Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers

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Sommaire

Système de points matériels déformable ou non, fermé ou ouvert, centre d'inertie d'un système fermé de points matériels, cas particulier d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérerons que tout système d'expansion tridimensionnelle finie peut être modélisé, à l'échelle non microscopique [1], par un système discret de points matériels dans la mesure où le nombre d'atomes le constituant est dénombrable [2] et
......Nous considérerons qu'il est possible de modéliser, à l'échelle non microscopique [1], chaque atome par un point matériel.

Sauf avis contraire, le système de points matériels envisagé sera discret [3].

Définition d'un système (discret) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Un système (discret) de points matériel est donc un ensemble discret de « points matériels » [4], le qualificatif « discret » assurant le caractère « fini » du nombre de points matériels [5] ;

......un objet macroscopique [6] peut être considéré comme une juxtaposition d'un grand nombre d'objets mésoscopiques [6], chacun d'entre eux étant modélisé par un point matériel, ce sera la modélisation utilisée par la suite (sauf avis contraire [7]).

Système (discret) déformable ou non de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Un système (discret) de points matériels est dit « déformable » si la distance entre deux points matériels quelconques peut varier [8] et

......Un système (discret) de points matériels est dit « indéformable » si la distance avec .

......Remarque, modélisation en système continu de matière : comme nous l'avons précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière [7], dans ce cas un système continu de matière sera dit « indéformable » si le volume de son expansion tridimensionnelle est constant d'une part et si la masse volumique du milieu au point générique ne dépend pas de l'instant où on considère le système continu de matière.

Système (discret) fermé ou ouvert de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : dans ce qui suit, au lieu de considérer un système (discret) de points matériels à nombre fixé, nous envisageons le système (discret) de points matériels situé à l'intérieur d'une surface fermée appelée surface de contrôle, celle-ci étant usuellement considérée comme fixe dans l'espace affine euclidien d'étude.

......Un système (discret) de points matériels limité par la surface de contrôle est dit « fermé » s'il reste constitué des mêmes points à tout instant d'observation du système à l'intérieur de [dans ce cas le nombre de points matériels du système ne varie pas] et

.......Un système (discret) de points matériels limité par la surface de contrôle ~(Σ)~ est dit « ouvert » si le contenu du système à l'intérieur de peut dépendre de l'instant d'observation du système [dans ce cas le nombre de points matériels du système ouvert limité par peut varier [9],

  • il augmentera si le nombre de points matériels entrant dans est supérieur au nombre de points matériels en sortant [10],
  • il diminuera si au contraire le nombre de points matériels sortant de est supérieur au nombre de points matériels y entrant [11] et enfin
  • il restera constant si le nombre de points matériels entrant dans est égal au nombre de points matériels en sortant, on parle alors d'« écoulement stationnaire » du système ouvert à travers [12]].

......Remarque, modélisation en système continu de matière, suite : comme il a été dit précédemment il est possible de modéliser un système de points matériels en système continu de matière [7], dans ce cas un système continu de matière sera qualifié de « fermé ou ouvert » relativement à la surface fixe de contrôle à l'intérieur de laquelle il est limité, selon la même définition à savoir

  • « fermé » si aucune quantité de matière n'est échangée avec l'extérieur dans ce cas la masse du système reste constante égale à avec et
  • « ouvert » s'il y a échange de quantité de matière avec l'extérieur par l'intermédiaire d'un ou deux trous dans la surface de contrôle dans ce cas la masse du système peut varier car la masse volumique au point générique du système ouvert dépend du temps selon avec .

Centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......On appelle « centre d'inertie » d'un système (discret) fermé [13] de points matériels [14], le barycentre de ce système de points pondérés par leur masse [15] soit

.

......Propriété : choisissant un point de l'espace affine euclidien tridimensionnel dans lequel baigne le système (discret) fermé [14] comme origine (non nécessairement fixe) pour repérer les points [16], on peut écrire la relation

[17] ou avec la masse du système de points [18].

......Remarque, modélisation en système continu de matière, fin : comme il a été dit précédemment il est possible de modéliser un système « fermé » de points matériels en système continu « fermé » de matière [7], le système étant défini relativement à la surface fixe de contrôle à l'intérieur de laquelle il est limité, et
......Remarque son centre d'inertie défini selon

[19] avec ,

......Remarque est repérable par rapport à un point non nécessairement fixe [16]) de l'espace affine euclidien à trois dimensions dans lequel baigne le système continu fermé, selon la relation

[20] ou avec la masse du système de points [18].

Cas particulier d'un solide dans le cadre des systèmes (discrets) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Un solide (au sens de la mécanique) est un système de points matériels « fermé et indéformable » [21].

Solide en translation, définition, propriété du mouvement d'un point quelconque, exemples de translation rectiligne et de translation circulaire[modifier | modifier le wikicode]

......L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes (discrets) « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels [22].

Définition d'un solide en translation[modifier | modifier le wikicode]

......Le solide [14] est « en translation » si tout bipoint non nul [23] du solide [24] se déplace (dans le référentiel d'étude) parallèlement à lui-même.

Propriété du mouvement d'un point quelconque d'un solide en translation[modifier | modifier le wikicode]

......Soient et deux points quelconques distincts du solide en translation, le bipoint [23] se déplaçant parallèlement à lui-même, sa dérivée temporelle est identiquement nulle soit ou, avec point fixe du référentiel d'étude, en utilisant la relation de Chasles [25] et la propriété « dérivée d'une différence égale à la différence des dérivées », soit, par définition du vecteur vitesse des points et , la propriété suivante

avec
c'est-à-dire tous les points du solide en translation ont même vecteur vitesse
définissant le vecteur vitesse du solide en translation à l'instant .

......Montrons maintenant que le vecteur vitesse du solide en translation est aussi le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [27] de ce dernier et pour cela considérons un point quelconque du solide en translation et son C.D.I. ; le bipoint [23] se déplaçant parallèlement à lui-même, sa dérivée temporelle est identiquement nulle soit ou, avec point fixe du référentiel d’étude, en utilisant la relation de Chasles [25] et la propriété « dérivée d'une différence égale à la différence des dérivées », soit, par définition du vecteur vitesse du point et de celui de , la propriété suivante

[28] établissant que
le vecteur vitesse du solide en translation est aussi celui de son C.D.I. .

Exemples de translation[modifier | modifier le wikicode]

Translation rectiligne[modifier | modifier le wikicode]

......La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation rectiligne est une droite, les trajectoires des différents points étant confondues ou parallèles, on définit le plus souvent le mouvement de translation rectiligne du solide par le mouvement de son C.D.I.  ;

......un cas particulier est une translation rectiligne uniforme si le vecteur vitesse du solide en translation reste constant …

Schéma représentant différentes positions d'un point quelconque Mi et du C.D.I. G d'un solide (cubique représenté en bleu) en translation circulaire

Translation circulaire[modifier | modifier le wikicode]

......La trajectoire d'un point quelconque du solide en translation circulaire est un cercle, les trajectoires des différents points étant de « même rayon » [29] mais de « centre différent » [30], le mouvement des différents points sur leur trajectoire respective étant de « même vecteur rotation instantanée  » [donc de « même vitesse angulaire , on définit le plus souvent le mouvement de translation circulaire du solide par le mouvement de son C.D.I. de « vecteur rotation instantanée  » sur sa trajectoire c'est-à-dire le cercle de centre et de rayon , d'où

[31] et [31] ;

......un cas particulier est une translation circulaire uniforme si le vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide en translation circulaire [32] reste constant …

Autres translations[modifier | modifier le wikicode]

......Il y a autant de translations possibles qu'il y a de courbes planes ou gauches, par exemple un ballon ne tournant pas sur lui-même et qui subit une chute libre avec vitesse initiale est en translation parabolique …

Solide en rotation autour d'un axe fixe, définition, propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque, expression de la vitesse instantanée en fonction de la vitesse angulaire et de la distance à l'axe[modifier | modifier le wikicode]

......L'exposé ci-dessous est fait dans le cadre des systèmes (discrets) « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels [22].

Définition d'un solide en rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

......Le solide [14] est « en rotation autour d'un axe fixe (Δ) » si tout point se déplace (dans le référentiel d'étude) sur un cercle d'axe fixe (Δ).

Propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation atour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant deux points quelconques et avec dans un même plan perpendiculaire à l'axe , ils ont nécessairement « même centre de rotation » [33] et le solide ne se déformant pas l'angle doit rester constant soit ou, en notant un point fixe du référentiel dans le plan des deux trajectoires circulaires et en définissant les abscisses angulaires de chaque point et par et , la nullité de la dérivée temporelle de l'angle se réécrit, par utilisation d'une relation de Chasles [25] pour les angles d'un même plan, ou encore soit par définition de la vitesse angulaire des points et , la propriété suivante

avec et quelconques [34] de même projeté orthogonal sur l'axe
c'est-à-dire tous les points du solide en rotation dans un même plan à l'axe fixe autour de ce dernier ont même vitesse angulaire ;

......considérant maintenant deux points quelconques et distincts dans un même plan contenant l'axe , l'absence de déformation entraîne que ces deux points restent [lors de la rotation autour de l'axe dans le même plan contenant c'est-à-dire. qu'en appelant la vitesse angulaire de rotation de ce plan c'est aussi la vitesse angulaire commune des deux points d'où la propriété suivante

avec et quelconques dans un même plan contenant l'axe fixe ,
la valeur commune définissant la vitesse angulaire du plan (Π) contenant l'axe autour duquel il tourne ;

......par transitivité de la propriété « même vitesse angulaire » nous en déduisons que

deux points quelconques du solide en rotation autour de l'axe (Δ) [35], ont même vitesse angulaire à un instant fixé.

......En conclusion, le mouvement de rotation du solide autour de l'axe fixe est caractérisé par

[36] définissant le vecteur rotation instantanée du solide à l'instant .

Expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

......Avec un point fixe de l'axe de rotation et le vecteur rotation instantanée du solide [14] autour de l'axe fixe , les expressions intrinsèques du vecteur vitesse et du vecteur accélération de , point quelconque du solide [14] s'écrivent respectivement

  • pour le vecteur vitesse de selon et
  • pour le vecteur accélération de selon est le projeté orthogonal de sur l'axe de rotation [37].

Expression de la vitesse instantanée d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe en fonction de la vitesse angulaire du solide et de la distance orthogonale du point à l'axe[modifier | modifier le wikicode]

......Soit la distance orthogonale du point à l'axe , axe fixe autour duquel le solide [14] tourne est aussi le rayon du cercle décrit par et la vitesse angulaire de rotation du solide [14] autour de , l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de s'écrivant avec le projeté orthogonal de sur l'axe , se réécrit, en choisissant de repérer le point par un système de coordonnées cylindro-polaires d'axe orienté par , définissant les coordonnées du point selon , selon [38] soit

[39] ;

......orientant la trajectoire de dans le sens de c'est-à-dire choisissant le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [40] lié au point tel que , nous en déduisons

la vitesse instantanée de sur sa trajectoire [41] ;

......on remarque qu'en particulier que tout point de l'axe étant fixe a une vitesse instantanée nulle et que la vitesse instantanée d'un point hors de l'axe est d'autant plus grande que le point est éloigné de l'axe.

Comparaison d'un mouvement de translation d'un solide et de celui de rotation autour d'un axe fixe du même solide[modifier | modifier le wikicode]

......La comparaison ci-dessous est faite dans le cadre des systèmes (discrets) « fermés et indéformables » de points matériels c'est-à-dire dans le cadre des solides constitués d'un nombre fini de points matériels [22].

......Dans le cas du solide [14] en translation, il suffit de préciser le mouvement de son C.D.I. pour en déduire le mouvement d'un point quelconque du solide car

.

......Dans le cas du solide [14] en rotation autour d'un axe fixe , le mouvement de son C.D.I. ne présente aucun intérêt [42], ce qui compte pour connaître le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide c'est le vecteur rotation instantanée de ce dernier où est sa vitesse angulaire ainsi que la distance séparant ce point quelconque de l'axe de rotation car

[43] ou [44].

......Remarque : il convient donc de distinguer nettement

  • un mouvement de rotation du solide autour d'un axe fixe qui est décrit par le vecteur rotation instantanée de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide dépendant de la disposition du point relativement à l'axe
  • d'un mouvement de translation circulaire du solide qui est décrit par le vecteur vitesse du C.D.I. de ce dernier, le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide étant égal au vecteur vitesse du C.D.I. [45].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 C.-à-d. à l'échelle macroscopique ou mésoscopique [revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »].
  2. Ce qui est réalisé dans la mesure où l'expansion tridimensionnelle est finie.
  3. D'où le qualificatif « discret » mis entre parenthèses dans les paragraphes qui suivent, puisque nous n'y envisageons pas d'autre modèle.
  4. Pour un objet d'échelle mésoscopique (revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ») les points matériels peuvent être les atomes ou molécules constituant le système,
    ...pour un objet d’échelle macroscopique, les points matériels peuvent être les objets mésoscopiques précédents et
    ...ainsi de suite, par exemple, le système solaire peut être considéré comme un ensemble de points matériels modélisant chaque planète …
  5. Nombre pouvant être très grand par exemple un objet mésoscopique contient un nombre très grand d’atomes même si l'objet lui-même est considéré comme un infiniment petit macroscopique.
  6. 6,0 et 6,1 Revoir la définition signalée dans le paragraphe « modèle de la source ponctuelle monochromatique » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. 7,0 7,1 7,2 et 7,3 En effet il est possible de remplacer le système discret de points matériels séparés par du vide par un système continu de matière, chaque objet mésoscopique de volume et de masse , actuellement modélisé par un point de volume nul, de masse à identifier à , étant remplacé par un fond continu de matière de masse volumique , cette masse volumique variant en général avec , la masse de l'objet macroscopique n'étant plus calculé par mais par [revoir la « notion d'intégrale volumique » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  8. C'est donc le cas le plus fréquent.
  9. Exemple de l'air contenu dans un pneumatique dans le cas où la valve est ouverte [l'ouverture de cette dernière étant équivalente à la création d'un trou dans la surface de contrôle constituant le pneumatique] : ainsi par l'intermédiaire de la valve ouverte on peut laisser fuiter de l'air ou en injecter grâce à une pompe ;
    ...autre exemple d'un fluide s'écoulant dans un tuyau, ce dernier limité par deux sections fixes et constituant la surface de contrôle , chaque section fixe et [jouant le rôle de trous à travers autorisant l'échange de fluide avec l'extérieur de , avec entrée par l'intermédiaire de et sortie par .
  10. C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec injection d'air grâce à une pompe, dans ce cas le nombre de molécules d'air entrant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air en sortant est nul.
  11. C'est ce qui se passe dans l'exemple du pneumatique à valve ouverte avec fuite d'air, dans ce cas le nombre de molécules d'air sortant par la valve est positif alors que le nombre de molécules d'air y entrant est nul.
  12. C'est ce qui se passe dans l'exemple de l'écoulement d'air ou d'eau à travers un tuyau, le système ouvert étant l'intérieur de la surface de contrôle constitué du tuyau et des deux sections fixes et , le nombre de molécules de fluide entrant par unité de temps à travers [c'est-à-dire le débit moléculaire entrant dans étant égal au nombre de molécules de fluide sortant par unité de temps à travers [c'est-à-dire le débit moléculaire sortant de , l'égalité des débits entrant et sortant assurant la stationnarité de l'écoulement.
  13. Déformable ou non.
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,8 et 14,9 étant la masse du point matériel .
  15. Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle est évidemment réalisée car la masse de chaque point qui joue le rôle de cœfficient affecté étant strictement positive, la somme de toutes les masses l'est aussi.
  16. 16,0 et 16,1 Si n'est pas fixe, le vecteur ne caractérise plus le mouvement de puisqu'il dépend aussi du mouvement de , on évitera donc de l'appeler « vecteur position de  ».
  17. Voir le paragraphe « notion de fonction vectorielle de Leibniz » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. 18,0 et 18,1 La masse du système de points étant constante puisque le système est fermé.
  19. Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la condition d'existence et d'unicité du barycentre étant que la somme des cœfficients affectés aux points soit non nulle (ce qui représente la masse du système) est évidemment réalisée car la masse volumique au point générique du système qui joue le rôle de densité volumique de cœfficient affecté étant strictement positive, la masse du système l'est aussi.
  20. Voir le paragraphe « barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. La définition étant donnée pour un système (discret) de points matériels mais restant valable pour un système continu de matière.
  22. 22,0 22,1 et 22,2 Mais les résultats trouvés pourront aisément être prolongés aux solides à matière continue, lesquels sont le cas le plus fréquent en mécanique.
  23. 23,0 23,1 et 23,2 Un bipoint non nul est un ensemble ordonné de deux points distincts, il est donc caractérisé par la direction passant par les deux points, le sens sur cette direction et la distance séparant les deux points, il peut être représenté par le vecteur déplacement relatif allant du 1er point vers le 2nd.
  24. Du caractère « indéformable » du solide, on en déduit que la norme de tout bipoint reste constante soit .
  25. 25,0 25,1 et 25,2 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  26. Centre D'Inertie.
  27. Le C.D.I. du solide peut ne pas être un point du solide (c'est le cas d'une boule creuse homogène, le C.D.I. est le centre de la boule mais comme il n'y a pas de matière au centre, le C.D.I. est donc dans le vide) mais le solide étant indéformable, la position relative du C.D.I. par rapport aux autres points du solide ne change pas, le C.D.I. est donc fixe relativement au solide ;
    ...dans le cas où le C.D.I. du solide serait un point particulier de ce dernier, le point est choisi tel que .
  28. Dans le cas où le C.D.I. serait un point particulier du solide, nous avons supposé pour établir mais ce dernier étant aussi , nous avons évidemment pour .
  29. Si ce n’était pas le cas, le bipoint joignant deux points quelconques ne resterait pas constant au cours du temps.
  30. Pour le bipoint , les centres et des trajectoires de et sont tels que .
  31. 31,0 et 31,1 Pour un point du solide décrivant un cercle de centre , le vecteur vitesse est et le vecteur accélération .
  32. Réserver l'appellation « vecteur rotation instantanée du solide » quand ce dernier est en rotation voir le paragraphe suivant.
  33. Qui est le projeté orthogonal commun de et sur l'axe .
  34. La restriction était nécessaire dans la démonstration, mais la relation restant évidemment vraie pour , cette restriction est supprimée.
  35. Quelconques c'est-à-dire, ni situés dans un même plan contenant l'axe , ni situés dans un même plan à l'axe .
  36. Que l'on notera plus simplement, s'il n'y a pas d'ambiguïté possible, .
  37. C'est aussi le centre du cercle décrit par .
  38. étant le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée au point .
  39. étant le vecteur unitaire orthoradial de la base cylindro-polaire liée au point .
  40. Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  41. On rappelle qu'il s’agit de la composante du vecteur vitesse sur le 1er vecteur de base de Frenet, le vecteur unitaire tangentiel .
  42. Il peut d'ailleurs avoir un mouvement quelconque, être par exemple immobile si l'axe de rotation passe par le C.D.I. du solide, ou avoir une vitesse instantanée plus ou moins grande suivant la distance le séparant de l'axe de rotation dans le cas où ce dernier ne passe pas par le C.D.I. du solide.
  43. En utilisant la base cylindro-polaire d'axe orienté par et liée au point .
  44. En utilisant la base de Frenet liée au point , le vecteur unitaire tangentiel étant tangent au cercle décrit par dans le sens des et le vecteur unitaire normal principal centripète relativement au cercle décrit par c'est-à-dire tel que est le vecteur unitaire radial de la base cylindro-polaire liée à .
  45. Même si le vecteur vitesse d'un point quelconque du solide en translation circulaire peut s'écrire sous forme du produit vectoriel identique à , comme dans le cas d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe la différence fondamentale est que
    • dans le cas d'une translation circulaire le vecteur vitesse est indépendant du point , le rayon du cercle décrit par ce dernier étant le même que celui décrit par le C.D.I. alors que
    • dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe le vecteur vitesse dépend du point , le rayon du cercle décrit par ce dernier dépendant de la distance le séparant de l'axe de rotation ;
      ...c'est donc la raison pour laquelle on réserve l'appellation « vecteur rotation instantanée d'un solide » au cas où ce dernier est en rotation autour d'un axe fixe et on parle de « vecteur rotation instantanée du C.D.I. du solide » quand ce dernier est en translation circulaire.