Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation

**Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation**
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)

Chapitre n^o 9
Chap. préc. :	Loi du moment cinétique : Pendule pesant
Chap. suiv. :	Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.

Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation

Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

L'énergie cinétique « $\;K(t)\;$ » du système discret (fermé) de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie, à l'instant $\;t$ , comme la somme de l'énergie cinétique « $\;K_{M_{i}}(t)\;$ » de chaque point matériel du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ au même instant $\;t\;$ soit

«

\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K_{M_{i}}(t)\;

»^[2].

Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret (fermé) de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$ , selon

«

\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}}{2\;m_{i}}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;

»^[2] dans laquelle

\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;

est le vecteur quantité de mouvement du point

\;M_{i}\;

dans

\;{\mathcal {R}}\;

à l'instant

\;t\;

et

\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;

le vecteur vitesse de

\;M_{i}\;

dans le même référentiel

\;{\mathcal {R}}\;

au même instant

\;t

.

En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels

L’expression de l’énergie cinétique d’un système discret (fermé) de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ se réécrit, à l'instant $\;t$ , s’écrit, en cinétique relativiste,

«

\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left[\gamma _{M_{i}}(t)-1\right]m_{i}\;c^{2}\;

»^[2] avec
«

\;\gamma _{M_{i}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}}{c^{2}}}}}}\;

le facteur de Lorentz^[3] du point

\;M_{i}\;

de vecteur vitesse

\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;

dans

\;{\mathcal {R}}\;

à l'instant

\;t\;

»
ou encore «

\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}\left\lbrace {\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}-m_{i}\;c^{2}\right\rbrace \;

»^[2],
le 1^er terme «

\;{\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}\;

» définissant l'énergie totale

\;E_{M_{i}}(t)\;

du point matériel

\;M_{i}\;

dans

\;{\mathcal {R}}\;

à l'instant

\;t\;

»
et le 2^nd

\;{\big (}

au signe près

{\big )}\;

«

\;m_{i}\;c^{2}\;

» l'énergie de masse

\;E_{M_{i}}^{\,0}\;

du point

\;M_{i}\;

^[4].

Remarque : En définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , à l'instant $\;t$ , par

«

\;E(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\sqrt {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}\;c^{2}+m_{i}^{2}\;c^{4}}}\;

» et

Remarque : En définissant l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels^[5] par

«

\;E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}E_{M_{i}}^{\,0}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;c^{2}\;

»,

Remarque : l'énergie cinétique relativiste du système dans $\;{\mathcal {R}}$ , à l'instant $\;t$ , peut se réécrire selon « $\;K(t)=E(t)-E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}\;$ ».

Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière

En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ , notée « $\;K_{\left({\mathcal {V}}\right)}(t)\;$ », est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ ^[6] « $\;dK_{M}(t)=K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ »^[6] soit encore « $\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ »^[6], ce qui revient à une intégrale volumique définie selon

«

\;K_{\left({\mathcal {V}}\right)}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}dK_{M}(t)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d{\mathcal {V}}_{M}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {V}}}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;

»^[7],

En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique $\;\left(S\right)$ , notée « $\;K_{\left(S\right)}(t)\;$ », est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ ^[8] « $\;dK_{M}(t)=K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}\;dS_{M}\;$ »^[8] soit encore « $\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,dS_{M}\;$ »^[8], ce qui revient à une intégrale surfacique définie selon

«

\;K_{\left(S\right)}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}dK_{M}(t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,S}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,dS_{M}\;

»^[9] et

En cinétique newtonienne, l'énergie celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)$ , notée « $\;K_{\left(\Gamma \right)}(t)\;$ », est définie en ajoutant les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ ^[10] « $\;dK_{M}(t)=K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ »^[10] soit encore « $\;dK_{M}(t)=\left[{\dfrac {1}{2}}\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$ »^[10], ce qui revient à une intégrale curviligne définie selon

«

\;K_{\left(\Gamma \right)}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }dK_{M}(t)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d{\mathit {l}}_{M}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\Gamma }\left[{\dfrac {1}{2}}\;\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}^{2}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;

»^[11].

Cas d'un système en translation

Préliminaire : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique $\;{\big (}$ et il est nécessairement fermé ${\big )}$ ;
Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

Considérant le système discret de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$ , égal à celui de son C.D.I^[12]. $\;G\;$ soit « $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ » $\;{\big \{}$ tous les points $\;M_{i}\;$ ont le même vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ soit $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \,i\,\in \,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]{\big \}}$ , l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans $\;{\mathcal {R}}\;$ étant définie selon $\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right]^{2}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}\;$ soit, en factorisant par « $\;{\dfrac {\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}}{2}}\;$ » puis en reconnaissant dans l'autre facteur « $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;$ » la masse du système « $\;m_{\text{syst. en transl.}}\;$ »,

l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret de points matériels en translation dans

\;{\mathcal {R}}\;

se réécrit, à l'instant

\;t

, selon
«

K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst. en transl.}}\left[{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]^{2}

»^[13] soit encore
l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I^[12]. du système

\;G\;\left(m_{\text{syst. en transl.}}\right)\;

» dans

\;{\mathcal {R}}\;

à l'instant

\;t

;

sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, « $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ », on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$ , « $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ » selon

«

\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]^{2}}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}}\;

»^[13] ;

une 3^ème expression $\;{\big (}$ très peu utilisée ${\big )}\;$ peut être établie en éliminant la masse du système au profit de la vitesse du C.D.I^[12]. et de la résultante cinétique newtonienne^[14], on en déduit que l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$ , « $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ » peut se réécrire selon

«

\;K_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;

»^[13].

Complément : On peut trouver les expressions correspondantes en « cinétique relativiste » en généralisant les expressions d'énergie cinétique obtenue pour un point matériel, compte-tenu du fait que l'énergie cinétique d'un système en translation est aussi l'énergie cinétique du point fictif « C.D.I^[12]. du système $\;G\;\left(m_{\text{syst. en transl.}}\right)\;$ » dans $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t$ , expression obtenue en cinétique newtonienne et restant applicable en cinétique relativiste, on obtient ainsi l'énergie cinétique relativiste du système discret de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$ , « $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ » selon

«

\;K_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)=\left[\gamma _{G}(t)-1\right]\,m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}=\left[\gamma _{\text{syst. en transl.}}(t)-1\right]\,m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;

»^[13] avec
«

\;\gamma _{\text{syst. en transl.}}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}=\gamma _{G}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{c^{2}}}}}}\;

» le facteur de Lorentz^[3] du système en translation

\;{\big (}

et de son C.D.I^[12].

{\big )}

,

Complément : ou encore, en éliminant la vitesse du système en translation au profit de sa résultante cinétique relativiste et de sa masse, selon

«

\;K_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)={\sqrt {{\vec {P}}_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}^{\,2}\;c^{2}+m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^{4}}}-m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;

»^[13],
le 1^er terme «

\;{\sqrt {{\vec {P}}_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}^{\,2}\;c^{2}+m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^{4}}}\;

» définissant l'énergie totale du système en translation

\;E_{{\text{syst. en transl.}},\,{\text{relativ}}}(t)\;

et
le 2^nd «

\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^{2}\;

» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points^[5] «

\;E_{{\text{sans }}e_{p}\,{\text{entre }}M_{i}}^{\,0}\;

».

Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu

Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu

Une définition de l’énergie cinétique d’un point matériel « $\;M,\left(m\right)\;$ » dans le cadre de la cinétique newtonienne étant « $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}\;$ » et le vecteur vitesse de $\;M\;$ en mouvement circulaire de centre $\;C\;$ et de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ s’écrivant selon « $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;$ », en remplaçant un seul vecteur vitesse par l’expression de $\;K_{M}(t)\;$ précédemment rappelée, on en déduit « $\;K_{M}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;$ » ou, par permutation circulaire du produit mixte^[15] de façon à faire apparaître le vecteur moment cinétique du point $\;M\;$ par rapport à $\;C\;$ « $\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\;$ » soit finalement

«

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;

ou encore, avec $\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et $\;{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)=\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ dans lesquelles $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ est le vecteur unitaire orientant l'axe $\;\Delta \;$ de rotation, $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du point $\;M\;$ autour de $\;\Delta \;$ et $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$ le moment cinétique scalaire relativement à $\;\Delta \;$ de $\;M$ , l’énergie cinétique newtonienne du point matériel « $\;M,\left(m\right)\;$ » en rotation autour de $\;\Delta \;$ à la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ se réécrit selon l'expression suivante $\;{\big (}$ laquelle est la moins utilisée des trois expressions entre grandeurs scalaires établies ici et ci-après ${\big )}\;$

«

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\overline {\Omega }}(t)\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;

» ;

définissant le moment d’inertie de $\;M\;$ relativement à l’axe $\;\Delta \;$ par « $\;J_{\Delta }(M)=m\;R^{2}\;$ » dans laquelle $\;R\;$ est le rayon de la trajectoire circulaire de $\;M$ , on a établi, entre le moment cinétique scalaire newtonien de ce dernier $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;$ et sa vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)$ , le lien suivant « $\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)=J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ »^[16] dont on déduit les deux expressions importantes de l’énergie cinétique newtonienne du point matériel en rotation autour d’un axe $\;\Delta$ $\;{\big (}$ la 1^ère étant utilisée plus fréquemment que la 2^nde ${\big )}$

«

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;

» et «

\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;

».

Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire

Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante

\;{\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;{\text{analogie formelle}}&{\text{grandeur cinétique vectorielle}}&{\text{grandeur cinématique vectorielle}}&{\text{grandeur d'inertie}}\;\\{\text{mouvement quelconque}}&{\text{vecteur quantité de mouvement «}}\;{\vec {p}}_{M}(t)\;{\text{»}}&{\text{vecteur vitesse «}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;{\text{»}}&{\text{masse «}}\;m\;{\text{»}}\\\updownarrow &\updownarrow &\updownarrow &\updownarrow \\{\text{mouvement circulaire}}&{\text{moment cinétique vectoriel «}}\;{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\;{\text{»}}&{\text{vecteur rotation instantanée «}}\;{\vec {\Omega }}(t)\;{\text{»}}&{\text{moment d'inertie «}}\;J_{\Delta }(M)\;{\text{»}}\\\hline \end{array}}\;

ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«

\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {{\overrightarrow {\text{grandeur cinétique}}}\cdot {\overrightarrow {\text{grandeur cinématique}}}}{2}}\;

» soit
pour un « mouvement quelconque » «

\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)}{2}}\;

» et
pour un « mouvement circulaire de centre

\;C\;

» «

\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;

» ;

ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«

\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {1}{2}}\times {\text{grandeur d'inertie}}\times \left[{\overrightarrow {\text{grandeur cinématique}}}\right]^{2}\;

» soit
pour un « mouvement quelconque » «

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}\;

» et
pour un « mouvement circulaire d'axe

\;\Delta \;

» «

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\,\left[{\vec {\Omega }}(t)\right]^{2}\;

»

\;{\bigg [}

écrite préférentiellement
avec la vitesse angulaire

\;{\overline {\Omega }}(t)\;

selon «

\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M)\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;

»

{\bigg ]}

;

ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à

«

\;{\text{énergie cinétique}}={\dfrac {\left[{\overrightarrow {\text{grandeur cinétique}}}\right]^{2}}{2\times {\text{grandeur d'inertie}}}}\;

» soit
pour un « mouvement quelconque » «

\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;m}}\;

» et
pour un « mouvement circulaire de centre

\;C\;

et d'axe

\;\Delta \;

» «

\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[{\vec {\sigma }}_{C}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;

»

\;{\bigg [}

écrite préférentiellement
avec le moment cinétique scalaire

\;\sigma _{\Delta }(M,\,t)\;

selon «

\;K_{M}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }(M,\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }(M)}}\;

»

{\bigg ]}

.

Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu

Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer^[17] et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique $\;{\big (}$ et il est nécessairement fermé ${\big )}$ , c'est pratiquement le seul cas envisageable ;
Préliminaire : l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière.

L’énergie cinétique du système discret de points matériels « $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,N}\;$ avec $\;N\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$ »^[1] étant définie selon « $\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}K_{M_{i}}(t)\;$ »^[2], elle se réécrit, dans le cadre de la cinétique newtonienne, quand le système est en rotation autour d’un axe fixe $\;\Delta$ , de vitesse angulaire instantanée « $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ », selon « $\;K(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }(M_{i})\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$ » ou, en factorisant par « $\;{\dfrac {1}{2}}\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$ » et, en reconnaissant, dans le facteur restant, le moment d’inertie du système relativement à l’axe $\;\Delta \;$ c'est-à-dire « $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;r_{i}^{2}=J_{\Delta }\;$ » avec « $\;r_{i}\;$ distance orthogonale entre $\;M_{i}\;$ et $\;\Delta \;$ »,

«

\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;

»^[13]

\;{\big (}

forme la plus utilisée^[18]

{\big )}

;

à l'aide du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système discret de points matériels en rotation autour d’un axe fixe $\;\Delta \;$ « $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;$ » et la vitesse angulaire instantanée de ce système « $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ » à savoir « $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ »^[19] on peut, en éliminant la vitesse angulaire instantanée, réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ selon

«

\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {\left[\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\right]^{2}}{2\;J_{\Delta }}}\;

»^[13]

\;{\big (}

forme moyennement utilisée^[20]

{\big )}

;

en éliminant le moment d'inertie^[14] par utilisation du lien entre moment cinétique scalaire newtonien du système en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ « $\;\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;$ » et la vitesse angulaire instantanée de ce système « $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ » à savoir « $\;J_{\Delta }={\dfrac {\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)}{{\overline {\Omega }}(t)}}\;$ »^[19], on peut réécrire l'énergie cinétique newtonienne du système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe $\;\Delta \;$ selon

«

\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)={\dfrac {\sigma _{\Delta }({\text{syst. en rotat.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)}{2}}\;

»^[13]

\;{\big (}

forme la moins utilisée

{\big )}

.

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 et ^1,8 A priori $\;N\;$ pourrait être égal à $\;1\;$ mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 et ^2,4 Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.
↑ ^3,0 et ^3,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $\;{\big [}$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier ${\big ]}$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
   Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $\;{\big [}$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886{\big ]}$ .
   Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\;\ldots$
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.
↑ ^5,0 et ^5,1 En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « défaut de masse » $\;\ldots$
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$ , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement à un point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{volum}}(M,\,t)$ $={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}{\Bigg \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^8,0 ^8,1 et ^8,2 Un pseudo-point d'une expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(S\right)$ , d'aire $\;dS_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dS_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement au point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dS_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{surfac}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}\;dS_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)$ $={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}{\Bigg \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^10,0 ^10,1 et ^10,2 Un pseudo-point d'une expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(\Gamma \right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement au point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{lin}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{lin}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}{\Bigg \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 Centre D'Inertie.
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 ^13,5 ^13,6 et ^13,7 Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.
↑ ^14,0 et ^14,1 C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.
↑ Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.
↑ Voir le paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
↑ Par exemple, en se dilatant, c'est-à-dire que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe $\;{\big (}$ la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre ${\big )}\;$ mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » $\;\ldots$
Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant $\;t\;$ pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c'est-à-dire que, pour deux points $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ tels que la droite $\;M_{i}M_{j}\;$ recoupe l'axe $\;\Delta \;$ perpendiculairement en $\;H_{i,\,j}$ , $\;{\big [}$ les points $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ ayant donc même abscisse angulaire $\;\theta _{i,\,j}(t){\big ]}\;$ on ait $\;{\dot {\theta }}_{i,\,j}(t)={\overline {\Omega }}(t)$ $\;{\big [}$ donc indépendant de $\;\left(i\,,\,j\right){\big ]}\;$ pour tout instant $\;t\;$ et pour tout couple $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement $\;\ldots$
↑ À connaître sans hésitation.
↑ ^19,0 et ^19,1 Voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
↑ À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».

Mécanique 2 (PCSI)

Loi du moment cinétique : Pendule pesant

Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

[N_différent_de_1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 ^1,7 et ^1,8 A priori $\;N\;$ pourrait être égal à $\;1\;$ mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.

[extension_à_un_système_ouvert-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 et ^2,4 Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.

[Lorentz-3] 3,0 et ^3,1 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $\;{\big [}$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier ${\big ]}$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ;
Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $\;{\big [}$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886{\big ]}$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\;\ldots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[énergie_de_masse-4] L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique u point et indépendante du référentiel.

[précision_sur_l'énergie_de_masse_d'un_système-5] 5,0 et ^5,1 En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « défaut de masse » $\;\ldots$

[pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$ , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement à un point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{volum}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\mu (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{volum}}(M,\,t)$ $={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{volum}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\mu (M)}}{\Bigg \}}$ .

[intégrale_volumique-7] Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[pseudo-point_d'une_expansion_surfacique-8] 8,0 ^8,1 et ^8,2 Un pseudo-point d'une expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(S\right)$ , d'aire $\;dS_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dS_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement au point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,dS_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{surfac}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\sigma (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}\;dS_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{surfac}}(M,\,t)$ $={\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{surfac}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\sigma (M)}}{\Bigg \}}$ .

[intégrale_surfacique-9] Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[pseudo-point_d'une_expansion_linéique-10] 10,0 ^10,1 et ^10,2 Un pseudo-point d'une expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(\Gamma \right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}$ , sa masse est donc « $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ », son vecteur vitesse à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ , son vecteur quantité de mouvement au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ est « $\;d{\vec {p}}_{M}(t)=dm\;{\vec {V}}_{M}(t)=\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t){\Big ]}$ , son vecteur moment cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , relativement au point origine $\;A$ , est « $\;d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge d{\vec {p}}_{M}(t)=\left[{\overrightarrow {AM}}(t)\wedge \lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\,d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Big [}$ le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine $\;A\;$ en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A,\,{\text{lin}}}(M,\,t)={\overrightarrow {AM}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t){\Big ]}\;$ et son énergie cinétique au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$ , « $\;dK_{M}(t)=$ ${\dfrac {\left[d{\vec {p}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;dm}}={\dfrac {\left[\lambda (M)\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ » $\;{\Bigg \{}$ le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ , notée $\;K_{\text{lin}}(M,\,t)=$ ${\dfrac {\left[{\vec {P}}_{\text{lin}}(M,\,t)\right]^{2}}{2\;\lambda (M)}}{\Bigg \}}$ .

[intégrale_curviligne-11] Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[C.D.I.-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 Centre D'Inertie.

[valable_pour_système_continu_de_matière-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 ^13,3 ^13,4 ^13,5 ^13,6 et ^13,7 Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.

[peu_intéressant-14] 14,0 et ^14,1 C'est peu intéressant car on élimine une constante au profit de deux grandeurs dépendant du temps.

[propriété_du_produit_mixte-15] Voir le paragraphe « propriétés (du produit mixte) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.

[lien_entre_moment_cinétique_scalaire_et_vitesse_angulaire_pour_un_point_en_rotation-16] Voir le paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap. $1$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[17] Par exemple, en se dilatant, c'est-à-dire que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe $\;{\big (}$ la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre ${\big )}\;$ mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » $\;\ldots$
Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant $\;t\;$ pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c'est-à-dire que, pour deux points $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ tels que la droite $\;M_{i}M_{j}\;$ recoupe l'axe $\;\Delta \;$ perpendiculairement en $\;H_{i,\,j}$ , $\;{\big [}$ les points $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ ayant donc même abscisse angulaire $\;\theta _{i,\,j}(t){\big ]}\;$ on ait $\;{\dot {\theta }}_{i,\,j}(t)={\overline {\Omega }}(t)$ $\;{\big [}$ donc indépendant de $\;\left(i\,,\,j\right){\big ]}\;$ pour tout instant $\;t\;$ et pour tout couple $\;\left(M_{i}\,,\,M_{j}\right)\;$ dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement $\;\ldots$

[18] À connaître sans hésitation.

[lien_entre_moment_cinétique_scalaire_et_vitesse_angulaire_pour_un_système_en_rotation-19] 19,0 et ^19,1 Voir le paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».

[20] À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».

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