Série entière/Définition formelle - rayon de convergence

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Définition des séries entières

Définition

On appelle série entière toute série de fonctions $\sum u_{n}$ du type $u_{n}:z\mapsto a_{n}z^{n}$ (fonction de variable complexe en général), avec $(a_{n})\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$.

Par la suite, on notera abusivement $\sum a_{n}z^{n}$ la série de fonctions précédente, en distinguant le cas d'une variable réelle par $\sum a_{n}x^{n}$ et celui d'une variable complexe par $\sum a_{n}z^{n}$.

Début de l'exemple

Exemples

• $\sum {\frac {z^{n}}{n!}}$ est une série entière qui converge absolument sur tout $\mathbb {C}$.
• La série géométrique $\sum z^{n}$ est aussi une série entière, convergente sur ${\mathcal {B}}(0,1)$ :

  $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={1 \over 1-z}$ pour $|z|<1$.

• $\sum {\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$ est une série entière, qui converge absolument sur tout $\mathbb {C}$ vers la fonction cosinus.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple - Utilisation du critère de D'Alembert

Pour $a_{n}={\frac {1}{n!}}$, on a la série : $\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}$.

Appliquons le critère de d'Alembert : ${a_{n+1} \over a_{n}}={1 \over n+1}$, ce quotient converge vers 0, on a donc bien une série entière qui converge sur ℂ tout entier.

Fin de l'exemple

Conclusions

• Un des problèmes majeurs vient de la convergence ou de la divergence de la série entière.
• On constate au travers de ces exemples que les séries étudiées convergent sur un disque ouvert de centre 0 et de rayon dans ${\overline {\mathbb {R} }}_{+}=\mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}$.

Remarque Si $(a_{n})$ est définie à partir d'un certain rang $n_{0}$, la série $\sum _{n\geq n_{0}}a_{n}X^{n}$ est toujours considérée comme une série entière en complétant $(a_{n})$ par des zéros.

Lemme d'Abel et rayon de convergence

Le lemme d'Abel est fondamental dans l'étude des séries entières.

Début d'un lemme

Lemme d'Abel

Soit $(a_{n})$ une suite de nombres complexes. On suppose que, pour un certain réel positif $\rho$, la suite $(a_{n}\rho ^{n})$ est bornée. Alors, pour tout nombre complexe $z$ de module strictement inférieur à $\rho$, la série $\sum a_{n}z^{n}$ converge absolument.

Fin du lemme

Démonstration

Pour $z$ tel que $|z|<\rho$, $\left|a_{n}z^{n}\right|=\left|a_{n}\right|\rho ^{n}\left|{\frac {z}{\rho }}\right|^{n}=O\left(\left|{\frac {z}{\rho }}\right|^{n}\right)$.

Or $\left|{\frac {z}{\rho }}\right|<1$ donc $\sum a_{n}z^{n}$ est absolument convergente.

 

Définition

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière. On appelle rayon de convergence de cette série l'élément

$R=\operatorname {Sup} \{\rho \in \mathbb {R} _{+}\mid (a_{n}\rho ^{n})$ est bornée $\}$

de $\mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}$.

La borne supérieure est bien définie sur un ensemble non vide, car 0 en est élément.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors, pour tout nombre complexe $z$ :

• si $|z|<R$, $\sum a_{n}z^{n}$ est absolument convergente ;
• si $|z|>R$, $\sum a_{n}z^{n}$ est grossièrement divergente.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R$. Alors :

$R=\operatorname {Sup} \{\rho \in \mathbb {R} _{+}\mid \sum a_{n}\rho ^{n}\ {\text{acv}}\}=\operatorname {Sup} \{\rho \in \mathbb {R} _{+}\mid \sum a_{n}\rho ^{n}\ {\text{cv}}\}$.

Fin du théorème