Leçons de niveau 15

Série entière/Développement en série entière

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Développement en série entière
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Chapitre no 4
Leçon : Série entière
Chap. préc. :Propriétés
Chap. suiv. :Fonction exponentielle
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Série entière/Développement en série entière
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Fonctions développables en série entière autour d'un point[modifier | modifier le wikicode]

Si tel est le cas, la série entière étudiée aura un rayon de convergence R supérieur ou égal à r, donc strictement positif.



Début d’un théorème
Fin du théorème


Techniques usuelles de développement en série entière[modifier | modifier le wikicode]

Linéarité[modifier | modifier le wikicode]

Les développements en séries entières sont linéaires sur leur disque de convergence.

Produit[modifier | modifier le wikicode]

Par produit de Cauchy, pour un développement en série entière autour de 0, avec et les développements respectifs de et .

Primitivation et dérivation[modifier | modifier le wikicode]

Avec une équation différentielle[modifier | modifier le wikicode]

Série de Taylor-MacLaurin[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Panneau d’avertissement Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Par exemple la fonction plateau

admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon , mais ne coïncide pas avec sur une boule ouverte centrée en 0.