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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Méthode de Sotta : Application aux équations de degré quatre Méthode de Sotta/Application aux équations de degré quatre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce chapitre :
le polynôme
f
(
X
)
:=
a
X
4
+
b
X
3
+
c
X
2
+
d
X
+
e
{\displaystyle f(X):=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e}
est de degré 4 ;
le polynôme
R
(
X
)
:=
3
(
3
b
2
−
8
a
c
)
X
2
+
6
(
b
c
−
6
a
d
)
X
+
(
4
c
2
−
9
b
d
)
=
A
X
2
+
B
X
+
C
{\displaystyle R(X):=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)=AX^{2}+BX+C}
est appelé sa résolvante de Sotta ;
le nombre
Ψ
:=
2
c
3
+
27
a
d
2
+
27
b
2
e
−
9
b
c
d
−
72
a
c
e
=
3
(
A
e
+
B
(
−
d
4
)
+
C
c
6
)
{\displaystyle \Psi :=2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)}
est appelé son sottien. Les coefficients
A
=
3
(
3
b
2
−
8
a
c
)
{\displaystyle A=3(3b^{2}-8ac)}
B
=
6
(
b
c
−
6
a
d
)
{\displaystyle B=6(bc-6ad)}
C
=
4
c
2
−
9
b
d
{\displaystyle C=4c^{2}-9bd}
A
c
6
+
B
(
−
b
4
)
+
C
a
=
0
et
A
(
−
d
4
)
+
B
c
6
+
C
(
−
b
4
)
=
0
{\displaystyle A{\frac {c}{6}}+B\left({\frac {-b}{4}}\right)+Ca=0\quad {\text{et}}\quad A\left({\frac {-d}{4}}\right)+B{\frac {c}{6}}+C\left({\frac {-b}{4}}\right)=0}
de sottien nul .
Dans cette section, on ne suppose pas que Ψ = 0.
Propriété 1
Si le polynôme R est constant, alors il est nul (donc Ψ = 0) et les racines de f sont :
x
k
=
−
b
4
a
+
ζ
k
{\displaystyle x_{k}={\frac {-b}{4a}}+\zeta _{k}}
où les
ζ
k
=
i
k
ζ
0
{\displaystyle \zeta _{k}=\mathrm {i} ^{k}\zeta _{0}}
(
b
4
a
)
4
−
e
a
{\displaystyle \left({\frac {b}{4a}}\right)^{4}-{\frac {e}{a}}}
Démonstration
Si A = B = 0, alors
C
=
−
A
c
6
+
B
b
4
a
=
0
{\displaystyle C={\frac {-A{\frac {c}{6}}+B{\frac {b}{4}}}{a}}=0}
et
{
c
=
3
b
2
8
a
d
=
b
c
6
a
=
b
3
16
a
2
{\displaystyle {\begin{cases}c&={\frac {3b^{2}}{8a}}\\d&={\frac {bc}{6a}}={\frac {b^{3}}{16a^{2}}}\end{cases}}}
donc
f
(
X
)
=
a
X
4
+
b
X
3
+
3
b
2
8
a
X
2
+
b
3
16
a
2
X
+
e
=
a
[
(
X
+
b
4
a
)
4
−
(
b
4
a
)
4
+
e
a
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=aX^{4}+bX^{3}+{\frac {3b^{2}}{8a}}X^{2}+{\frac {b^{3}}{16a^{2}}}X+e\\&=a\left[\left(X+{\frac {b}{4a}}\right)^{4}-\left({\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {e}{a}}\right].\end{aligned}}}
Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un carré, qui dégénère en un point (racine quadruple) si
e
a
=
(
b
4
a
)
4
{\displaystyle {\frac {e}{a}}=\left({\frac {b}{4a}}\right)^{4}}
Propriété 2
Si f a une racine au moins triple α, alors :
si l'ordre de α est 3, R est de degré 2 et de racine double α ;
si l'ordre de α est 4, R = 0.
Démonstration
Soit β la quatrième racine de f (différente de α dans le premier cas et égale à α dans le second). Alors,
f
(
X
)
=
a
(
X
−
α
)
3
(
X
−
β
)
=
a
x
4
−
a
(
3
α
+
β
)
X
3
+
3
a
α
(
α
+
β
)
X
2
−
a
α
2
(
α
+
3
β
)
X
+
a
α
3
β
{\displaystyle f(X)=a(X-\alpha )^{3}(X-\beta )=ax^{4}-a(3\alpha +\beta )X^{3}+3a\alpha (\alpha +\beta )X^{2}-a\alpha ^{2}(\alpha +3\beta )X+a\alpha ^{3}\beta }
donc
R
(
X
)
=
9
a
2
(
α
−
β
)
2
X
2
−
18
a
2
α
(
α
−
β
)
2
X
+
9
a
2
α
2
(
α
−
β
)
2
=
9
a
2
(
α
−
β
)
2
(
X
−
α
)
2
{\displaystyle R(X)=9a^{2}(\alpha -\beta )^{2}X^{2}-18a^{2}\alpha (\alpha -\beta )^{2}X+9a^{2}\alpha ^{2}(\alpha -\beta )^{2}=9a^{2}(\alpha -\beta )^{2}(X-\alpha )^{2}}
Propriété 3
Le « discriminant » ΔR R et le discriminant Δ' de
f
′
{\displaystyle f'}
Δ
R
=
−
3
Δ
′
{\displaystyle \Delta _{R}=-3\Delta '}
Dans cet énoncé, le « discriminant » ΔR
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle B^{2}-4AC}
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
R , qui peut être de degré < 2.
Démonstration
Δ
R
=
36
(
b
c
−
6
a
d
)
2
−
4
×
3
(
3
b
2
−
8
a
c
)
(
4
c
2
−
9
b
d
)
=
12
(
3
b
2
c
2
−
36
a
b
c
d
+
108
a
2
d
2
−
12
b
2
c
2
+
32
a
c
3
+
27
b
3
d
−
72
a
b
c
d
)
=
12
(
−
9
b
2
c
2
−
108
a
b
c
d
+
108
a
2
d
2
+
32
a
c
3
+
27
b
3
d
)
=
−
3
Δ
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{R}&=36(bc-6ad)^{2}-4\times 3(3b^{2}-8ac)(4c^{2}-9bd)\\&=12(3b^{2}c^{2}-36abcd+108a^{2}d^{2}-12b^{2}c^{2}+32ac^{3}+27b^{3}d-72abcd)\\&=12(-9b^{2}c^{2}-108abcd+108a^{2}d^{2}+32ac^{3}+27b^{3}d)\\&=-3\Delta '\end{aligned}}}
car
Δ
′
=
(
3
b
)
2
(
2
c
)
2
+
18
(
4
a
)
(
3
b
)
(
2
c
)
d
−
27
(
4
a
)
2
d
2
−
4
(
4
a
)
(
2
c
)
3
−
4
(
3
b
)
3
d
=
4
(
9
b
2
c
2
+
108
a
b
c
d
−
108
a
2
d
2
−
32
a
c
3
−
27
b
3
d
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta '&=(3b)^{2}(2c)^{2}+18(4a)(3b)(2c)d-27(4a)^{2}d^{2}-4(4a)(2c)^{3}-4(3b)^{3}d\\&=4(9b^{2}c^{2}+108abcd-108a^{2}d^{2}-32ac^{3}-27b^{3}d).\end{aligned}}}
Propriété 4
4
a
Ψ
=
3
(
b
c
−
6
a
d
)
2
+
(
36
a
e
−
c
2
)
(
3
b
2
−
8
a
c
)
{\displaystyle 4a\Psi =3(bc-6ad)^{2}+(36ae-c^{2})(3b^{2}-8ac)}
Démonstration
3
(
b
c
−
6
a
d
)
2
+
(
36
a
e
−
c
2
)
(
3
b
2
−
8
a
c
)
=
8
a
c
3
+
108
a
2
d
2
+
108
a
b
2
e
−
36
a
b
c
d
−
288
a
2
c
e
=
4
a
(
2
c
3
+
27
a
d
2
+
27
b
2
e
−
9
b
c
d
−
72
a
c
e
)
=
4
a
Ψ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}3(bc-6ad)^{2}+(36ae-c^{2})(3b^{2}-8ac)&=8ac^{3}+108a^{2}d^{2}+108ab^{2}e-36abcd-288a^{2}ce\\&=4a(2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace)\\&=4a\Psi .\end{aligned}}}
À partir de maintenant, on suppose que Ψ = 0.
Propriété 5
Si le polynôme R n'est pas de degré 2, alors il est nul.
Démonstration
Par hypothèse, A = 0 et Ψ = 0 donc bB = 4aC et 6dB = 4cC , si bien que
B
2
=
6
(
c
b
−
6
a
d
)
B
=
6
(
4
c
a
C
−
4
a
c
C
)
=
0
{\displaystyle B^{2}=6(cb-6ad)B=6(4caC-4acC)=0}
donc B = 0, et C = bB /(4a ) = 0.
Démonstration
Par hypothèse, A ≠ 0, B = 0 et Ψ = 0 donc
c
=
−
6
a
C
A
,
d
=
−
b
C
A
,
e
=
−
c
C
6
A
=
a
C
2
A
2
{\displaystyle c=-{\frac {6aC}{A}},\quad d=-{\frac {bC}{A}},\quad e=-{\frac {cC}{6A}}={\frac {aC^{2}}{A^{2}}}}
si bien que
a
d
2
=
a
b
2
C
2
A
2
=
e
b
2
{\displaystyle ad^{2}={\frac {ab^{2}C^{2}}{A^{2}}}=eb^{2}}
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
f n'a pas de racine quadruple, sinon R serait nul.
La suite
(
a
,
−
b
4
,
c
6
,
−
d
4
,
e
)
{\displaystyle \left(a,{\frac {-b}{4}},{\frac {c}{6}},{\frac {-d}{4}},e\right)}
R , donc elle est de la forme
λ
α
k
−
μ
β
k
{\displaystyle \lambda \alpha ^{k}-\mu \beta ^{k}}
β
≠
α
{\displaystyle \beta \neq \alpha }
λ
α
k
+
k
μ
α
k
−
1
{\displaystyle \lambda \alpha ^{k}+k\mu \alpha ^{k-1}}
β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha }
Dans le premier cas,
f
(
X
)
=
(
λ
−
μ
)
X
4
−
4
(
λ
α
−
μ
β
)
X
3
+
6
(
λ
α
2
−
μ
β
2
)
X
2
−
4
(
λ
α
3
−
μ
β
3
)
X
+
λ
α
4
−
μ
β
4
=
λ
(
X
−
α
)
4
−
μ
(
X
−
β
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=(\lambda -\mu )X^{4}-4(\lambda \alpha -\mu \beta )X^{3}+6(\lambda \alpha ^{2}-\mu \beta ^{2})X^{2}-4(\lambda \alpha ^{3}-\mu \beta ^{3})X+\lambda \alpha ^{4}-\mu \beta ^{4}\\&=\lambda (X-\alpha )^{4}-\mu (X-\beta )^{4}\end{aligned}}}
donc
λ
{\displaystyle \lambda }
μ
{\displaystyle \mu }
λ
−
μ
=
a
{\displaystyle \lambda -\mu =a}
λ
α
−
μ
β
=
−
b
/
4
{\displaystyle \lambda \alpha -\mu \beta =-b/4}
λ
=
b
/
4
+
a
β
β
−
α
et
μ
=
b
/
4
+
a
α
β
−
α
{\displaystyle \lambda ={\frac {b/4+a\beta }{\beta -\alpha }}\quad {\text{et}}\quad \mu ={\frac {b/4+a\alpha }{\beta -\alpha }}}
Les racines de f sont alors les solutions de
(
x
−
α
x
−
β
)
4
=
μ
λ
{\displaystyle \left({\frac {x-\alpha }{x-\beta }}\right)^{4}={\frac {\mu }{\lambda }}}
qui sont bien les racines annoncées car
μ
λ
=
b
+
4
a
α
b
+
4
a
β
{\displaystyle {\frac {\mu }{\lambda }}={\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}}
et
x
−
α
x
−
β
=
γ
⇔
x
=
α
−
β
γ
1
−
γ
{\displaystyle {\frac {x-\alpha }{x-\beta }}=\gamma \Leftrightarrow x={\frac {\alpha -\beta \gamma }{1-\gamma }}}
Dans le second cas, il suffit de vérifier que α est racine d'ordre au moins 3 de f :
f
(
X
)
=
λ
X
4
−
4
(
λ
α
+
μ
)
X
3
+
6
(
λ
α
2
+
2
μ
α
)
X
2
−
4
(
λ
α
3
+
3
μ
α
2
)
X
+
λ
α
4
+
4
μ
α
3
=
(
X
−
α
)
3
(
λ
X
−
λ
α
−
4
μ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=\lambda X^{4}-4(\lambda \alpha +\mu )X^{3}+6(\lambda \alpha ^{2}+2\mu \alpha )X^{2}-4(\lambda \alpha ^{3}+3\mu \alpha ^{2})X+\lambda \alpha ^{4}+4\mu \alpha ^{3}\\&=(X-\alpha )^{3}(\lambda X-\lambda \alpha -4\mu ).\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X)&=aX^{4}+bX^{3}+{\frac {3b^{2}}{8a}}X^{2}+{\frac {b^{3}}{16a^{2}}}X+e\\&=a\left[\left(X+{\frac {b}{4a}}\right)^{4}-\left({\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {e}{a}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2827a9a4bc5751004a8c7411275797d1a9c8f98)
