Série entière/Exercices/Rayon de convergence 3

Question 1

Soit $(a_{n})_{n\geq 0}$ une suite de réels décroissante, de limite 0, et telle que $\sum _{n\geq 0}a_{n}$ diverge. Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ ?

Solution

La série entière diverge en $z=1$ et converge en $z=-1$ (par le critère de convergence des séries alternées) donc $R=1$.

 

Question 2

Sachant que le rayon de convergence d’une série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ est $R$, quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}^{2}z^{n}$ ?

Solution

Pour tout réel $\rho \geq 0$, les $a_{n}^{2}\rho ^{n}=(a_{n}({\sqrt {\rho }})^{n})^{2}$ forment une suite bornée si et seulement si la suite $(a_{n}({\sqrt {\rho }})^{n})$ est bornée, ce qui est vrai lorsque ${\sqrt {\rho }}<R$ et faux lorsque ${\sqrt {\rho }}>R$. Donc le rayon de convergence de la série entière $\sum _{n\geq 0}a_{n}^{2}z^{n}$ est $R^{2}$.