Recherche:Méthode de Sotta/Changement de variable homographique en degré 3

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Changement de variable homographique en degré 3
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Chapitre no 4
Recherche : Méthode de Sotta
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Exercices :

Applications à la trigonométrie
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Méthode de Sotta/Changement de variable homographique en degré 3
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Dans ce chapitre, nous montrerons comment exprimer les racines d'un polynôme de degré 3 comme fonction homographique des racines d'un polynôme donné de degré 3. Grâce à la méthode de Sotta, nous ramènerons ce problème à la résolution de deux équations particulières de degré 3, dont les coefficients dépendent de et de . Nous illustrerons cette méthode en prenant comme polynôme le polynôme minimal de et celui de .

Changement de variable homographique[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Voir Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Changement de variable homographique, où l'on explicite le polynôme minimal de en fonction du polynôme minimal de , ce qui permet de calculer le lien entre leurs discriminants. En particulier, si  :

  • si  :  ;
  • sinon : .

Cas du degré 3[modifier | modifier le wikicode]

On se donne maintenant deux polynômes de degré 3, et , et l'on cherche à exprimer les racines de comme images de celles de par une transformation homographique . On se placera dans le cas générique où les deux résolvantes de Sotta sont de degré 2 et de racines distinctes. et ont alors chacun trois racines distinctes. Puisqu'une transformation homographique est déterminée de façon unique par le choix des images (distinctes) de trois points distincts donnés, il existe exactement 6 solutions à notre problème.

Nous noterons le discriminant de et sa résolvante de Sotta.

Même chose pour , en mettant partout des 0 en indice.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Cela permet de déterminer les 6 solutions . Remarquons que pour , à part l'éventuelle solution (qui correspond au cas où l'homographie est une fonction affine), on peut fixer q = 1, et la première équation (pour chacune des deux valeurs de ) est alors de degré 3 en p.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Permutation circulaire des trois racines[modifier | modifier le wikicode]

Soit, à nouveau, un polynôme de degré 3 et de discriminant , et dont la résolvante de Sotta est de degré 2.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple