Recherche:Méthode de Sotta/Application aux équations de degré quatre

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Dans tout ce chapitre :

• le polynôme

  $f(X):=a{X}^4+b{X}^3+c{X}^2+dX+e$

  est de degré 4 ;

• le polynôme

  $R(X):=3(3b^2-8ac)X^2+6(bc-6ad)X+(4c^2-9bd)=A{X}^2+BX+C$

  est appelé sa résolvante de Sotta ;

• le nombre

  $\mathrm{\Psi }:=2c^3+27a{d}^2+27b^{2}e-9bcd-72ace=3(Ae+B\left(\frac{-d}{4}\right)+C\frac{c}{6})$

  est appelé son sottien.

Les coefficients $A=3(3b^2-8ac)$, $B=6(bc-6ad)$, $C=4c^2-9bd$ de la résolvante ont été choisis de telle façon que

$A\frac{c}{6}+B\left(\frac{-b}{4}\right)+Ca=0\text{et}A\left(\frac{-d}{4}\right)+B\frac{c}{6}+C\left(\frac{-b}{4}\right)=0$.

La méthode de Sotta étudiée dans le chapitre précédent sur les équations du troisième degré se généralise aux équations du quatrième degré de sottien nul.

Propriétés générales

Dans cette section, on ne suppose pas que Ψ = 0.

Propriété 1

Si le polynôme R est constant, alors il est nul (donc Ψ = 0) et les racines de f sont :

$x_k=\frac{-b}{4a}+{\zeta }_k$

où les ${\zeta }_k={\mathrm{i}}^k{\zeta }_0$ sont les racines quatrièmes de

${\left(\frac{b}{4a}\right)}^4-\frac{e}{a}$.

'Démonstration'

Si A = B = 0, alors

$C=\frac{-A\frac{c}{6}+B\frac{b}{4}}{a}=0$

et

$\{\begin{array}{cc}c& =\frac{3b^2}{8a}\\ d& =\frac{bc}{6a}=\frac{b^3}{16a^2}\end{array}$

donc

$\begin{array}{cc}f(X)& =a{X}^4+b{X}^3+\frac{3b^2}{8a}{X}^2+\frac{b^3}{16a^2}X+e\\ & =a[{(X+\frac{b}{4a})}^4-{\left(\frac{b}{4a}\right)}^4+\frac{e}{a}].\end{array}$

 

Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un carré, qui dégénère en un point (racine quadruple) si $\frac{e}{a}={\left(\frac{b}{4a}\right)}^4$.

Propriété 2

Si f a une racine au moins triple α, alors :

• si l'ordre de α est 3, R est de degré 2 et de racine double α ;
• si l'ordre de α est 4, R = 0.

'Démonstration'

Soit β la quatrième racine de f (différente de α dans le premier cas et égale à α dans le second). Alors,

$f(X)=a(X-\alpha {)}^3(X-\beta )=a{x}^4-a(3\alpha +\beta )X^3+3a\alpha (\alpha +\beta )X^2-a{\alpha }^2(\alpha +3\beta )X+a{\alpha }^3\beta$

donc

$R(X)=9a^2(\alpha -\beta {)}^2{X}^2-18a^2\alpha (\alpha -\beta {)}^{2}X+9a^2{\alpha }^2(\alpha -\beta {)}^2=9a^2(\alpha -\beta {)}^2(X-\alpha {)}^2$.

 

Propriété 3

Le « discriminant » Δ_R de R et le discriminant Δ' de $f^{\prime }$ sont liés par :

${\mathrm{\Delta }}_R=-3{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$.

Dans cet énoncé, le « discriminant » Δ_R désigne le nombre $B^2-4AC$ où $A,B,C$ sont les coefficients du polynôme R, qui peut être de degré < 2.

'Démonstration'

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_R& =36(bc-6ad{)}^2-4\times 3(3b^2-8ac)(4c^2-9bd)\\ & =12(3b^2{c}^2-36abcd+108a^2{d}^2-12b^2{c}^2+32a{c}^3+27b^{3}d-72abcd)\\ & =12(-9b^2{c}^2-108abcd+108a^2{d}^2+32a{c}^3+27b^{3}d)\\ & =-3{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\end{array}$

car

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }& =(3b{)}^2(2c{)}^2+18(4a)(3b)(2c)d-27(4a{)}^2{d}^2-4(4a)(2c{)}^3-4(3b{)}^{3}d\\ & =4(9b^2{c}^2+108abcd-108a^2{d}^2-32a{c}^3-27b^{3}d).\end{array}$

 

Propriété 4

$4a\mathrm{\Psi }=3(bc-6ad{)}^2+(36ae-c^2)(3b^2-8ac)$.

'Démonstration'

$\begin{array}{cc}3(bc-6ad{)}^2+(36ae-c^2)(3b^2-8ac)& =8a{c}^3+108a^2{d}^2+108a{b}^{2}e-36abcd-288a^{2}ce\\ & =4a(2c^3+27a{d}^2+27b^{2}e-9bcd-72ace)\\ & =4a\mathrm{\Psi }.\end{array}$

 

Propriétés supplémentaires si le sottien est nul

À partir de maintenant, on suppose que Ψ = 0.

Propriété 5

Si le polynôme R n'est pas de degré 2, alors il est nul.

'Démonstration'

Par hypothèse, A = 0 et Ψ = 0 donc bB = 4aC et 6dB = 4cC, si bien que

$B^2=6(cb-6ad)B=6(4caC-4acC)=0$

donc B = 0, et C = bB/(4a) = 0.

 

Propriété 6

Si R est de degré 2 et si son coefficient de degré 1 est nul alors f est quasisymétrique ou bicarrée.

'Démonstration'

Par hypothèse, A ≠ 0, B = 0 et Ψ = 0 donc

$c=-\frac{6aC}{A},d=-\frac{bC}{A},e=-\frac{cC}{6A}=\frac{a{C}^2}{A^2}$,

si bien que

$a{d}^2=\frac{a{b}^2{C}^2}{A^2}=e{b}^2$.

 

Théorème principal

Début d’un théorème

Théorème

Si R est de degré 2 et si Ψ = 0, alors :

• si les racines α et β de R sont distinctes, alors α et β sont différents de –b/(4a) et les racines de f sont les quatre nombres (distincts) :

  $x_k=\frac{\alpha -\beta {\gamma }_k}{1-{\gamma }_k}$

  où les ${\gamma }_k={\mathrm{i}}^k{\gamma }_0$ sont les racines quatrièmes de

  $\frac{b+4a\alpha }{b+4a\beta }$ ;

• sinon, la racine (double) de R est racine triple de f.

Fin du théorème

'Démonstration'

f n'a pas de racine quadruple, sinon R serait nul.

La suite $(a,\frac{-b}{4},\frac{c}{6},\frac{-d}{4},e)$ obéit à la récurrence linéaire d'ordre 2 de polynôme caractéristique R, donc elle est de la forme $\lambda {\alpha }^k-\mu {\beta }^k$ si $\beta \ne \alpha$, et de la forme $\lambda {\alpha }^k+k\mu {\alpha }^{k-1}$ si $\beta =\alpha$.

Dans le premier cas,

$\begin{array}{cc}f(X)& =(\lambda -\mu )X^4-4(\lambda \alpha -\mu \beta )X^3+6(\lambda {\alpha }^2-\mu {\beta }^2)X^2-4(\lambda {\alpha }^3-\mu {\beta }^3)X+\lambda {\alpha }^4-\mu {\beta }^4\\ & =\lambda (X-\alpha {)}^4-\mu (X-\beta {)}^4\end{array}$

donc $\lambda$ et $\mu$ sont non nuls et sont déterminés par $\lambda -\mu =a$ et $\lambda \alpha -\mu \beta =-b/4$ :

$\lambda =\frac{b/4+a\beta }{\beta -\alpha }\text{et}\mu =\frac{b/4+a\alpha }{\beta -\alpha }$.

Les racines de f sont alors les solutions de

${\left(\frac{x-\alpha }{x-\beta }\right)}^4=\frac{\mu }{\lambda }$,

qui sont bien les racines annoncées car

$\frac{\mu }{\lambda }=\frac{b+4a\alpha }{b+4a\beta }$

et

$\frac{x-\alpha }{x-\beta }=\gamma \iff x=\frac{\alpha -\beta \gamma }{1-\gamma }$.

Dans le second cas, il suffit de vérifier que α est racine d'ordre au moins 3 de f :

$\begin{array}{cc}f(X)& =\lambda X^4-4(\lambda \alpha +\mu )X^3+6(\lambda {\alpha }^2+2\mu \alpha )X^2-4(\lambda {\alpha }^3+3\mu {\alpha }^2)X+\lambda {\alpha }^4+4\mu {\alpha }^3\\ & =(X-\alpha {)}^3(\lambda X-\lambda \alpha -4\mu ).\end{array}$