{k}$ ».

Simplification de l'expression du terme général

     Nous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » un 2^ème facteur « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » dont la simplification dépend de la valeur de $a$ :
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » $≻$ « si $a \neq 1$ », « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » étant la somme des $n - n_{0}$ 1^ers termes d'une progression géométrique
                                           Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $≻$ « si $a \neq 1$ », « » étant la somme des $n - n_{0}$ 1^ers termes de 1^er terme $1$ et de raison $a \neq 1$ $\Rightarrow$
                         Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $≻$ « si $a \neq 1$ », « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} = \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ »^[12],
     Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ » $≻$ « si $a = 1$ », « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k}$ se réécrivant $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} 1^{k}$ est égal à la somme de $1$ répété $(n - n_{0})$ fois », soit
                                           Nous pouvons simplifier en reconnaissant dans son 2^ème terme « » $≻$ « si $a = 1$ », « se réécrivant « $\sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} 1^{k} = n - n_{0}$ »,

d'où l'expression simplifiée du terme général $∙$ « pour $a \neq 1$ », « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ »,
d'où l'expression simplifiée du terme général $∙$ « pour $a = 1$ », « $u_{n} = u_{n_{0}} + b (n - n_{0})$ »^[13].

Le retour sur les deux cas particuliers $($ dans le cas où $a \neq 1)$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $∙$ « pour $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $u_{n} = a^{n} u_{0} + b \frac{1 - a^{n}}{1 - a}$ »,
Le retour sur les deux cas particuliers $($ dans le cas où $a \neq 1)$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $∙$ « pour $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $u_{n} = a^{n - 1} u_{1} + b \frac{1 - a^{n - 1}}{1 - a}$ ».

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Soit la « suite arithmético-géométrique $(u_{n})$ de 1^er terme $u_{n_{0}}$ , de constantes $a \neq 1$ et $b$ quelconque dans la relation affine de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ »^[14],
Soit la « suite arithmético-géométrique $(u_{n})$ de 1^er terme $u_{n_{0}}$ , de constantes $a \neq 1$ et $b$ quelconque on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $n$ » par « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} u_{p}$ » ;

     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = \sum_{p = n_{0}}^{n} [a^{p - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{p - n_{0}}}{1 - a}] = u_{n_{0}} [\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})}] + \frac{b}{1 - a} {\sum_{p = n_{0}}^{n} [1 - a^{(p - n_{0})}]}$ » ou, après factorisation,
     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] [\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})}] + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ »^[15] ou, avec la somme des $n - n_{0}$ 1^ères puissances entières naturelles de $a$ ,
                                                                                                                                                 son expression se réécrit « $\sum_{p = n_{0}}^{n} a^{(p - n_{0})} = \frac{1 - a^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - a}$ »^[12],
     son expression se réécrit « $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » ;

     le résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c'est-à-dire « $u_{n_{0}}$ » et « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ », en effet
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} - a [u_{n_{0}} a^{(n - n_{0})} - \frac{b}{1 - a} a^{(n - n_{0})}] \frac{1}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » ou,
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $S_{[n_{0}, n]} = [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} - a [u_{n} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ »^[16] ou, après factorisation partielle,
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} - \frac{b}{(1 - a)^{2}} (1 - a) + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1) = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} - \frac{b}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0} + 1)$ » soit
     le résultat précédent peut encore se réécrire « $S_{[n_{0}, n]} = \frac{u_{n_{0}} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - n_{0})$ ».

     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $S_{[0, n]} = \frac{u_{0} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} n$
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $∙$ « si $n_{0} = 0$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $0)$ , « $S_{[0, n]}$ $= [u_{0} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{(n + 1)}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n + 1)$ »,
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $S_{[1, n]} = \frac{u_{1} - a u_{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} (n - 1)$
     Les deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $∙$ « si $n_{0} = 1$ » $($ c'est-à-dire si le 1^er terme est de rang $1)$ , « $S_{[1, n]}$ $= [u_{1} - \frac{b}{1 - a}] \frac{1 - a^{n}}{1 - a} + \frac{b}{1 - a} n$ ».

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 et ^1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s) $\dots$
↑ Il y a en effet $n - n_{0} + 1$ termes c.-à-d. autant de fois $u_{n_{0}}$ .
↑ En effet si on écrit cette somme $S$
      en croissant $S = 1 + 2 + \dots + k + \dots + (n - n_{0} - 1) + (n - n_{0})$ puis
   en décroissant $S = (n - n_{0}) + (n - n_{0} - 1) + \dots + (n - n_{0} - k + 1) + \dots + 2 + 1$ et
   En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $2 S$ », $(n - n_{0})$ fois le même terme $(1 + n - n_{0})$ d'où « $S = \frac{(n - n_{0}) (n - n_{0} + 1)}{2}$ » ;
   le cas où $n_{0} = 0$ nous conduit au résultat classique de la somme des $n$ 1^ers entiers naturels « $\sum_{p = 0}^{n} p = \frac{(n + 1) n}{2}$ ».
↑ On rappelle que « $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ ».
↑ En effet cette somme $S$ s'écrivant « $S = 1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}$ », on vérifie en la multipliant par $1 - q$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit « $(1 - q) S$ $= (1 - q) [1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}] =$ $(1 - q) + q (1 - q) + \dots + q^{k} (1 - q) + \dots + q^{(n - n_{0})} (1 - q) = 1 - q^{(n - n_{0} + 1)}$ » $\Rightarrow$ $S = \sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}$ $= \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ .
↑ On rappelle que $u_{n} = u_{n_{0}} q^{(n - n_{0})}$ .
↑ Si $a$ était $= 1$ , la suite serait simplement « arithmétique » de raison $b ($ à condition que $b$ soit non nul $)$ ;
si $a$ était $= 1$ et $b = 0$ , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Si $b$ était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison $a ($ à condition que $a$ soit $\neq 1)$ ;
si $b$ était nul et $a = 1$ , la suite deviendrait simplement « constante ».
↑ Le passage de $a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ à $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $a$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $1$ à $n - n_{0}$ au lieu de $0$ à $n - n_{0} - 1$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $b$ ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $0$ à $n - n_{0}$ au lieu de $1$ à $n - n_{0}$ .
↑ L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\dots$
↑ On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique $(a = 1$ et $b \neq 0)$ $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) b$ et à une suite géométrique $(b = 0$ et $a \neq 1)$ $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ .
↑ ^12,0 et ^12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.
↑ On retrouve, si $b \neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.
↑ On suppose $a \neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $b \neq 0$ $($ déjà traité $)$ ou « constante » si $b = 0$ $($ sans intérêt $)$ .
↑ En effet, dans la 2^ème somme, le terme $1$ apparaît $(n - n_{0} + 1)$ fois.
↑ Obtenu en utilisant « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = u_{n} - b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a} = u_{n} + \frac{b}{1 - a} a^{n - n_{0}} - \frac{b}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Coniques

Champs (ou fonctions) scalaire et vectoriel(le) de l'espace, différentielle d'un champ de deux variables

[Choix-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 et ^1,6 Ou rationnel(s) ou entier(s) relatif(s) $\dots$

[2] Il y a en effet $n - n_{0} + 1$ termes c.-à-d. autant de fois $u_{n_{0}}$ .

[3] En effet si on écrit cette somme $S$
en croissant $S = 1 + 2 + \dots + k + \dots + (n - n_{0} - 1) + (n - n_{0})$ puis
en décroissant $S = (n - n_{0}) + (n - n_{0} - 1) + \dots + (n - n_{0} - k + 1) + \dots + 2 + 1$ et
En effet si on additionne terme à terme cette même somme, on trouve, dans « $2 S$ », $(n - n_{0})$ fois le même terme $(1 + n - n_{0})$ d'où « $S = \frac{(n - n_{0}) (n - n_{0} + 1)}{2}$ » ;
le cas où $n_{0} = 0$ nous conduit au résultat classique de la somme des $n$ 1^ers entiers naturels « $\sum_{p = 0}^{n} p = \frac{(n + 1) n}{2}$ ».

[4] On rappelle que « $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) r$ ».

[5] En effet cette somme $S$ s'écrivant « $S = 1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}$ », on vérifie en la multipliant par $1 - q$ et en développant que les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux soit « $(1 - q) S$ $= (1 - q) [1 + q + \dots + q^{k} + \dots + q^{(n - n_{0})}] =$ $(1 - q) + q (1 - q) + \dots + q^{k} (1 - q) + \dots + q^{(n - n_{0})} (1 - q) = 1 - q^{(n - n_{0} + 1)}$ » $\Rightarrow$ $S = \sum_{p = n_{0}}^{n} q^{(p - n_{0})}$ $= \frac{1 - q^{(n - n_{0} + 1)}}{1 - q}$ .

[6] On rappelle que $u_{n} = u_{n_{0}} q^{(n - n_{0})}$ .

[7] Si $a$ était $= 1$ , la suite serait simplement « arithmétique » de raison $b ($ à condition que $b$ soit non nul $)$ ;
si $a$ était $= 1$ et $b = 0$ , la suite deviendrait simplement « constante ».

[8] Si $b$ était nul, la suite deviendrait simplement « géométrique » de raison $a ($ à condition que $a$ soit $\neq 1)$ ;
si $b$ était nul et $a = 1$ , la suite deviendrait simplement « constante ».

[9] Le passage de $a b \sum_{k = 0}^{n - n_{0} - 1} a^{k} + b$ à $b \sum_{k = 0}^{n - n_{0}} a^{k}$ correspond d'une part à l'introduction du facteur $a$ dans le terme générique ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $1$ à $n - n_{0}$ au lieu de $0$ à $n - n_{0} - 1$ et d'autre part la factorisation du dernier terme $b$ ce qui modifie la variation de $k$ , ce dernier variant de $0$ à $n - n_{0}$ au lieu de $1$ à $n - n_{0}$ .

[10] L'établissement pour le 2^ème terme suffisait, mais il aurait été difficile d'imaginer le terme général à partir de ce 2^ème terme $\dots$

[11] On vérifie aisément les cas particuliers se ramenant à une suite arithmétique $(a = 1$ et $b \neq 0)$ $u_{n} = u_{n_{0}} + (n - n_{0}) b$ et à une suite géométrique $(b = 0$ et $a \neq 1)$ $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}}$ .

[somme_des_premiers_termes_d'une_suite_géométrique-12] 12,0 et ^12,1 Voir paragraphe « somme des premiers termes d'une progression géométrique jusqu'au rang n » ci-dessus.

[13] On retrouve, si $b \neq 0$ , le résultat correspondant à une suite arithmétique de raison non nulle.

[14] On suppose $a \neq 1$ , ce qui élimine le cas d'une suite « purement arithmétique » si $b \neq 0$ $($ déjà traité $)$ ou « constante » si $b = 0$ $($ sans intérêt $)$ .

[15] En effet, dans la 2^ème somme, le terme $1$ apparaît $(n - n_{0} + 1)$ fois.

[16] Obtenu en utilisant « $u_{n} = a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} + b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} u_{n_{0}} = u_{n} - b \frac{1 - a^{n - n_{0}}}{1 - a} = u_{n} + \frac{b}{1 - a} a^{n - n_{0}} - \frac{b}{1 - a}$ » $\Rightarrow$ « $a^{n - n_{0}} [u_{n_{0}} - \frac{b}{1 - a}] = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ ».

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