Leçons de niveau 15

Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle

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Série entière et équation différentielle
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Exercices no6
Leçon : Série entière

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Calcul de sommes
Exo suiv. :Produit de Cauchy
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Série entière/Exercices/Série entière et équation différentielle
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

1°  Déterminer les solutions, définies sur , de l'équation différentielle linéaire du premier ordre

.

2°  Montrer qu’il existe une série entière dont la somme est nulle en et solution de cette équation différentielle. On précisera son rayon de convergence.

3°  En déduire que pour tout ,

avec .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière et montrer que .
  2. Calculer la dérivée (sur ) de .
  3. En déduire : .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Méthode de Frobenius ».
Wikipédia possède un article à propos de « Fonction de Bessel ».

On fixe et l'on considère, sur , l'équation différentielle linéaire du second ordre (homogène, à coefficients non constants) :

.
  1. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions ?
  2. Déterminer les séries formelles solutions de l'équation différentielle formelle associée, et en particulier celle, notée , telle que .
  3. Quel est le rayon de convergence de la série entière  ?