Série entière/Développement en série entière

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Fonctions développables en série entière autour d'un point

Définition : fonction développable en série entière

Soit $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$, où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb {C}$. On dit que $f$ est développable en série entière autour de $a\in \Omega$ s'il existe $(a_{n})\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ et $r>0$ tels que :

• ${\mathcal {B}}(a,r)\subset \Omega$ ;
• $\forall z\in {\mathcal {B}}(a,r),\ f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}(z-a)^{n}$.

Si tel est le cas, la série entière étudiée aura un rayon de convergence R supérieur ou égal à r, donc strictement positif.

Remarque

$f$ est développable en série entière autour de $a$ si et seulement si $z\mapsto f(a+z)$ est développable autour de $0$.

Définition : fonction analytique

On dit qu'une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$ est analytique si elle est développable en série entière en tout point de $\Omega$.

Début d’un théorème

Théorème d'unicité du développement

Si $f$ est développable en série entière en un point, alors son développement en ce point est unique.

Fin du théorème

Techniques usuelles de développement en série entière

Linéarité

Les développements en séries entières sont linéaires sur leur disque de convergence.

Produit

Par produit de Cauchy, $(fg)(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(\sum _{p+q=n}a_{p}b_{q})x^{n}$ pour un développement en série entière autour de 0, avec $\sum a_{n}X^{n}$ et $\sum b_{n}X^{n}$ les développements respectifs de $f$ et $g$.

Série de Taylor-MacLaurin

Début d’un théorème

Théorème

Pour que $f$ soit développable en série entière, il faut que :

• $f$ soit de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ au voisinage de 0;
• $\sum {\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}z^{n}$ soit de rayon de convergence strictement positif,

auquel cas cette série, dite de Taylor-MacLaurin, est l'unique développement possible de $f$ autour de 0.

Fin du théorème

Cette condition est largement insuffisante pour assurer l’existence d'un développement en série entière. Par exemple la fonction plateau $f:t\rightarrow {\begin{cases}e^{-1/t^{2}}&{\text{si}}\ t\neq 0\\0&{\text{si}}\ t=0\end{cases}}$ admet des dérivées successives toutes nulles en 0 ! Ainsi, la série entière associée ci-dessus est la série nulle, donc de rayon $+\infty >0$, mais ne coïncide pas avec $f$ sur une boule ouverte centrée en 0.