Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation

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Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
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Chapitre no 9
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Pendule pesant
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.

Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation[modifier | modifier le wikicode]

Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie cinétique «» du système discret (fermé) de points matériels « avec » [1] dans le référentiel est définie, à l'instant , comme la somme de l'énergie cinétique «» de chaque point matériel du système dans au même instant soit

«» [2].

Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels « avec » [1] dans le référentiel se réécrit, à l'instant , selon

«» [2] dans laquelle
est le vecteur quantité de mouvement du point dans à l'instant et
le vecteur vitesse de dans le même référentiel au même instant .

En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels « avec » [1] dans le référentiel se réécrit, à l'instant , s’écrit, en cinétique relativiste,

«» [2] avec
« le facteur de Lorentz [3] du point de vecteur vitesse dans à l'instant »
ou encore «» [2],
le 1er terme «» définissant l'énergie totale du point matériel dans à l'instant »
et le 2nd au signe près «» l'énergie de masse du point [4].

     Remarque : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels « avec » [1] dans le référentiel , à l'instant , par

«» et

     Remarque : En définissant l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels [5] par

«»,

     Remarque : l'énergie cinétique relativiste du système dans , à l'instant , peut se réécrire selon «».

Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière[modifier | modifier le wikicode]

     En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle , notée «», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle [6] «» [6] soit encore «» [6], ce qui revient à une intégrale volumique définie selon

«» [7],

            En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique , notée «», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique [8] «» [8] soit encore «» [8], ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon

«» [9] et

            En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique , notée «», est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique [10] «» [10] soit encore «» [10], ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon

«» [11].

Cas d'un système en translation[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique et il est nécessairement fermé ;
     Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

     Considérant le système discret de points matériels « avec » [1] en translation dans le référentiel de vecteur vitesse, à l'instant , égal à celui de son C.D.I. [12] soit «» tous les points ont le même vecteur vitesse à l'instant soit , l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans étant définie selon soit, en factorisant par «» puis en reconnaissant dans l'autre facteur «» la masse du système «»,

l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans se réécrit, à l'instant , selon
«» [13] soit encore
l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. [12] du système » dans à l'instant  ;

     sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «», on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels « avec » [1] en translation dans le référentiel de vecteur vitesse, à l'instant , «» selon

«» [13] ;

     une 3ème expression très peu utilisée peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I. [12] et de la résultante cinétique newtonienne [14], on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels « avec » [1] en translation dans le référentiel de vecteur vitesse, à l'instant , «» peut se réécrire selon

«» [13].

     Complément : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I. [12] du système » dans à l'instant , expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels « avec » [1] en translation dans le référentiel de vecteur vitesse, à l'instant , «» selon

«» [13] avec
«» le facteur de Lorentz [3] du système en translation et de son C.D.I. [12],

     Complément : ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon

«» [13],
le 1er terme «» définissant l'énergie totale du système en translation et
le 2nd «» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points [5] «».

Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu[modifier | modifier le wikicode]

Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu[modifier | modifier le wikicode]

     Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel «» dans le cadre de la cinétique newtonienne étant «» et le vecteur vitesse de en mouvement circulaire de centre et de vecteur rotation instantanée s’écrivant selon «», en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de précédemment rappelée, on en déduit « » ou, par permutation circulaire du produit mixte [15] de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point par rapport à « » soit finalement

«

     ou encore, avec et dans lesquelles est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation, étant la vitesse angulaire de rotation du point autour de et le moment cinétique scalaire relativement à de , l’énergie cinétique newtonienne du point matériel «» en rotation autour de à la vitesse angulaire à l'instant se réécrit selon l'expression suivante laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après

«» ;

     définissant le moment d’inertie de relativement à l’axe par «» dans laquelle est le rayon de la trajectoire circulaire de , on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier et sa vitesse angulaire , le lien suivant «» [16] dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe la 1ère étant utilisée plus fréquemment que la 2nde

«» et «».

Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante

     ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«» soit
pour un « mouvement quelconque » «» et
pour un « mouvement circulaire de centre » «» ;

     ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«» soit
pour un « mouvement quelconque » «» et
pour un « mouvement circulaire d'axe » «» écrite préférentiellement
avec la vitesse angulaire selon «» ;

     ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«» soit
pour un « mouvement quelconque » «» et
pour un « mouvement circulaire de centre et d'axe » «» écrite préférentiellement
avec le moment cinétique scalaire selon «».

Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer [17] et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique et il est nécessairement fermé, c'est pratiquement le seul cas envisageable ;
     Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

     L’énergie cinétique du système discret de points matériels « avec » [1] étant définie selon «» [2], elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe , de vitesse angulaire instantanée «», selon «» ou, en factorisant par «» et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe c'est-à-dire «» avec « distance orthogonale entre et »,

«» [13] forme la plus utilisée [18] ;

     à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe «» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «» à savoir «» [19] on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe selon

«» [13] forme moyennement utilisée [20] ;

     en éliminant le moment d'inertie [14] par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe «» et la vitesse angulaire instantanée de ce système «» à savoir «» [19], on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe selon

«» [13] forme la moins utilisée.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 et 1,8 A priori pourrait être égal à mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 et 2,4 Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.
  3. 3,0 et 3,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  4. L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.
  5. 5,0 et 5,1 En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « défaut de masse »
  6. 6,0 6,1 et 6,2 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , sa masse est donc «», son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel étant , son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel est «» le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , notée , son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement à un point origine , est «» le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine en à l'instant dans , notée et son énergie cinétique au même instant dans le même référentiel , « » le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en à l'instant dans , notée .
  7. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. 8,0 8,1 et 8,2 Un pseudo-point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , sa masse est donc «», son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel étant , son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel est «» le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , notée , son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine , est «» le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine en à l'instant dans , notée et son énergie cinétique au même instant dans le même référentiel , « » le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en à l'instant dans , notée .
  9. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Un pseudo-point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , sa masse est donc «», son vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel étant , son vecteur quantité de mouvement au même instant dans le même référentiel est «» le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , notée , son vecteur moment cinétique au même instant dans le même référentiel , relativement au point origine , est «» le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine en à l'instant dans , notée et son énergie cinétique au même instant dans le même référentiel , « » le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en à l'instant dans , notée .
  11. Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. 12,0 12,1 12,2 12,3 et 12,4 Centre D'Inertie.
  13. 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 et 13,7 Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.
  14. 14,0 et 14,1 C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.
  15. Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.
  16. Voir le paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  17. Par exemple, en se dilatant, c'est-à-dire que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure »
       Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c'est-à-dire que, pour deux points tels que la droite recoupe l'axe perpendiculairement en , les points ayant donc même abscisse angulaire on ait donc indépendant de pour tout instant et pour tout couple dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement
  18. À connaître sans hésitation.
  19. 19,0 et 19,1 Voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  20. À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».