Recherche:Méthode de Sotta/Généralisation aux équations de degré quelconque

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Nous avons étudié la méthode de Sotta dans le premier chapitre sur les équations du troisième degré et nous avons vu que cette méthode permet de résoudre toutes ces équations. Nous avons ensuite vu que cette méthode peut s'adapter aux équations du quatrième degré vérifiant une condition de résolubilité s'exprimant par une relation entre les coefficients de l'équation. Une question naturelle est alors : peut-on adapter la méthode de Sotta à des équations de degré quelconque ? La réponse est presque oui, mais le nombre des conditions de résolubilité croît avec le degré de l'équation. Pour une équation de degré n, il y aura n – 3 conditions de résolubilité (nécessaires mais non suffisantes) à satisfaire. Plus le degré de l'équation est élevé, plus la méthode est restrictive : le sous-espace des polynômes unitaires de degré n auxquels elle s'applique est de dimension 3, dans un espace de dimension n. Par ailleurs, la méthode de Sotta n'effectue que des résolutions par radicaux, or un théorème d'Abel établit qu'en tout degré supérieur ou égal à 5, il existe des équations non résolubles par radicaux. La méthode de Sotta ne s'applique même pas à toutes les équations résolubles par radicaux puisqu'en degré 4, toutes le sont.

Le présent chapitre expose la méthode de Sotta sous une forme générale.

Notations

Dans cette leçon, nous utiliserons la notation indicielle car nous manipulerons, la plupart du temps, des équations de degré n. Cette façon de faire s’avérera plus commode pour énoncer des résultats généraux. Par exemple, au lieux de noter :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$,

nous noterons :

$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

et de façon plus générale, l'équation de degré n se notera :

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$.

Dans le cadre de ce chapitre, les coefficients de cette équation sont des nombres complexes.

$p,q,r,s$ seront des nombres complexes même s'ils apparaissent sous forme de fractions (ce qui peut porter à confusion en faisant penser à des rationnels).

Résolvante de Sotta

Dans les deux chapitres précédents, en traduisant dans la notation indicielle, nous avons défini la résolvante de Sotta $R_{P}$ d'un polynôme $P$ :

• de degré 3, $P(X)=a_{3}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, par :

  $R_{P}(X)=(a_{2}^{2}-3a_{3}a_{1})X^{2}+(a_{2}a_{1}-9a_{3}a_{0})X+a_{1}^{2}-3a_{2}a_{0}$ ;

• de degré 4, $P(X)=a_{4}X^{4}+a_{3}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$, par :

  $R_{P}(X)=3(3a_{3}^{2}-8a_{4}a_{2})X^{2}+6(a_{3}a_{2}-6a_{4}a_{1})X+4a_{2}^{2}-9a_{3}a_{1}$.

Plus généralement, pour les équations de degré n, on pose :

Définition de la résolvante de Sotta

Nous appellerons résolvante de Sotta d'un polynôme

$P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$,

de degré n ≥ 3, le polynôme :

$R_{P}(X):=[b_{n-1}^{2}-b_{n}b_{n-2}]X^{2}+[b_{n-1}b_{n-2}-b_{n}b_{n-3}]X+b_{n-2}^{2}-b_{n-1}b_{n-3}$,

où les $b_{i}$ sont les quotients suivants des $a_{i}$ par des coefficients binomiaux ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ :

$\forall i\in \{0,1,\dots ,n\}\qquad b_{i}:={\frac {a_{i}}{\binom {n}{i}}}$.

Pour n égal à 3 ou 4, on retrouve, à une constante multiplicative près, les résolvantes de Sotta que nous avions définies précédemment.

Les coefficients $A=b_{n-1}^{2}-b_{n}b_{n-2}$, $B=b_{n-1}b_{n-2}-b_{n}b_{n-3}$, $C=b_{n-2}^{2}-b_{n-1}b_{n-3}$ de la résolvante ont été choisis de telle façon que

$Ab_{n-2}-Bb_{n-1}+Cb_{n}=0\quad {\text{et}}\quad Ab_{n-3}-Bb_{n-2}+Cb_{n-1}=0$.

En particulier, $C={\frac {Bb_{n-1}-Ab_{n-2}}{b_{n}}}$ donc si $A=B=0$ alors $C=0$.

Remarque : si $a_{n-2}=a_{n-3}=0$ alors $R_{P}(X)=b_{n-1}^{2}X^{2}$.

Propriété

Si P a une racine α d'ordre au moins n – 1, alors :

• si l'ordre de α est n – 1, R_P est de degré 2 et de racine double α.
• si l'ordre de α est n, R_P = 0.

Démonstration

Soit β la dernière racine de P (différente de α dans le premier cas et égale à α dans le second). Alors,

${\begin{aligned}P(x)&=a_{n}(x-\alpha )^{n-1}(x-\beta )\\&=a_{n}\sum \left(-\alpha {\binom {n-1}{k-1}}-\beta {\binom {n-1}{k}}\right)(-\alpha )^{n-1-k}x^{k}\\&=-a_{n}\sum {\binom {n}{k}}{\frac {\alpha k+\beta (n-k)}{n}}(-\alpha )^{n-1-k}x^{k}\end{aligned}}$

donc

$b_{k}=-b_{n}{\frac {\alpha k+\beta (n-k)}{n}}(-\alpha )^{n-1-k}$,

en particulier :

${\begin{cases}b_{n-1}&=-b_{n}{\frac {\alpha (n-1)+\beta }{n}}\\b_{n-2}&=b_{n}\alpha {\frac {\alpha (n-2)+2\beta }{n}}\\b_{n-3}&=-b_{n}\alpha ^{2}{\frac {\alpha (n-3)+3\beta }{n}}.\end{cases}}$

Par conséquent,

$R_{P}(X)=AX^{2}+BX+C$

avec

${\begin{cases}{\frac {n^{2}A}{b_{n}^{2}}}&=(\alpha (n-1)+\beta )^{2}-n\alpha (\alpha (n-2)+2\beta )&=(\alpha -\beta )^{2}\\{\frac {n^{2}B}{\alpha b_{n}^{2}}}&=-(\alpha (n-1)+\beta )(\alpha (n-2)+2\beta )+n\alpha (\alpha (n-3)+3\beta )&=-2(\alpha -\beta )^{2}\\{\frac {n^{2}C}{\alpha ^{2}b_{n}^{2}}}&=(\alpha (n-2)+2\beta )^{2}-(\alpha (n-1)+\beta )(\alpha (n-3)+3\beta )&=(\alpha -\beta )^{2}\end{cases}}$

si bien que

$R_{P}(x)={\frac {b_{n}^{2}(\alpha -\beta )^{2}}{n^{2}}}(X-\alpha )^{2}$.

 

Théorème de Sotta

La définition ci-dessus de la résolvante trouve sa justification dans le résultat élémentaire suivant :

Début d’un théorème

Théorème de Sotta

Si le polynôme P (de degré n ≥ 3) a n racines distinctes de la forme :

${\frac {\alpha -\beta \operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{n}}\gamma }{1-\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{n}}\gamma }}$

(avec $\gamma ^{n}\neq 1$), alors

• $R_{P}$ est de degré 2 et ses racines sont les deux nombres (distincts) $\alpha$ et $\beta$ ;
• $\alpha$ et $\beta$ sont différents de $-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}$ ;
• $\gamma ^{n}={\frac {a_{n-1}+n\alpha a_{n}}{a_{n-1}+n\beta a_{n}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Par hypothèse :

• $K:=\gamma ^{n}\neq 1$ ;
• $\alpha \neq \beta \quad {\text{et}}\quad K\neq 0$ (puisque les $x_{k}$ sont distincts) ;
• l'équation $P(x)=0$ est équivalente à

  $(x-\alpha )^{n}-K(x-\beta )^{n}=0$,

  c'est-à-dire (d'après la formule du binôme) que ses coefficients, à une constante multiplicative près, sont donnés par :

  $a_{j}={\binom {n}{j}}\left((-\alpha )^{n-j}-K(-\beta )^{n-j}\right)$,

  les coefficients associés $b_{j}$ étant donc :

  $b_{j}=(-\alpha )^{n-j}-K(-\beta )^{n-j}$.

Preuve du premier point

Le quadruplet $\left(b_{n},-b_{n-1},b_{n-2},-b_{n-3}\right)$ suit donc la même récurrence linéaire d'ordre 2 que la suite $(\alpha ^{k}-K\beta ^{k})$, si bien que $R_{P}$ est proportionnel au polynôme caractéristique de cette suite : $(X-\alpha )(X-\beta )$.

Preuve du second point

$\gamma ^{n}=K$ ;

$a_{n-1}+n\alpha a_{n}=n(b_{n-1}+\alpha b_{n})=n((K\beta -\alpha )+\alpha (1-K))=nK(\beta -\alpha )$ ;

$a_{n-1}+n\beta a_{n}=n(b_{n-1}+\beta b_{n})=n((K\beta -\alpha )+\beta (1-K))=n(\beta -\alpha )$.

 

On remarque de plus :

Début d’un théorème

Complément au théorème de Sotta

Sous les mêmes hypothèses que dans le théorème ci-dessus, les coefficients $b_{j}={\frac {a_{j}}{\binom {n}{j}}}$ vérifient : ${\begin{aligned}\forall j\in &\{0,1,\cdots ,n-4\}\\&b_{j+1}^{2}b_{j+4}-b_{j}b_{j+2}b_{j+4}+b_{j+2}^{3}-2b_{j+1}b_{j+2}b_{j+3}+b_{j}b_{j+3}^{2}=0.\end{aligned}}$

Fin du théorème

Démonstration

Reprenons les calculs de la démonstration précédente et posons

$c_{i}=(-\alpha )^{i}-K(-\beta )^{i}$.

La suite $c$ vérifie une récurrence linéaire d'ordre 2 donc (cf. Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires#Exercice 4) :

$\forall i\geq 4\quad c_{i}(c_{i-3}^{2}-c_{i-4}c_{i-2})+c_{i-1}(c_{i-4}c_{i-1}-c_{i-3}c_{i-2})+c_{i-2}(c_{i-2}^{2}-c_{i-3}c_{i-1})=0$.

Pour tout $j\in \{0,1,\dots ,n-4\}$, en posant $i=n-j$, on en déduit :

${\begin{aligned}&b_{j+1}^{2}b_{j+4}-b_{j}b_{j+2}b_{j+4}+b_{j+2}^{3}-2b_{j+1}b_{j+2}b_{j+3}+b_{j}b_{j+3}^{2}\\&=b_{j}(b_{j+3}^{2}-b_{j+4}b_{j+2})+b_{j+1}(b_{j+4}b_{j+1}-b_{j+3}b_{j+2})+b_{j+2}(b_{j+2}^{2}-b_{j+3}b_{j+1})\\&=c_{i}(c_{i-3}^{2}-c_{i-4}c_{i-2})+c_{i-1}(c_{i-4}c_{i-1}-c_{i-3}c_{i-2})+c_{i-2}(c_{i-2}^{2}-c_{i-3}c_{i-1})\\&=0.\end{aligned}}$

 

Conditions de résolubilité de Sotta

Nous appellerons « conditions de résolubilité de Sotta » les conditions qui, d'après le complément ci-dessus, sont nécessaires (mais non suffisantes) pour adapter la méthode de Sotta :

Définition des conditions de résolubilité de Sotta

Les conditions de résolubilité de Sotta d'une équation

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$,

de degré n ≥ 3, sont les n – 3 relations suivantes entre coefficients $b_{i}={\frac {a_{i}}{\binom {n}{i}}}$ :

${\begin{aligned}\forall i\in &\{0,1,\cdots ,n-4\}\\&b_{i+1}^{2}b_{i+4}-b_{i}b_{i+2}b_{i+4}+b_{i+2}^{3}-2b_{i+1}b_{i+2}b_{i+3}+b_{i}b_{i+3}^{2}=0.\end{aligned}}$

(Si n = 3, il n'y a donc aucune condition.)

Les conditions de résolubilité de Sotta impliquent donc (en multipliant par $b_{i+4}$) :

$\forall i\in \{0,1,\cdots ,n-4\}\qquad \left(b_{i+2}b_{i+3}-b_{i+1}b_{i+4}\right)^{2}=\left(b_{i+2}^{2}-b_{i}b_{i+4}\right)\left(b_{i+3}^{2}-b_{i+2}b_{i+4}\right)$.

Remarque : cas d'échec complet de la méthode

Si $n=5$ et $a_{4}=a_{3}=a_{2}=0$ ou $a_{3}=a_{2}=a_{1}=0$, ou si $n\geq 6$ et $a_{n-2}=\dots =a_{2}=0$, alors les n – 3 conditions « de résolubilité » de Sotta sont trivialement vérifiées mais la méthode est impuissante (sauf bien sûr si de plus, $a_{n-1}=a_{1}=0$, auquel cas la résolution est immédiate).

Par exemple, l'équation x⁵ – 3x – 1 = 0 n'est pas résoluble par radicaux.

Propriétés d'une équation vérifiant les conditions de résolubilité de Sotta

Soit une équation à résoudre :

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

vérifiant les conditions de résolubilité de Sotta.

Nous avons conçu ces conditions de résolubilité de façon à obtenir, si elles sont vérifiées, une réciproque du théorème de Sotta : les n racines s'exprimeront (sauf dans quelques cas exceptionnels, dont le cas d'échec complet signalé ci-dessus) comme une fonction homographique des n racines n-ièmes d'un certain nombre complexe.

Début d'un lemme

Lemme 1

Si n ≥ 4, la résolvante de Sotta est soit de degré 2, soit nulle.

Fin du lemme

Démonstration

La dernière condition de résolubilité implique :

$B^{2}=\left(b_{n-2}b_{n-1}-b_{n-3}b_{n}\right)^{2}=\left(b_{n-2}^{2}-b_{n-4}b_{n}\right)\left(b_{n-1}^{2}-b_{n-2}b_{n}\right)=\left(b_{n-2}^{2}-b_{n-4}b_{n}\right)A$.

Si $A=0$ alors $B=0$ donc (voir supra) $C=0$.

 

Les conditions de résolubilité permettent en général de propager la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 amorcée par le choix de la résolvante :

Début d'un lemme

Lemme 2

Si la résolvante de Sotta $AX^{2}+BX+C$ vérifie $A\neq 0$ et [$n\leq 4$ ou $C\neq 0$], alors

$\forall k\in \{2,3,\dots ,n\}\quad Ab_{k-2}-Bb_{k-1}+Cb_{k}=0$.

Fin du lemme

Démonstration

C'est un exercice élémentaire : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires#Exercice 4.

 

La résolution repose ensuite directement sur les trois théorèmes suivants (qui ne traitent pas tous les cas).

Début d’un théorème

Premier théorème de résolution

Si $R_{P}$ est de degré 2 et si ses deux racines, notées α et β, sont distinctes et, si n > 4, non nulles,

alors :

• α et β sont différents de $-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}$ ;
• les racines de P sont les n nombres distincts :

  $x_{k}={\frac {\alpha -\beta \gamma _{k}}{1-\gamma _{k}}}$

  où les $\gamma _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{n}}\gamma _{0}$ sont les racines n-ièmes de

  ${\frac {a_{n-1}+n\alpha a_{n}}{a_{n-1}+n\beta a_{n}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

D'après le lemme 2, on a

$\forall j\in \{0,\dots ,n\}\quad (\beta -\alpha )b_{n-j}=(-\alpha )^{j}\lambda -(-\beta )^{j}\mu$

avec

$\lambda =b_{n-1}+\beta b_{n}$, $\mu =b_{n-1}+\alpha b_{n}$.

Par conséquent :

${\begin{aligned}(\beta -\alpha )P(X)&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(\beta -\alpha )b_{n-j}X^{n-j}\\&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}\left[(-\alpha )^{j}\lambda -(-\beta )^{j}\mu \right]X^{n-j}\\&=\lambda (X-\alpha )^{n}-\mu (X-\beta )^{n}\end{aligned}}$

donc $\lambda$ et $\mu$ sont non nuls (sinon, R serait nul), et

$P(x)=0\Leftrightarrow \left({\frac {x-\alpha }{x-\beta }}\right)^{n}={\frac {\mu }{\lambda }}\Leftrightarrow \exists \gamma \quad \left(\gamma ^{n}={\frac {\mu }{\lambda }}\quad {\text{et}}\quad x={\frac {\alpha -\beta \gamma }{1-\gamma }}\right)$.

 

Début d’un théorème

Deuxième théorème de résolution

Si $R_{P}$ est de degré 2 et a une racine double α, non nulle si n > 4,

alors α est racine d'ordre n – 1 de P, l'autre racine (simple) étant donc $-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}-(n-1)\alpha$.

Fin du théorème

Démonstration

Il suffit de montrer que α est racine d'ordre au moins n – 1 de P (elle ne peut pas l'être d'ordre n, sinon $R_{P}$ serait nul).

D'après le lemme 2, on a

$\forall j\in \{0,\dots ,n\}\quad b_{n-j}=(-\alpha )^{j-1}jb_{n-1}-(-\alpha )^{j}(j-1)b_{n}$.

Par conséquent :

${\begin{aligned}P(X)&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}b_{n-j}X^{n-j}\\&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}\left[(-\alpha )^{j-1}jb_{n-1}-(-\alpha )^{j}(j-1)b_{n}\right]X^{n-j}\\&=n\sum _{j=1}^{n}{\binom {n-1}{j-1}}\left[(-\alpha )^{j-1}b_{n-1}-(-\alpha )^{j}b_{n}\right]X^{n-j}+\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-\alpha )^{j}b_{n}X^{n-j}\\&=n(b_{n-1}+\alpha b_{n})\left[\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}(-\alpha )^{k}X^{n-1-k}\right]+b_{n}(X-\alpha )^{n}\\&=(X-\alpha )^{n-1}\left[n(b_{n-1}+\alpha b_{n})+b_{n}(X-\alpha )\right].\end{aligned}}$

 

Début d’un théorème

Troisième théorème de résolution

Si $R_{P}$ est nul et si [$n\leq 4$ ou $a_{n-1}\neq 0$], alors les n racines de P sont :

$x_{k}=-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}+\zeta _{k}$

où les $\zeta _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{n}}\zeta _{0}$ sont les racines n-ièmes de

$\left({\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\right)^{n}-{\frac {a_{0}}{a_{n}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Les cas $n\leq 4$ (qui n'utilisent d'ailleurs pas les conditions de résolubilité) ayant été traités aux chapitres précédents, supposons $n>4$.

Par hypothèse, $a:=b_{n}$ et $b:=b_{n-1}$ sont non nuls. En poursuivant les calculs du lemme 1, on déduit facilement des conditions de résolubilité (par récurrence descendante) que

$\forall i\in \{1,\dots ,n\}\quad b_{i}={\frac {b^{n-i}}{a^{n-i-1}}}\quad {\text{donc}}\quad a_{i}={\binom {n}{i}}a_{n}\left({\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\right)^{n-i}$.

Par conséquent,

$P(X)=a_{n}\left[\left(X+{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\right)^{n}-\left({\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\right)^{n}+{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right]$.

 

Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un n-polygone régulier, qui dégénère en un point (racine d'ordre n) si ${\frac {a_{0}}{a_{n}}}=\left({\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\right)^{n}$.

Pour tout n ≥ 5, les deux cas restants (cas $A\neq 0$, $C=0$ et cas $a_{n-1}=a_{n-2}=a_{n-3}=0$) ne sont pas abordés par la méthode de Sotta (voir supra).

Application à la résolution des équations de petit degré

Pour faciliter (ou pas, selon les goûts) l’application de la méthode aux équations de petit degré, nous allons ci-dessous réécrire les formules vues précédemment en abandonnant la notation indicielle et en remplaçant n par sa valeur.

Degré 3

L'application de la méthode aux équations de degré 3 a déjà été étudiée dans le chapitre 1.

Degré 4

L'application de la méthode aux équations de degré 4 a déjà été étudiée dans le chapitre 2.

Degré 5

Considérons le polynôme de degré 5 :

$P(X)=aX^{5}+bX^{4}+cX^{3}+dX^{2}+eX+f$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $10ad^{2}-20ace+c^{3}-4bcd+8b^{2}e=0$ ;
• $8be^{2}-20bdf+d^{3}-4cde+10c^{2}f=0$.

Remarque : si $c=d=0$, ces deux conditions se résument à $be=0$.

La résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_{P}(X)=(4b^{2}-10ac)X^{2}+(2bc-10ad)X+c^{2}-2bd$.

Premier cas : si $R_{P}$ a deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 5 racines distinctes suivantes :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \gamma _{k}}{1-\gamma _{k}}}$

où les $\gamma _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}\gamma _{0}$ sont les racines cinquièmes de ${\frac {b+5\alpha a}{b+5\beta a}}$.

Deuxième cas : si $R_{P}$ admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 4 de P. La racine simple manquante est donc $-{\frac {b}{a}}-4\alpha$.

Troisième cas : si $R_{P}=0$ et $b\neq 0$,

alors les 5 racines de P sont :

$x_{k}=-{\frac {b}{5a}}+\zeta _{k}$

où les $\zeta _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}\zeta _{0}$ sont les racines cinquièmes de $\left({\frac {b}{5a}}\right)^{5}-{\frac {f}{a}}$.

Degré 6

Considérons le polynôme de degré 6 :

$P(X)=aX^{6}+bX^{5}+cX^{4}+dX^{3}+eX^{2}+fX+g$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $135ad^{2}-240ace+16c^{3}-60bcd+100b^{2}e=0$ ;
• $160be^{2}-300bdf+27d^{3}-96cde+160c^{2}f=0$ ;
• $100cf^{2}-240ceg+16e^{3}-60def+135d^{2}g=0$.

Sa résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_{P}(X)=(50b^{2}-120ac)X^{2}+(20bc-90ad)X+8c^{2}-15bd$.

Premier cas : si $R_{P}$ deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 6 racines distinctes suivantes :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \gamma _{k}}{1-\gamma _{k}}}$

où les $\gamma _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {k\mathrm {i} \pi }{3}}\gamma _{0}$ sont les racines sixièmes de ${\frac {b+6\alpha a}{b+6\beta a}}$.

Deuxième cas : si la résolvante admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 5 de P. La racine simple manquante est donc $-{\frac {b}{a}}-5\alpha$.

Troisième cas : si $R_{P}=0$ et $b\neq 0$,

alors les 6 racines de P sont :

$x_{k}=-{\frac {b}{6a}}+\zeta _{k}$

où les $\zeta _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {k\mathrm {i} \pi }{3}}\zeta _{0}$ sont les racines sixièmes de $\left({\frac {b}{6a}}\right)^{6}-{\frac {g}{a}}$.

Degré 7

Considérons le polynôme de degré 7 :

$P(X)=aX^{7}+bX^{6}+cX^{5}+dX^{4}+eX^{3}+fX^{2}+gX+h$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $189ad^{2}-315ace+25c^{3}-90bcd+135b^{2}e=0$ ;
• $135be^{2}-225bdf+27d^{3}-90cde+125c^{2}f=0$ ;
• $125cf^{2}-225ceg+27e^{3}-90def+135d^{2}g=0$ ;
• $135dg^{2}-315dfh+25f^{3}-90efg+189e^{2}h=0$.

Sa résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_{P}(X)=(45b^{2}-105ac)X^{2}+(15bc-63ad)X+5c^{2}-9bd$.

Premier cas : si $R_{P}$ a deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 7 racines distinctes suivantes :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \gamma _{k}}{1-\gamma _{k}}}$

où les $\gamma _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{7}}\gamma _{0}$ sont les racines septièmes de ${\frac {b+7\alpha a}{b+7\beta a}}$.

Deuxième cas : si $R_{P}$ admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 6 de P. La racine simple manquante est donc $-{\frac {b}{a}}-6\alpha$.

Troisième cas : si $R_{P}=0$ et $b\neq 0$

alors les 7 racines de P sont :

$x_{k}=-{\frac {b}{7a}}+\zeta _{k}$

où les $\zeta _{k}=\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{7}}\zeta _{0}$ sont les racines septièmes de $\left({\frac {b}{7a}}\right)^{7}-{\frac {h}{a}}$.