Recherche:Méthode de Sotta/Exercices/Équations de degré quelconque

Exercice 3-1

Résoudre l'équation :

$\frac{7x}{6}=3-\frac{4624}{2309+7(136x^2+\frac{3625}{136x^2-19})}$.

Solution

En simplifiant au maximum l'équation à résoudre et en mettant tous les termes dans le premier membre, on obtient l'équation :

$14x^5-36x^4+32x^3-24x^2-2x-3=0$,

c'est-à-dire

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$

avec :

$a=14,b=-36,c=32,d=-24,e=-2,f=-3$.

La résolvante de Sotta est :

$\begin{array}{cc}R(X)& =A{X}^2+BX+C\\ & =(4b^2-10ac)X^2+(2bc-10ad)X+c^2-2bd\\ & =32\times 11(2X^2+3X-2).\end{array}$

Comme R est de degré 2, les deux conditions nécessaires pour que la méthode de Sotta soit applicable sont équivalentes à :

$A\frac{e}{5}-B\frac{d}{10}+C\frac{c}{10}=0$

$Af-B\frac{e}{5}+C\frac{d}{10}=0$.

Vérifions-les :

$4e-3d-2c=-8+72-64=0$

$10f-3e-d=-30+6+24=0$.

Les racines de R sont :

$\alpha =-2\text{et}\beta =\frac{1}{2}$.

Puisque

$\sqrt[5]{\frac{b+5a\alpha }{b+5a\beta }}=\sqrt[5]{176}=2\sqrt[5]{\frac{11}{2}}$,

les solutions sont donc :

$x_k=\frac{\alpha -\beta {\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}2\sqrt[5]{\frac{11}{2}}}{1-{\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}2\sqrt[5]{\frac{11}{2}}}=\frac{-2-{\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}\sqrt[5]{\frac{11}{2}}}{1-2{\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}\sqrt[5]{\frac{11}{2}}}=\frac{\sqrt[5]{11}{\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}+2\sqrt[5]{2}}{2\sqrt[5]{11}{\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}-\sqrt[5]{2}}\text{avec}k\in \{0,\pm 1,\pm 2\}$.