Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Puits quantique à une dimension

Puits quantique à une dimension de profondeur finie

Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur $\;U_{0}\;$ et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ suivant l'abscisse $\;x$

     On considère une particule de masse $\;m\;$ décrite par une fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ dont le diagramme en fonction de l'abscisse $\;x\;$ de la position est représenté ci-contre.

     Dans un 1^er temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à $\;U_{0}\;$ $\;{\big (}$diagramme ci-contre${\big )}$.

Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

     Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension suivie par la particule.

     Préciser l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule.

Solution

     L'équation de Schrödinger suivie par une particule massique non relativiste dans un champ d'énergie potentielle $\;U(M,\,t)\;$ s'écrit dans le cas général «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\Delta _{t}\!\left[{\underline {\psi }}(M,\,t)\right]+U(M,\,t)\;{\underline {\psi }}(M,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(M,\,t)\;$» ;      dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que le champ d'énergie potentielle sont à une dimension,
     dans le cas où l'espace de localisation de l'onde de matière associée à la particule ainsi que ce dernier étant indépendant du temps soit «$\;U(M,\,t)=U(x)\;\;\forall \;t\;$», l'équation de Schrödinger se réécrit «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}{\underline {\psi }}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}(x,\,t)+U(x)\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=i\;\hbar \left({\dfrac {\partial {\underline {\psi }}}{\partial t}}\right)_{\!\!x}(x,\,t)\;$».      L'opérateur hamiltonien de la particule est, dans le cas présent «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$».

 

Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule

     Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ainsi que
     Expliquer physiquement la signification de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$.

Solution

     L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique dans le cas non relativiste, c'est elle qui permet de décrire l'évolution à la fois temporelle et spatiale de la fonction d'onde ;

     $\succ \;$en mécanique quantique la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ est le pendant du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x\,,\,p_{x}\right)\;$ de la mécanique classique, l'équation de Schrödinger remplaçant la r.f.d.n. ;

     $\succ \;$en mécanique classique la connaissance des forces s'exerçant sur la particule avec celle du couple « position - quantité de mouvement » initiales $\;\left(x_{0}\,,\,p_{x,\,0}\right)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle du couple « position - quantité de mouvement » $\;\left(x_{t}\,,\,p_{x,\,t}\right)$,

     $\color {transparent}{\succ }\;$en mécanique quantique la connaissance du champ d'énergie potentielle dans laquelle baigne la particule avec celle de la fonction d'onde initiale $\;{\underline {\psi }}(x,\,0)\;$ permet de déterminer l'évolution temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ à un facteur de phase près ;

     $\succ \;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier la façon dont l'onde de matière associée à la particule se répartit dans l'espace à un instant donné ainsi que
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée en particulier l'évolution de cette répartition en fonction du temps,
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;$» ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire le module carré de la fonction d'onde doit être de carré sommable, plus exactement, dans la mesure où la particule existe,
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire sa probabilité de présence sur tout l'axe $\;x'x\;$ doit être égale à $\;1\;$ soit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx=1\;$» ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer toutes les valeurs moyennes utiles comme
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer celle de la position sur l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t\;$ égale à
     $\color {transparent}{\succ }\;$la fonction d'onde contient toute l'information sur la particule étudiée c'est-à-dire la connaissance de la fonction d'onde permet de calculer «$\;\left\langle x\right\rangle (t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\;\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}\;dx\;$».

 

Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps

     Sachant que l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction $\;{\underline {\psi }}(x,\,t)\;$ ?

     En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps.

Solution

     Dans la mesure où l'opérateur hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]=\left\lbrace -{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;\left[{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]_{\!t}+U(x)\times \right\rbrace \!\left[\;\right]\;$ est indépendant du temps, on peut rechercher la solution de l'équation de Schrödinger «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)=$ $i\;\hbar \left({\dfrac {\partial }{\partial t}}\right)_{\!\!x}\!\left[{\underline {\psi }}\right]\!(x,\,t)\;$» sous la forme d'un produit de fonctions de variables séparées c'est-à-dire «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)={\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}(t)\;$» ce qui conduit à «$\;\left\lbrace {\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)\right\rbrace {\underline {f}}(t)={\underline {\Psi }}(x)\left\lbrace i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)\right\rbrace \;$» et permet de séparer les variables en divisant les deux membres par $\;{\underline {\Psi }}(x)\;{\underline {f}}\;$ soit, après simplification évidente dans chaque membre, «$\;{\dfrac {{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)}{{\underline {\Psi }}(x)}}={\dfrac {i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)}{{\underline {f}}(t)}}\;$» ;

     sachant que la seule fonction qui soit à la fois une fonction de $\;x\;$ seule et une fonction de $\;t\;$ seule, $\;{\big (}x\;$ et $\;t\;$ étant des variables indépendantes${\big )}$, est la fonction constante et
     notant $\;{\underline {\alpha }}\;$ cette valeur constante a priori arbitraire,
     sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dont la 1^ère gère la partie spatiale de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ avec la position $\;x\;$ et
     sachant l'équation de Schrödinger se sépare en deux équations $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}(x)\\i\;\hbar \;{\dfrac {d}{dt}}\!\left[{\underline {f}}\right]\!(t)={\underline {\alpha }}\;{\underline {f}}(t)\end{array}}\right\rbrace }\;$ dont la 2^ème la partie temporelle de la fonction d'onde $\;{\underline {f}}(t)\;$ avec le temps $\;t$ ;

     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « solution $\;{\underline {f}}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;t\right)\;$» et
     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « celle-ci $\;{\big (}$compte-tenu du fait que le champ d'énergie potentielle est indépendant du temps${\big )}\;$ devant correspondre à une probabilité de présence indépendante du temps, le module de $\;{\underline {f}}(t)\;$ doit aussi en être indépendant, ce qui nécessite que $\;{\underline {\alpha }}\;$ soit réel ;
     la forme normalisée de la 2^ème équation $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {f}}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {\underline {\alpha }}{\hbar }}\;{\underline {f}}(t)=0}\;$ étant une équation linéaire à cœfficient complexe du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{\underline {f}}\;$ homogène, admet pour « on pose donc $\;{\underline {\alpha }}=E\;\in \;\mathbb {R} \;$ ${\big (}$chaque valeur de $\;E\;$ définissant une énergie possible de la particule${\big )}\;$ et la partie temporelle de la fonction d'onde se réécrit «$\;{\underline {f}}(t)=\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E}{\hbar }}\;t\right)\;$» ;

     en introduisant la grandeur $\;E\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit «$\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[{\underline {\Psi }}\right]\!(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$»
     en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit $\;{\big (}$équation aux valeurs propres de l'opérateur hamiltonien${\big )}\;$ ou encore,
     en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)+U(x)\;{\underline {\Psi }}(x)=E\;{\underline {\Psi }}(x)\;$»
        en introduisant la grandeur $\;\color {transparent}{E}\;$ précédemment définie comme énergie possible de la particule, la 1^ère équation se réécrit en explicitant l'hamiltonien $\;{\big (}$équation de Schrödinger indépendante du temps${\big )}$.

 

Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

     Expliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Solution

     Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes las valeurs propres $\;E_{n}\;$ de l'opérateur hamiltonien ainsi que
         Supposons que l'on ait résolu l'équation de Schrödinger indépendante du temps, c'est-à-dire que l'on ait obtenu toutes les fonctions propres $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ associées,

     à chaque « état propre $\;\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]\;$» on peut définir la « fonction d'onde associée dépendante du temps $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)={\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$» $\Rightarrow$
     à chaque « état propre $\;\color {transparent}{\left[E_{n}\,;\,{\underline {\Psi }}_{n}(x)\right]}\;$» on connaît un ensemble de discret générateur de n'importe quelle fonction d'onde solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps ;

     à chaque fonction d'onde particulière dépendante du temps construite à partir d'un état propre de l'hamiltonien correspondant à une « densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,{\cancel {t}})=\vert {\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)\vert ^{2}=$ $\vert {\underline {\Psi }}_{n}(x)\vert ^{2}\;$» indépendante du temps définit un état stationnaire de la particule ;

     supposons que l'on connaisse la décomposition initiale de la fonction d'onde sur l'ensemble des états stationnaires de la particule par exemple «$\;{\underline {\psi }}(x,\,0)=$ $\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ avec $\;{\underline {a}}_{n}\;\in \;\mathbb {C} \;$»
     supposons que l'on déduit, du caractère linéaire de l'équation de Schrödinger dépendante du temps, la fonction d'onde à un instant $\;t\;$ quelconque «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)=\sum \limits _{n}{\underline {a}}_{n}\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;\exp \!\left(-i\;{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\;t\right)\;$».

 

Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

     Le potentiel $\;U(x)\;$ étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ ?

Solution

     Considérant un puits quantique de profondeur $\;U_{0}\;$ et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ plus exactement «$\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\;{\text{ si }}x\geqslant {\mathfrak {a}}\\\;0\;\;{\text{ si }}0<x<{\mathfrak {a}}\\U_{0}\;{\text{ si }}x\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$», c'est-à-dire constant par morceaux,
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit l'équation de Schrödinger indépendante du temps réécrite sous forme normalisée
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {\Psi }}}{dx^{2}}}(x)-{\dfrac {2\;m}{\hbar ^{2}}}\left[U(x)-E\right]{\underline {\Psi }}(x)=0\;$» c'est-à-dire
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire à cœfficient constant par morceaux du 2^ème ordre en $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ homogène sans 1^er ordre,
     Considérant un puits quantique de profondeur $\;\color {transparent}{U_{0}}\;$ et de largeur $\;\color {transparent}{\mathfrak {a}}\;$ on en déduit une équation différentielle linéaire dont la résolution se discute selon la valeur de $\;E$ :

• si «$\;E\in \left]0,U_{0}\right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\;m\;(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
• si «$\;E\in \left]U_{0},+\infty \right[\;$», la solution par morceaux est de forme suivante «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\,{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\0\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;k={\dfrac {\sqrt {2\;m\;E}}{\hbar }}\;$ » ;
• si «$\;E\in \left]-\infty ,0\right[\;$», il y a absence de solution conforme au résultat de la mécanique classique.

 

Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits

     Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger indépendante du temps, la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ doit être continue ; de la même façon,

     il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie, la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation $\;{\dfrac {d{\underline {\Psi }}}{dx}}(x)\;$ est aussi continue.

     On se place dans le cas où l'énergie $\;E\;$ est toujours inférieure à la profondeur du puits $\;U_{0}$.
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde aux barrières d'énergie potentielle ainsi que
     En écrivant les conditions de continuités des morceaux de leur dérivée spatiale 1^ère, puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : $m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$, $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;{\text{ou}}\;2\,nm$, $\;U_{0}=1\,eV\;$ et on rappelle
     En écrivant la compatibilité de ces conditions, la résoudre numériquement avec les données suivantes : la constante réduite de Planck $\;\hbar =1,056\,10^{-34}\,J\cdot s\;$.

Solution

     Nous avons vu précédemment que, pour $\;E\in \left]0,U_{0}\right[$, la solution par morceaux est de forme $\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \,\exp(-K\,x)\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\delta \,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace$ ; ces morceaux de la solution, ainsi que leur dérivée spatiale 1^ère, doivent être continus et la solution globale doit vérifier la condition de normalisation, l'application de ces cinq conditions permet de déterminer les quatre constantes ainsi que les valeurs possibles de $\;E\;$ c'est-à-dire la condition de quantification de l'énergie.

     Continuités en $\;x=0$ :

• $\;\Psi (0^{-})=\Psi (0^{+})\;$ s'explicite en $\;\delta =\beta \;$ et
• $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}(0^{+})\;$ conduit à $\;K\,\delta =k\,\alpha$,

d'où «$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}=\alpha \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\;\;({\mathfrak {1}})\;$».

     Continuités en $\;x=a$ :

• $\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=\Psi ({\mathfrak {a}}^{+})\;$ s'explicite en $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})\;$ et
• $\;{\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{-})={\dfrac {d\Psi }{dx}}({\mathfrak {a}}^{+})\;$ conduit à $\;k\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})-k\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=-K\,\gamma \,\exp(-K\,{\mathfrak {a}})$,

     Continuités en $\;\color {transparent}{x=a}\;$ : d'où $\;\gamma =\left[\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$ d'une part et d'autre part $\;\gamma =\left[-\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\right]{\dfrac {k}{K}}\exp(K\,{\mathfrak {a}})$, soit, en égalant les deux expressions de $\;\gamma$, on obtient $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\beta \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {k}{K}}\,\alpha \,\cos(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\beta \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$ ou, $\;\alpha \left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$ $\beta \left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\;$ soit finalement «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=\alpha \,{\dfrac {{\sqrt {U_{0}-E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\sqrt {E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;\;({\mathfrak {2}})\;$»      Continuités en $\;\color {transparent}{x=a}\;$ : et, en reportant l'expression de $\;\beta \;$ en fonction de $\;\alpha \;$ on obtient $\;\gamma =\alpha \,\left[\sin(k\,{\mathfrak {a}})+{\dfrac {K\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+k\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$ soit, en réduisant au même dénominateur et en procédant aux simplifications élémentaires «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\alpha \;{\dfrac {\sqrt {E}}{{\sqrt {E}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\sqrt {U_{0}-E}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;\;({\mathfrak {3}})\;$».

     Condition de quantification : Les relations $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ écrites respectivement selon «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\;$» et «$\;\left(\delta =\right)\;\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$»
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=1\;$ ou $\;{\dfrac {K}{k}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$ soit encore
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles si $\;2\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\left[{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}\right]\sin(k\,{\mathfrak {a}})\;$ et enfin $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {2}{{\dfrac {k}{K}}-{\dfrac {K}{k}}}}={\dfrac {2\,k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$ ou $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{E-(U_{0}-E)}}\;$ c'est-à-dire
     Condition de quantification : Les relations $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}})}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathfrak {2}})}\;$ sont compatibles avec la relation de quantification suivante «$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$».

     Condition de quantification : Remarque : On peut transformer cette condition de quantification selon «$\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})=2\,X\;$ avec $\;X={\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}\;$» et
     Condition de quantification : Remarque : On peut transformer en utilisant $\;\tan(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=X\;$ $\Rightarrow$ «$\;X\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)+\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-X=0\;$» équation du 2^ème degré en $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$ de discriminant $\;\Delta =1+4\,X^{2}=$ $1+{\dfrac {4\,k^{2}\,K^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}={\dfrac {(k^{2}+K^{2})^{2}}{(k^{2}-K^{2})^{2}}}\;$ et donc de solution «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {-1\pm {\dfrac {k^{2}+K^{2}}{k^{2}-K^{2}}}}{2\,{\dfrac {k\,K}{k^{2}-K^{2}}}}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{solution positive }}\;\;{\dfrac {K}{k}}\\{\text{solution négative }}-{\dfrac {k}{K}}\end{array}}\!\!\right\rbrace \;$» ;

     Condition de quantification : Remarque : cette forme de relation de quantification n'est pas utilisée dans la résolution numérique qui suit.

     Résolution numérique de la condition de quantification : « En posant $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\,m\,U_{0}}}\,{\mathfrak {a}}}{\hbar }}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {\left(1-{\dfrac {E}{U_{0}}}\right){\dfrac {E}{U_{0}}}}}}{2\,{\dfrac {E}{U_{0}}}-1}}\;$» soit encore,
     Résolution numérique de la condition de quantification : « en définissant la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}\;$», les valeurs de $\;E\;$ acceptables sont solutions de «$\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)={\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}\;$» ;

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace alors sur un même diagramme, en fonction de la variable $\;\xi ={\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}}}}$, le graphe de $\;\tan \!\left(\mu \,\xi \right)\;$ et celui de $\;{\dfrac {2\,\xi \,{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}{2\,\xi ^{2}-1}}$, les abscisses des points d'intersection nous donnant les valeurs de $\;\xi \;$ permises et par suite celles de $\;E\;$ autorisées ;

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 5,11\;$ ${\big (}$voir 1^er diagramme ci-dessous à gauche${\big )}$ ;
     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}\;$ l'intersection nous donne deux valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,438)^{2}\simeq 0,192\,U_{0}\\U_{0}\times (0,840)^{2}\simeq 0,705\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm\;$ on trouve $\;\mu ={\dfrac {{\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times 1,6\,10^{-19}}}\times 2\,10^{-9}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 10,2\;$ ${\big (}$voir 2^ème diagramme ci-dessous à droite${\big )}$ ;
     Résolution numérique de la condition de quantification : on trace avec $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}\;$ l'intersection nous donne quatre valeurs d'énergie permises : «$\;E\simeq \left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\times (0,257)^{2}\simeq 0,066\,U_{0}\\U_{0}\times (0,511)^{2}\simeq 0,261\,U_{0}\\U_{0}\times (0,756)^{2}\simeq 0,572\,U_{0}\\U_{0}\times (0,971)^{2}\simeq 0,943\,U_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\;$ d'une particule dans un puits quantique de faible largeur

Diagramme pour déterminer la condition de quantification de l'énergie comprise entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\;$ d'une particule dans un puits quantique de moyenne largeur

 

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

     Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace $\;\left]-\infty \,;\,0\right]$, $\;\left[0\,;\,{\mathfrak {a}}\right]\;$ et $\;\left[{\mathfrak {a}}\,;\,+\infty \right[\;$ après les avoir normalisées globalement ?

Solution

     L'énergie $\;E\;$ considérée suivant la condition de quantification «$\;\tan \!\left({\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\,{\mathfrak {a}}\right)={\dfrac {2\,{\sqrt {E\,(U_{0}-E)}}}{2\,E-U_{0}}}\;$», on peut exprimer la fonction d'onde par morceaux en fonction d'une seule constante d'intégration par exemple $\;\alpha \;$ en utilisant les relations précédemment établies entre les constantes d'intégration soit «$\;\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$», «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\;\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$» et «$\;\delta =\beta =\alpha \;{\dfrac {k}{K}}\;$» ; on en déduit la solution sous la forme «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha \,{\dfrac {{\dfrac {k}{K}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\quad \;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha \,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha \,{\dfrac {k}{K}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \quad \;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\alpha$, à savoir «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{l}(x)\;dx=1\;$» avec la définition, par morceaux, de la densité linéique de probabilité de présence
     il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\color {transparent}{\alpha }$, à savoir «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x)=\left[\Psi (x)\right]^{2}=\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha ^{2}\,{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\;{\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\alpha ^{2}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\;{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\alpha ^{2}\,{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\qquad \qquad \;\;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     la condition de normalisation se réécrit «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx+\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp \!\left[-2\,K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,dx={\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\;$» soit

• pour la 1^ère intégrale «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\exp(2\,K\,x)\,dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp(2\,K\,x)}{2\,K}}\right]_{-\infty }^{0}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$»,
• pour la 3^ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\left[{\dfrac {\exp \!\left\lbrace 2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right\rbrace }{-2\,K}}\right]_{\mathfrak {a}}^{+\infty }={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {k}{k\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-K\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$»,
  pour la 3^ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 3^ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit
  pour la 3^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=$ ${\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et
  pour la 3^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}}{-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}=$ ${\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ d'où «$\;{\dfrac {1}{2\,K}}\,\left[{\dfrac {1}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\right]^{2}={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$»
  pour la 3^ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 3^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{\mathfrak {a}}^{+\infty }{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1}{\left[{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]^{2}}}\,\exp \!\left[2\,K({\mathfrak {a}}-x)\right]dx={\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}\;$» et
• pour la 2^ème intégrale il convient tout d'abord de linéariser l'expression à intégrer après développement du carré $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=\sin ^{2}(k\,x)+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,\cos ^{2}(k\,x)+2\,{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,x)\,\cos(k\,x)=$ ${\dfrac {1-\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\,{\dfrac {1+\cos(2\,k\,x)}{2}}+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ soit $\;\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{\!2}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\;$ d'où la réécriture de
  pour la 2^ème intégrale «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,\cos(2\,k\,x)\,dx+\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\dfrac {k}{K}}\,\sin(2\,k\,x)\,dx=\left[{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,x+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,x)}{2\,k}}+{\dfrac {k}{K}}\,{\dfrac {-\cos(2\,k\,x)}{2\,k}}\right]_{0}^{\mathfrak {a}}\;$» soit finalement «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\;$»,
  pour la 2^ème intégrale $\;\succ \;$nous allons simplifier le résultat de cette 2^ème intégrale en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente, à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {{\dfrac {K}{k}}\,\left[1-{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1^ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,\sin ^{2}(k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}{\left[1+{\dfrac {K^{2}}{k^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 1^ère condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,2\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {4\,k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}=$ ${\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}-K^{2}\right)^{2}+4\,k^{2}\,K^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}{K\,\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» et
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», $\;\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})=2\,{\dfrac {2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\left[1-\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=4\,{\dfrac {-{\dfrac {k}{K}}\,\left[1-{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}=4\,k\,K\,{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ ainsi que
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2^ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», $\;1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})=$ $2\,{\dfrac {\left[2\,\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}{\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\right]^{2}}}=8\,{\dfrac {\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}{\left[1+{\dfrac {k^{2}}{K^{2}}}\right]^{2}}}={\dfrac {8\,k^{2}\,K^{2}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)^{2}}}\;$ d'où
  pour la 2^ème intégrale $\;\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{\triangleright }\;$avec la 2^ème condition «$\;\color {transparent}{\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}}\;$», «$\;{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {k^{2}-K^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\dfrac {\sin(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,k}}+{\dfrac {1-\cos(2\,k\,{\mathfrak {a}})}{2\,K}}\,{\overset {\cdots }{=}}\,{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$»
  pour la 2^ème intégrale $\;\succ \;$soit finalement la même expression de 2^ème intégrale pour les deux formes de condition de quantification «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {k}{K}}\,\cos(k\,x)\right]^{2}\,dx={\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}\;$» ;

     en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\;$» d'où le cœfficient $\;\alpha \;$ cherché choisi positif, «$\;\alpha ={\sqrt {\dfrac {K^{3}}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$»,      en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où les cœfficients communs $\;\beta =\delta \;$ s'en déduisant aisément «$\;\delta =\beta =\alpha \,{\dfrac {k}{K}}={\sqrt {\dfrac {k^{2}\,K}{\left(k^{2}+K^{2}\right)\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\;$» ainsi que      en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où une 1^ère expression du cœfficient $\;\gamma \;$ «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}}\;$» expression que l'on va simplifier
en utilisant l'« autre forme de condition de quantification de l'énergie » établie dans la remarque de la solution de la question précédente,
à savoir une condition de quantification sous les deux formes complémentaires
$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$ pour la 1^ère condition et $\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$ pour la 2^ème, soit      en ajoutant toutes les contributions $\;\triangleright \;$avec la 1^ère condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$», $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=\sin(k\,{\mathfrak {a}})-\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin(k\,{\mathfrak {a}})\,\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)-\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ soit, en utilisant la formule de trigonométrie «$\;\sin(a)\;\cos(b)-\sin(b)\;\cos(a)=\sin(a-b)\;$», «$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})={\dfrac {\sin \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)={\dfrac {K}{k}}\;$» et
     en ajoutant toutes les contributions $\;\triangleright \;$avec la 2^ème condition «$\;\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)=-{\dfrac {k}{K}}\;$», après une 1^ère factorisation par $\;-{\dfrac {K}{k}}\;$ dans $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})\;$ dans le but de faire apparaître la condition de quantification à utiliser, on obtient $-{\dfrac {K}{k}}\,\left[-{\dfrac {k}{K}}\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=$ $-{\dfrac {K}{k}}\,\left[\tan \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos(k\,{\mathfrak {a}})\right]=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\sin(k\,{\mathfrak {a}})+\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}\;$ soit enfin, en utilisant la formule de trigonométrie «$\;\cos(a)\;\cos(b)+\sin(a)\;\sin(b)$ $=\cos(a-b)\;$», «$\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})-{\dfrac {K}{k}}\,\cos(k\,{\mathfrak {a}})=-{\dfrac {K}{k}}\,{\dfrac {\cos \!\left(k\,{\mathfrak {a}}-{\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}{\cos \!\left({\dfrac {k\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}=-{\dfrac {K}{k}}\;$»
     en ajoutant toutes les contributions la condition de normalisation se réécrit «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}=2\;{\dfrac {k^{2}}{2\,K^{3}}}+{\dfrac {K^{2}+k^{2}}{2\,K^{2}}}\,{\mathfrak {a}}+{\dfrac {1}{K}}={\dfrac {k^{2}+K^{2}}{K^{3}}}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}\;$» d'où une 2^ème expression du cœfficient $\;\gamma \;$ «$\;\gamma =\alpha \;{\dfrac {\exp(K\,{\mathfrak {a}})}{\pm {\dfrac {K}{k}}}}=\pm \beta \;\exp(K\,{\mathfrak {a}})=\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,{\mathfrak {a}})\;$» ;      finalement la solution par morceaux s'écrit «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {U_{0}-E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left[\sin(k\,x)+{\dfrac {E}{U_{0}-E}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\{\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore,
     finalement la solution par morceaux s'écrit «$\;\Psi (x)={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\left\lbrace {\begin{array}{l}\pm \exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\\\left[{\sqrt {\dfrac {U_{0}-E}{E}}}\,\sin(k\,x)+{\sqrt {\dfrac {E}{U_{0}-E}}}\,\cos(k\,x)\right]{\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\\\exp(K\,x)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\text{ pour }}x\in \left]-\infty ,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\\k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\end{array}}\right\rbrace \;$» c'est-à-dire à l'intérieur du puits une « onde stationnaire » et, à l'extérieur de chaque côté du puits, une « onde évanescente ».

 

Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits

     Dans le cas où l'énergie $\;E\;$ de la particule est $\;<\;$ à la profondeur $\;U_{0}\;$ du puits d'énergie potentielle large de $\;{\mathfrak {a}}$, on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance$\;{\mathfrak {a}}\;$de chacune de ses frontières par «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}={\dfrac {\vert \Psi (-{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi (0)\vert ^{2}}}\;$ pour la transmission à gauche » et «$\;T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}={\dfrac {\vert \Psi (2\,{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi ({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}}\;$ pour la transmission à droite », $\;\Psi (x)\;$ étant la fonction d'onde de la particule au point d'abscisse $\;x$ ;

     explicitez, en fonction des données du problème, chacun des taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières et vérifiez qu'ils sont égaux ; commentez.

     Faire l'application numérique pour les deux largeurs de puits d'énergie potentielle précédemment introduites $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm\;$ et $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm$ $\;{\big (}$on rappelle les autres valeurs numériques $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$, $\;U_{0}=1\,eV\;$ et $\;\hbar =1,056\,10^{-34}\,J\cdot s\;$${\big )}$ ; commentez.

Solution

     D'après la solution de la question précédente «$\;\Psi (x)={\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp(K\,x)\;$ sur l'intervalle $\;\left]-\infty ,0\right]\;$» permet d'en déduire «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}={\dfrac {\vert \Psi (-{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi (0)\vert ^{2}}}=\exp(-2\,K\,{\mathfrak {a}})\;$» ; de même

     D'après la solution de la question précédente «$\;\Psi (x)=\pm {\sqrt {K\,{\dfrac {E}{U_{0}\,\left(1+{\dfrac {K\,{\mathfrak {a}}}{2}}\right)}}}}\,\exp \!\left[-K\,(x-{\mathfrak {a}})\right]\;$ sur l'intervalle $\;\left[{\mathfrak {a}},+\infty \right[\;$» permet d'en déduire «$\;T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}={\dfrac {\vert \Psi (2\,{\mathfrak {a}})\vert ^{2}}{\vert \Psi ({\mathfrak {a}})\vert ^{2}}}=\exp(-2\,K\,{\mathfrak {a}})\;$» ; ainsi

nous constatons l'égalité des taux de transmission à l'extérieur du puits à la même distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières
en accord avec la symétrie du problème relativement au point d'abscisse $\;{\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}$, milieu du segment joignant les deux frontières du puits d'énergie potentielle.

     A.N. : Avec la largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,nm$, nous avions trouvé deux valeurs d'énergie pour la particule «$\;E_{1}\simeq 0,192\;U_{0}\simeq 0,192\;eV\;$» et «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières après avoir calculé $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\;$ pour chaque niveau d'énergie,

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie fondamental «$\;E_{1}\simeq 0,192\;U_{0}\simeq 0,192\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,192)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 4,59\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,59\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,59\times 1)\simeq 1,03\,10^{-4}\;$» c'est-à-dire une transmission faible mais observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique ;

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=1\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie excité «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,705)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}$ $\simeq 2,76\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 2,76\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 2,76\times 1)\simeq 4,01\,10^{-3}\;$» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique.

     A.N. : Avec la largeur $\;{\mathfrak {a}}=2\,nm$, nous avions trouvé quatre valeurs d'énergie pour la particule «$\;E_{1}\simeq 0,066\;U_{0}\simeq 0,066\;eV\;$», «$\;E_{2}\simeq 0,261\;U_{0}\simeq 0,261\;eV\;$», «$\;E_{3}\simeq 0,572\;U_{0}\simeq 0,572\;eV\;$» et «$\;E_{4}\simeq 0,943\;U_{0}\simeq 0,943\;eV\;$», nous en déduisons le taux de transmission commun à l'extérieur du puits à la distance $\;{\mathfrak {a}}\;$ de chacune de ses frontières après avoir calculé $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}\;$ pour chacun des niveaux d'énergie,

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le niveau d'énergie fondamental «$\;E_{1}\simeq 0,066\;U_{0}\simeq 0,066\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,066)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,05\,10^{-34}}}\simeq 4,94\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,94\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,94\times 2)\simeq 2,62\,10^{-9}\;$» c'est-à-dire une transmission excessivement faible quasi-observable ;

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 1^er niveau d'énergie excité «$\;E_{2}\simeq 0,705\;U_{0}\simeq 0,705\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,261)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 4,39\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 4,39\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 4,39\times 2)\simeq 2,36\,10^{-8}\;$» c'est-à-dire une transmission encore excessivement petite et qui n'est guère plus observable ;

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 2^ème niveau d'énergie excité «$\;E_{3}\simeq 0,572\;U_{0}\simeq 0,572\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,572)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 3,34\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 3,34\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 3,34\times 2)\simeq 1,58\,10^{-6}\;$» c'est-à-dire une transmission faible restant difficilement observable mais observable néanmoins alors qu'elle est interdite en mécanique classique ;

     A.N. : Avec la largeur $\;\color {transparent}{{\mathfrak {a}}=2\,nm}$, $\;\triangleright$ avec le 3^ème niveau d'énergie excité «$\;E_{4}\simeq 0,943\;U_{0}\simeq 0,943\;eV\;$», nous obtenons $\;K={\dfrac {\sqrt {2\times 9,1\,10^{-31}\times (1-0,943)\times 1,6\,10^{-19}}}{1,056\,10^{-34}}}\simeq 1,22\,10^{9}\,m^{-1}\;$ soit «$\;K\simeq 1,22\,nm^{-1}\;$» d'où «$\;T_{-{\mathfrak {a}}\,\leftarrow \,0}=T_{{\mathfrak {a}}\,\rightarrow \,2\,{\mathfrak {a}}}=\exp(-2\times 1,22\times 2)\simeq 7,60\,10^{-3}\;$» c'est-à-dire une transmission encore petite mais nettement plus observable alors qu'elle est interdite en mécanique classique.

 

Puits quantique à une dimension de profondeur infinie

Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}\;$ suivant l'abscisse $\;x$

     Dans un 2^ème temps, on considère un puits d'énergie potentielle $\;U(x)\;$ de profondeur infinie dont le diagramme en fonction de l'abscisse $\;x\;$ de la position est représenté ci-contre.

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, en-deçà et au-delà des barrières

     Que devient alors la fonction d’onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ en-deçà et au-delà des barrières ?

Solution

     L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrivant toujours «$\;-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m}}\;{\dfrac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}(x)+U(x)\;\Psi (x)=E\;\Psi (x)\;$» dans laquelle « l'énergie potentielle $\;U(x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}U_{0}\rightarrow \;+\infty {\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\\0\qquad \qquad \;{\text{ pour }}x\in \left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\right]\\U_{0}\rightarrow \;+\infty {\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et « l'énergie $\;E\;$ de la particule prend des valeurs positives donc comprises entre $\;0\;$ et $\;U_{0}\rightarrow +\infty \;$»,
          L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrivant toujours la solution en deçà et au-delà des barrières nécessite d'y évaluer la constante caractéristique $\;K={\dfrac {\sqrt {2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar }}$, celle-ci $\;\rightarrow +\infty \;$ quand $\;U_{0}\rightarrow +\infty \;$ ${\big (}$caractérisant les deux zones hors puits${\big )}$, ce qui conduit aux solutions «$\;\Psi (x)=\left\lbrace {\begin{array}{l}\gamma \;\exp \!\left(-K\;x\right){\text{ pour }}x\in \left[{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\\\delta \;\exp \!\left(K\;x\right)\;\;\,{\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ $\rightarrow 0\;$ quand $\;K\rightarrow +\infty \;$» ;

     en conclusion la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps en deçà et au-delà des barrières est «$\;\Psi (x)=0\;$» correspondant à des zones d'occupation interdites pour la particule.

 

Conditions aux limites que doit satisfaire la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits

     En utilisant le fait que la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ doit être continue aux interfaces, c'est-à-dire en $\;x=0\;$ et $\;x={\mathfrak {a}}$, écrire les conditions aux limites que doit satisfaire $\;{\underline {\Psi }}(x)$, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits.

Solution

     La continuité de $\;\Psi (x)\;$ sur la frontière de gauche c'est-à-dire en $\;x=0\;$ conduit à «$\;\Psi (0^{-})=\Psi (0^{+})\;$» soit, avec «$\;\Psi (x)=0\;\;{\text{ pour }}x\in \left]-\infty \,,\,0\right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Psi (0^{+})=0\;$» ;

     la continuité de $\;\Psi (x)\;$ sur la frontière de droite c'est-à-dire en $\;x={\mathfrak {a}}\;$ conduit à «$\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=\Psi ({\mathfrak {a}}^{+})\;$» soit, avec «$\;\Psi (x)=0\;\;{\text{ pour }}x\in \left]{\mathfrak {a}}\,,\,+\infty \right[\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0\;$».

 

Condition de quantification de l'énergie de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et expression de la partie spatiale de sa fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps

     En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits d'énergie potentielle,
         En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(x)}\;$ déterminer la condition de quantification de l'énergie de la particule ;

     en utilisant la condition de normalisation de la fonction d'onde $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$, déterminer l'expression de $\;{\underline {\Psi }}(x)\;$ à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et

         En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde $\;\color {transparent}{{\underline {\Psi }}(x)}\;$ commenter les résultats.

     A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h=6,626\,10^{-34}\,J\cdot s$ :

• un électron $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,{\text{Å}}\;$,
• un proton $\;m=1,67\,10^{-27}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,fm\;$,

     A.N. : déterminer, dans chaque exemple, l'écart entre les énergies du niveau fondamental et le 1^er niveau excité puis

     A.N. : comparer à l'ordre de grandeur de l'écart de ces énergies dans un atome et dans un noyau.

Solution

     Pour $\;E\in \left]0,U_{0}\right[$, la fonction d'onde à l'intérieur du puits d'énergie potentielle s'écrit «$\;\Psi (x)=\alpha \,\sin(k\,x)+\beta \,\cos(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\;$» avec «$\;k={\dfrac {\sqrt {2\,m\,E}}{\hbar }}\;$» ;

     Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right[}$, en appliquant $\;\Psi (0^{+})=0\;$ on en déduit $\;\beta =0\;$ d'où $\;\Psi (x)\;$ se réécrit «$\;\Psi (x)=\alpha \,\sin(k\,x){\text{ pour }}x\in \left]0,{\mathfrak {a}}\right[\;$» ;

     Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right[}$, en appliquant $\;\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0\;$ on en déduit $\;\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0\;$ d'où la « condition de quantification de $\;k\;$ grandeur caractéristique de la particule à l'intérieur du puits $\;\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0\;$»
     Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right[}$, en appliquant $\;\color {transparent}{\Psi ({\mathfrak {a}}^{-})=0}\;$ on en déduit $\;\color {transparent}{\alpha \,\sin(k\,{\mathfrak {a}})=0}\;$ d'où la « condition de quantification de $\;\color {transparent}{k}\;$ donnant les grandeurs quantifiées «$\;k_{n}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;

     Pour $\;\color {transparent}{E\in \left]0,U_{0}\right[}$, compte-tenu de la définition de $\;k\;$ en fonction de $\;E\;$ on déduit de la quantification de $\;k_{n}\;$ celle de $\;E_{n}\;$ selon «$\;{\dfrac {\sqrt {2\,m\,E_{n}}}{\hbar }}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;2\,m\,E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou encore $\;2\,m\,E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{4\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ soit finalement «$\;E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {\pi ^{2}\;\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Pour chaque valeur $\;E_{n}$, valeur propre de l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle, on associe une fonction propre $\;\Psi _{n}(x)=\alpha _{n}\;\sin(k_{n}\;x)\;$ ;
     Pour chaque valeur $\;\color {transparent}{E_{n}}$, il ne reste plus qu'à écrire la condition de normalisation pour évaluer $\;\alpha _{n}$, à savoir «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)\;dx=1\;$», intégrale se réduisant à «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)\;dx=1\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)$ $=\left[\Psi _{n}(x)\right]^{2}=\alpha _{n}^{2}\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;{\text{ pour }}x\in \left[0,{\mathfrak {a}}\right]$ est la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle » ;

     Pour chaque valeur $\;\color {transparent}{E_{n}}$, la condition de normalisation s'écrivant «$\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\alpha _{n}^{2}\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;dx=1\;$» s'intègre en linéarisant $\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)\;$ selon $\;\sin ^{2}(k_{n}\,x)={\dfrac {1-\cos(2\,k_{n}\,x)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\mathfrak {a}}\left[1-\cos(2\,k_{n}\,x)\right]\,dx={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$ ou $\;\left[x-{\dfrac {\sin(2\,k_{n}\,x)}{2\,k_{n}}}\right]_{0}^{\mathfrak {a}}={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$ soit enfin $\;\left[{\mathfrak {a}}-{\cancel {\dfrac {\sin(2\,k_{n}\,{\mathfrak {a}})}{2\,k_{n}}}}\right]={\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}\;$ dont on déduit $\;{\dfrac {2}{\alpha _{n}^{2}}}={\mathfrak {a}}\;$ ou, en choisissant $\;\alpha _{n}>0\;$ «$\;\alpha _{\cancel {n}}={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;$» et par suite      Pour chaque valeur $\;\color {transparent}{E_{n}}$, la fonction propre de l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\;\right]\;$ de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle associée à la valeur propre «$\;E_{n}=n^{2}\;{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}$» se réécrit «$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;\sin(k_{n}\,x)\;$» dans laquelle «$\;k_{n}=n\;{\dfrac {\pi }{\mathfrak {a}}}\;\;{\text{ avec }}n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ou encore
«$\;\Psi _{n}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\;\sin \!\left(\pi \,n\,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Commentaires : On retrouve le résultat fondamental de la quantification de l'énergie d'une particule quand cette dernière est confinée ;

     Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant d'expression quadratique relativement au niveau $\;n\;$ d'énergie, ces valeurs sont d'autant plus écartés que le niveau est élevé et

     Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant inversement proportionnelles au carré de la largeur du puits d'énergie potentielle, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la largeur est grande ainsi que

     Commentaires : les valeurs propres d'énergie étant inversement proportionnelles à la masse de la particule, ces valeurs sont d'autant plus resserrées que la masse est grande.

     A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck $\;h=6,626\,10^{-34}\,J\cdot s$ ;
     A.N. : l'écart entre les énergies du niveau $\;n\;$ et $\;n+1\;$ valant «$\;\Delta E_{n\,\leftrightarrow \,n+1}=\left[(n+1)^{2}-n^{2}\right]\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}=(2\,n+1)\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$» $\Rightarrow$
     A.N. : un écart entre l'énergie du 1^er état excité et celle de l'état fondamental «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\,{\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$» :
     A.N. : $\;\succ \;$1^er exemple un électron $\;m=9,1\,10^{-31}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,{\text{Å}}\;$ donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1^er état excité $\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\times {\dfrac {\left(6,626\,10^{-34}\right)^{2}}{8\times 9,1\,10^{-31}\times \left(10^{-10}\right)^{2}}}\simeq 1,81\,10^{-17}\;J\;$ soit finalement «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 113\;eV\;$»,
     A.N. : $\;\succ \;$2^ème exemple un proton $\;m=1,67\,10^{-27}\,kg\;$ dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}=1\,fm\;$, donne un écart d'énergies entre le niveau fondamental et celui du 1^er état excité $\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}=3\times {\dfrac {\left(6,626\,10^{-34}\right)^{2}}{8\times 1,67\,10^{-27}\times \left(10^{-15}\right)^{2}}}\simeq 9,86\,10^{-11}\;J\;$ soit finalement «$\;\Delta E_{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 616\;MeV\;$» ;

     A.N. : on vérifie, dans le 1^er exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie d'un électron dans un atome à savoir de quelques $\;eV\;$ à quelques $\;keV$, un atome étant de rayon de l'ordre de $\;0,53\;{\text{Å}}\;$ pour l'atome d'hydrogène à quelques $\;{\text{Å}}\;$ pour les plus complexes ;

     A.N. : on vérifie, dans le 2^ème exemple, l'ordre de grandeur des écarts séparant les niveaux d'énergie des nucléons dans un noyau à savoir de quelques $\;MeV\;$ à quelques $\;10^{2}\;MeV$, un noyau étant de rayon de l'ordre de $\;1,3\;fm\;$ pour le noyau d'hydrogène à quelques $\;fm\;$ pour les plus complexes.

 

Représentation graphique des trois premières fonctions d'onde et du carré de leurs modules

     Donner la représentation graphique des trois 1^ères fonctions d’onde et de leurs modules carrés $\;{\big (}$c'est-à-dire à leurs densités linéiques de probabilité de présence associées${\big )}$.

Solution

     Ci-dessous à gauche la représentation graphique des trois 1^ères fonctions d'onde d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}$ :
     Ci-dessous à gauche $\;\succ \;$dans l'état fondamental d'énergie «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{1}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en rouge, ainsi que
     Ci-dessous à gauche $\;\succ \;$dans les deux 1^ers états excités d'énergie «$\;E_{2}=4\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{2}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en bleu et
     Ci-dessous à gauche $\;\color {transparent}{\succ }\;$dans les deux 1^ers états excités d'énergie «$\;E_{3}=9\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de fonction propre associée «$\;\Psi _{3}(x)={\sqrt {\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}}\,\sin \!\left(3\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en vert ;

     Ci-dessous à droite la représentation graphique des trois 1^ères densités linéiques de probabilité de présence d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur $\;{\mathfrak {a}}$ :
     Ci-dessous à droite $\;\succ \;$dans l'état fondamental d'énergie «$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,1}(x)=\Psi _{1}^{2}(x)={\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en rouge $\;{\big (}$on remarque que celle-ci est maximale au centre de puits d'énergie potentielle${\big )}\;$ ainsi que
     Ci-dessous à droite $\;\succ \;$dans les deux 1^ers états excités d'énergie «$\;E_{2}=4\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,2}(x)=\Psi _{2}^{2}(x)=$ ${\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(2\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en bleu $\;{\big (}$on remarque que celle-ci est maximale en $\;x=0,25\,{\mathfrak {a}}\;$ et $\;x=0,75\,{\mathfrak {a}}\;$ alors qu'elle est nulle au centre du puits d'énergie potentielle${\big )}\;$ et
     Ci-dessous à droite $\;\color {transparent}{\succ }\;$dans les deux 1^ers états excités d'énergie «$\;E_{3}=9\;{\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$», de densité linéique de probabilité de présence «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,3}(x)=\Psi _{3}^{2}(x)=$ ${\dfrac {2}{\mathfrak {a}}}\,\sin ^{2}\!\left(3\,\pi \,{\dfrac {x}{\mathfrak {a}}}\right)\;$», représentation en vert $\;{\bigg (}\!$on remarque que celle-ci est maximale en $\;x={\dfrac {\mathfrak {a}}{6}}$, au centre du puits d'énergie potentielle et en $\;x={\dfrac {5\,{\mathfrak {a}}}{6}}$ alors qu'elle est nulle en $\;x={\dfrac {\mathfrak {a}}{3}}\;$ et $\;x={\dfrac {2\,{\mathfrak {a}}}{3}}\!{\bigg )}$.

Partie spatiale des fonctions d'onde d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie, de largeur $\;{\mathfrak {a}}$, pour l'état fondamental et les deux 1^ers états excités

Densité linéique de probabilité de présence d'une particule dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie, de largeur $\;{\mathfrak {a}}$, pour l'état fondamental et les deux 1^ers états excités

 

Interprétation physique des résultats précédents

Énergie fondamentale de la particule confinée dans ce puits et différence avec le résultat de mécanique classique

     Quelle est la plus basse énergie que puisse atteindre une particule confinée dans le puits ?

     En quoi cette énergie est-elle différente de celle que l’on trouverait en mécanique classique ?

Solution

     L'énergie fondamentale de la particule confinée dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie est »$\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}={\dfrac {\pi ^{2}\,\hbar ^{2}}{2\,m\,{\mathfrak {a}}^{2}}}\;$« ;

     elle a comme particularité d'être « non nulle » $\;{\big (}$plus précisément strictement positive${\big )}\;$ contrairement à ce qu'on trouve en mécanique classique où « l'énergie fondamentale classique est nulle », correspondant à l'immobilité de la particule.

 

Justification de la différence précédente par inégalité spatiale de Heisenberg

     Montrer que la différence précédente est une conséquence directe de l'inégalité spatiale de Heisenberg.

Solution

     La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]$, l'incertitude quantique sur sa position $\;\Delta x\;$ est majorée selon «$\;\Delta x\leqslant {\dfrac {\mathfrak {a}}{2}}\;$» et

     La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$, l'incertitude quantique sur sa quantité de mouvement $\;\Delta p_{x}\;$ se déduisant de l'inégalité spatiale de Heisenberg $\;\Delta p_{x}\;\Delta x\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ selon $\;\Delta p_{x}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta x}}\;$ on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique sur la position, que l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement est minorée selon «$\;\Delta p_{x}\gtrsim {\dfrac {\hbar }{\mathfrak {a}}}\;$» ;

     La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$, la définition de cette dernière étant $\;\Delta p_{x}={\sqrt {\left\langle (p_{x}-{\overline {p_{x}}})^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }}$, la valeur moyenne de sa quantité de mouvement étant $\;{\overline {p_{x}}}=0\;$ soit encore $\;\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =(\Delta p_{x})^{2}\;$ ;      La particule étant confinée sur l'intervalle $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,{\mathfrak {a}}\,\right]}$, l'énergie de la particule ayant une valeur fixée $\;E$, celle-ci s'identifie à sa valeur moyenne soit $\;E=\left\langle E\right\rangle =\left\langle K\right\rangle ={\dfrac {\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle }{2\;m}}={\dfrac {(\Delta p_{x})^{2}}{2\;m}}\;$ ${\big [}$en utilisant le résultat établi précédemment $\;\left\langle p_{x}^{2}\right\rangle =(\Delta p_{x})^{2}{\big ]}\;$ puis à l'aide de la valeur du minorant précédemment obtenu de l'incertitude quantique sur la quantité de mouvement $\;\Delta p_{x}$, «$\;E\gtrsim {\dfrac {\hbar ^{2}}{2\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}={\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}\;$» soit finalement «$\;E\gtrsim {\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}\;$»
ce qui, devant être vérifié par tout niveau d'énergie, doit l'être en particulier par le niveau fondamental $\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}$,
ce qui est le cas car $\;E_{1}={\dfrac {h^{2}}{8\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}>{\dfrac {h^{2}}{8\;\pi ^{2}\;m\;{\mathfrak {a}}^{\,2}}}$ ;
la valeur de ce minorant prouve effectivement que « l'énergie fondamentale est nécessairement non nulle ».

 

Signification physique de la partie spatiale de la fonction d'onde

     Discuter la signification physique de la fonction d’onde $\;{\underline {\Psi }}_{n}(x)\;$ associée à l'énergie $\;E_{n}\;$ de la particule dans l'état de niveau $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Solution

     La fonction d’onde $\;\Psi _{n}(x)\;$, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps $\;{\big (}$ou fonction propre de l'hamiltonien $\;{\widehat {\mathcal {H}}}\!\left[\,\right]\;$ de la particule associée à la valeur propre $\;E_{n}\;$ de l'énergie de cette dernière${\big )}$, n'a pas de signification physique propre ;

                  La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}\;$ en a une, il définit la densité linéique de probabilité de présence $\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x)=\Psi _{n}^{2}(x)\;$,
                  La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\color {transparent}{\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}}\;$ en a une, ses zéros donnant les abscisses où la particule est interdite pour cette énergie et
                  La fonction d’onde $\;\color {transparent}{\Psi _{n}(x)}\;$ seul le carré de son module $\;\color {transparent}{\vert \Psi _{n}(x)\vert ^{2}}\;$ en a une, ses maxima, les abscisses où on a le plus de chance de trouver la particule pour cette même énergie.

 

Évolution temporelle d'un état stationnaire

     Expliquer comment va évoluer temporellement un état stationnaire et en quoi cela justifie cette appellation.

Solution

     Supposons que la particule possède, à l'instant initial, l'énergie $\;E_{n}$, une des valeurs propres de l'hamiltonien de la particule, la fonction d'onde de cette dernière à l'instant initial $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,0)\;$ est alors la fonction propre $\;\Psi _{n}(x)\;$ de son hamiltonien associée à l'énergie propre $\;E_{n}\;$ soit «$\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,0)=\Psi _{n}(x)\;$» ;

     Supposons que la particule possède, à un instant $\;t\;$ quelconque, la fonction d'onde de la particule $\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)$, solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps suivie par la particule d'énergie $\;E_{n}\;$ s'écrit «$\;{\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)=\Psi _{n}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\,t\right)\;$» ;

     Supposons que la particule possède, à un instant $\;\color {transparent}{t}\;$ quelconque, la densité linéique de probabilité de présence de la particule à cet instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}_{n}(x,\,t)\vert ^{2}\;$» est encore égale à «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)=$ ${\bigg \vert }\Psi _{n}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n}}{\hbar }}\,t\right){\bigg \vert }^{2}=\Psi _{n}^{2}(x)\;$» soit finalement «$\;{\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,t)={\mathcal {P}}_{l,\,n}(x,\,0)\;$», établissant son indépendance relativement au temps $\;t\;$ d'où l'appellation d'état stationnaire.

     Remarque : La particule possédant une énergie $\;E_{n}\;$ parfaitement définie, l'incertitude quantique sur son énergie est nulle soit $\;\Delta E_{n}=0$ ;

     Remarque : selon l'inégalité temporelle de Heisenberg $\;\Delta E\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ et tenant compte de la nullité de l'incertitude quantique sur l'énergie, on en déduit que l'incertitude quantique sur l'instant $\;t\;$ d'observation de la particule $\;\Delta t_{n}\;$ doit être $\;\infty$, ce qui correspond effectivement à un état où l'instant $\;t_{n}\;$ d'observation de la particule ne peut être déterminé comme il ne peut l'être dans un état stationnaire.

 

Évolution temporelle d'un état correspondant à la superposition initiale de deux états stationnaires

     Soit $\;{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{2}}(x)\;$ la fonction d'onde initiale associée à un état résultant d’une superposition quelconque de deux états stationnaires à l'instant initial $\;t=0$.
     Soit $\;\color {transparent}{{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;{\underline {\Psi }}_{n_{2}}(x)}\;$ Comment va évoluer temporellement un tel état ?

Solution

     Connaissant la fonction d'onde initiale associée à un état de la particule résultant de la superposition des deux états stationnaires d'énergie respective $\;E_{n_{1}}\;$ et $\;E_{n_{2}}\;$ soit «$\;{\underline {\psi }}(x,\,0)={\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;$», on en déduit la fonction d'onde à l'instant $\;t\;$ quelconque «$\;{\underline {\psi }}(x,\,t)={\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\;$».

     La densité linéique initiale de probabilité de présence de la particule «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,0)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,0)\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(x,\,0)\right]\left[{\underline {\psi }}(x,\,0)\right]^{*}\;$» s'évalue selon «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,0)=\left[{\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\right]\left[{\underline {\alpha }}^{*}\;\Psi _{n_{1}}(x)+{\underline {\beta }}^{*}\;\Psi _{n_{2}}(x)\right]=$
$\vert {\underline {\alpha }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{1}}^{2}(x)+\vert {\underline {\beta }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{2}}^{2}(x)+2\,\vert {\underline {\alpha }}\vert \,\vert {\underline {\beta }}\vert \,\cos(\varphi _{\alpha }-\varphi _{\beta })\,\Psi _{n_{1}}(x)\,\Psi _{n_{2}}(x)\;$» ;

     La densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\psi }}(x,\,t)\vert ^{2}=\left[{\underline {\psi }}(x,\,t)\right]\left[{\underline {\psi }}(x,\,t)\right]^{*}\;$» s'évalue selon «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=$ $\left[{\underline {\alpha }}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(-i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\right]\left[{\underline {\alpha }}^{*}\;\Psi _{n_{1}}(x)\;\exp \!\left(i\,{\dfrac {E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t\right)+{\underline {\beta }}^{*}\;\Psi _{n_{2}}(x)\;\exp \!\left(i\,{\dfrac {E_{n_{2}}}{\hbar }}\,t\right)\right]\;$»
soit finalement «$\;{\mathcal {P}}_{l}(x,\,t)=\vert {\underline {\alpha }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{1}}^{2}(x)+\vert {\underline {\beta }}\vert ^{2}\;\Psi _{n_{2}}^{2}(x)+2\,\vert {\underline {\alpha }}\vert \,\vert {\underline {\beta }}\vert \,\cos \!\left({\dfrac {E_{n_{2}}-E_{n_{1}}}{\hbar }}\,t+\varphi _{\alpha }-\varphi _{\beta }\right)\,\Psi _{n_{1}}(x)\,\Psi _{n_{2}}(x)\;$».

     Constatant que la densité linéique de probabilité de présence de la particule à l'instant $\;t\;$ est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\;\omega _{n_{1},\,n_{2}}=$ ${\dfrac {\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }{\hbar }}\;$ donc de période $\;T_{n_{1},\,n_{2}}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{n_{1},\,n_{2}}}}=$ ${\dfrac {2\,\pi \,\hbar }{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}={\dfrac {h}{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}$, on en déduit que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires » n'est pas un état stationnaire.

     Remarque : Compte-tenu du fait que l'état « superposition initiale de deux états stationnaires d'énergie respective $\;E_{n_{1}}\;$ et $\;E_{n_{2}}\;$» n'est pas stationnaire, la mesure de l'énergie associée à l'état n'est déterminable qu'avec une incertitude quantique «$\;\Delta E\leqslant \vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert \;$» ;

     Remarque : de l'inégalité de Heisenberg temporelle $\;\Delta E\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2}}\;$ où $\;\Delta t\;$ est l'incertitude quantique sur l'instant d'observation, on en déduit «$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\Delta E}}\;$» et on obtient, en utilisant le majorant précédemment déterminé de l'incertitude quantique sur l'énergie, que l'incertitude quantique sur l'instant d'observation est minorée selon «$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {\hbar }{2\;\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}={\dfrac {h}{4\;\pi \;\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}\;$», en accord avec le fait que la densité linéique de probabilité de présence est sinusoïdale du temps de période $\;T_{n_{1},\,n_{2}}={\dfrac {h}{\vert E_{n_{2}}-E_{n_{1}}\vert }}$ d'où l'incertitude quantique sur l'instant d'observation «$\;\Delta t\gtrsim {\dfrac {T_{n_{1},\,n_{2}}}{4\;\pi }}\;$».