Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Image logo représentative de la faculté
Exercices no20
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Introduction au monde quantique : oscillateur harmonique
Exo suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Sommaire

Puits quantique à une dimension[modifier | modifier le wikicode]

Puits quantique à une dimension de profondeur finie[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur U0 et de largeur a suivant l'abscisse x

......On considère une particule de masse décrite par une fonction d'onde évoluant dans un champ de force conservatif dérivant de l'énergie potentielle dont le diagramme en fonction de l'abscisse de la position est représenté ci-contre.

......Dans un premier temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur finie fixée à [1].

Écriture de l'équation de Schrödinger suivie par la particule[modifier | modifier le wikicode]

......Écrire l'équation de Schrödinger à une dimension suivie par la particule.

......Préciser l'hamiltonien de la particule.

Signification physique de l'équation de Schrödinger suivie par la particule[modifier | modifier le wikicode]

......Expliquer physiquement la signification de l'équation de Schrödinger suivie par la particule ainsi que celle de la fonction d'onde [4].

Conséquences de l'indépendance de l'hamiltonien de la particule relativement au temps[modifier | modifier le wikicode]

......Sachant que l'hamiltonien de la particule est ici indépendant du temps, quelle forme prend la fonction [5] ?

......En déduire l'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du temps[5].

Détermination de la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps à partir des solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

......Expliquer pourquoi résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps permet de déduire la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps.

Forme générale de la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

......Le potentiel étant constant par morceau, quelle forme générale prend la fonction [12],[13] ?

Condition de quantification de l'énergie de la particule dans le cas où celle-ci est inférieure à la profondeur du puits[modifier | modifier le wikicode]

......Il est possible de montrer que, pour satisfaire l’équation de Schrödinger indépendante du temps, la fonction d'onde [18] doit être continue, ceci même si l'énergie potentielle présente une discontinuité.

......De la même façon, il est possible de montrer que, dans la mesure où la discontinuité de l'énergie potentielle est finie[19], alors la dérivée de la fonction d’onde par rapport à l'abscisse de localisation [20] est également continue.


......On se place dans le cas où l'énergie est toujours inférieure à la profondeur du puits . En écrivant les conditions de continuités des morceaux de fonction d'onde[18],[13] aux barrières d'énergie potentielle ainsi que celles de leur dérivée spatiale première, puis la compatibilité de ces conditions, déterminer l'équation définissant la quantification de l'énergie puis la résoudre numériquement avec les données suivantes :

......[21], , [22] et on rappelle .

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits[modifier | modifier le wikicode]

......Préciser les formes que prennent alors les solutions dans les 3 zones de l'espace , et après les avoir normalisées globalement [26] ?

Expression du taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance a de chacune de ses frontières dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où l'énergie de la particule est inférieure à la profondeur du puits d'énergie potentielle large de , on définit le taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance de chacune de ses frontières [31] par pour la transmission à gauche et pour la transmission à droite, étant la fonction d'onde[18] de la particule au point d'abscisse  ;

......explicitez, en fonction des données du problème, chacun des taux de transmission à l'extérieur du puits à une distance de chacune de ses frontières et vérifiez qu'ils sont égaux ; commentez.

......Faire l'application numérique pour les deux largeurs de puits d'énergie potentielle précédemment introduites et ( on rappelle les autres valeurs numériques [21], [22] et  ; commentez.

Puits quantique à une dimension de profondeur infinie[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme du puits quantique à une dimension de profondeur infinie et de largeur a suivant l'abscisse x

......Dans un deuxième temps, on considère un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie[1] dont le diagramme en fonction de l'abscisse de la position est représenté ci-contre.

Partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, en-deçà et au-delà des barrières[modifier | modifier le wikicode]

......Que devient alors la fonction d’onde [18] en-deçà et au-delà des barrières [32] ?

Conditions aux limites que doit satisfaire la partie spatiale de la fonction d'onde de la particule, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits[modifier | modifier le wikicode]

......En utilisant le fait que la fonction d'onde [18] doit être continue aux interfaces, c'est-à-dire en et , écrire les conditions aux limites que doit satisfaire .

Condition de quantification de l'énergie de la particule à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et expression de la partie spatiale de sa fonction d'onde, solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps[modifier | modifier le wikicode]

......En imposant les conditions aux limites à la fonction d'onde [18] solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à l'intérieur du puits d'énergie potentielle déterminer la condition de quantification de l'énergie de la particule ;

......en utilisant la condition de normalisation de la fonction d'onde [18], déterminer l'expression de [13] à l'intérieur du puits d'énergie potentielle et

......commenter les résultats.

......A.N. : on propose deux applications numériques pour lesquelles on rappelle la valeur de la constante de Planck  :

  • un électron dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur [35],
  • un proton dans un puits d'énergie potentielle de profondeur infinie et de largeur [36],

......A.N. : déterminer, dans chaque exemple, l'écart entre les énergies du niveau fondamental et le 1er niveau excité puis

......A.N. : comparer à l'ordre de grandeur de l'écart de ces énergies dans un atome et dans un noyau.

Représentation graphique des trois premières fonctions d'onde et du carré de leurs modules[modifier | modifier le wikicode]

......Donner la représentation graphique des 3 premières fonctions d’onde[18] et de leurs modules carrés.