Leçons de niveau 16

Recherche:Méthode de Sotta/Exercices/Applications à la trigonométrie

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Applications à la trigonométrie
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Exercices no4
Recherche : Méthode de Sotta
Chapitre du cours : Changement de variable homographique en degré 3

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Équations de degré quelconque
Exo suiv. :Sommaire
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Méthode de Sotta/Exercices/Applications à la trigonométrie
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre l'équation :

en exprimant les racines comme fonctions homographiques de fonctions de la forme cosinus.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Sachant (d'après l'exercice 7 du chapitre 1, ou plus simplement, d'après l'exercice 8-3 de la leçon sur les équations de degré 3) que

sont les trois racines du polynôme :

,

montrer que le triplet

est envoyé (dans cet ordre) :

  • sur par  ;
  • sur par  ;
  • sur par .

Montrer également que les trois nombres

, et

sont algébriques de degré 3, de même polynôme minimal, que l'on déterminera.

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la formule du cosinus de l'angle double en fonction de la tangente, trouver trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Sachant (d'après le chapitre 8 de la leçon sur les équations de degré 3) que pour ,

est solution de ,

déduire de l'exercice précédent trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

.

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Sachant (d'après l'exercice 8-5 de la leçon sur les équations de degré 3) que pour ,

,

déduire de l'exercice précédent trois homographies à coefficients rationnels qui envoient

.