Leçons de niveau 15

Série entière/Définition formelle - rayon de convergence

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Définition formelle - rayon de convergence
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Chapitre no 2
Leçon : Série entière
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Série entière/Définition formelle - rayon de convergence
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Définition des séries entières[modifier | modifier le wikicode]


Par la suite, on notera abusivement la série de fonctions précédente, en distinguant le cas d'une variable réelle par et celui d'une variable complexe par .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Conclusions

  • Un des problèmes majeurs vient de la convergence ou de la divergence de la série entière.
  • On constate au travers de ces exemples que les séries étudiées convergent sur un disque ouvert de centre 0 et de rayon dans .

Remarque Si est définie à partir d'un certain rang , la série est toujours considérée comme une série entière en complétant par des zéros.

Lemme d'Abel et rayon de convergence[modifier | modifier le wikicode]

Le lemme d'Abel est fondamental dans l'étude des séries entières.

Début d'un lemme
Fin du lemme

La borne supérieure est bien définie sur un ensemble non vide, car 0 en est élément.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème