Recherche:Méthode de Sotta/Exercices/Équations de degré quelconque

Exercice 3-1

Résoudre l'équation :

${\frac {7x}{6}}=3-{\frac {4624}{2309+7\left(136x^{2}+{\frac {3625}{136x^{2}-19}}\right)}}$.

Solution

En simplifiant au maximum l'équation à résoudre et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient l'équation :

$14x^{5}-36x^{4}+32x^{3}-24x^{2}-2x-3=0$,

c'est-à-dire

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

avec :

$a=14,\quad b=-36,\quad c=32,\quad d=-24,\quad e=-2,\quad f=-3$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=AX^{2}+BX+C\\&=(4b^{2}-10ac)X^{2}+(2bc-10ad)X+c^{2}-2bd\\&=32\times 11(2X^{2}+3X-2).\end{aligned}}$

Comme R est de degré 2, les deux conditions nécessaires pour que la méthode de Sotta soit applicable sont équivalentes à :

$A{\frac {e}{5}}-B{\frac {d}{10}}+C{\frac {c}{10}}=0$

$Af-B{\frac {e}{5}}+C{\frac {d}{10}}=0$.

Vérifions-les :

$4e-3d-2c=-8+72-64=0$

$10f-3e-d=-30+6+24=0$.

Les racines de R sont :

$\alpha =-2\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {1}{2}}$.

Puisque

${\sqrt[{5}]{\frac {b+5a\alpha }{b+5a\beta }}}={\sqrt[{5}]{176}}=2{\sqrt[{5}]{\frac {11}{2}}}$,

les solutions sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}2{\sqrt[{5}]{\frac {11}{2}}}}{1-\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}2{\sqrt[{5}]{\frac {11}{2}}}}}={\frac {-2-\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {11}{2}}}}{1-2\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}{\sqrt[{5}]{\frac {11}{2}}}}}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}\operatorname {e} ^{\frac {2k\mathrm {i} \pi }{5}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}\quad {\text{avec}}\quad k\in \{0,\pm 1,\pm 2\}$.