Leçons de niveau 13

Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

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Définition du logarithme néperien
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Chapitre no 1
Leçon : Fonction logarithme
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Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien
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À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

  • soit à partir de la fonction inverse
  • soit à partir de la fonction exponentielle

Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Logarithme népérien et fonction inverse[modifier | modifier le wikicode]

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Cette section nécessite des connaissances sur les primitives. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


Problématique[modifier | modifier le wikicode]

Si , une primitive de est mais pour , on n'a rien de tel.

On ne trouve pas de primitive de parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur , un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

Définition de la fonction logarithme népérien[modifier | modifier le wikicode]


Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif[modifier | modifier le wikicode]


Logarithme népérien et exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


Rappel : l'étude de la fonction exponentielle (définie par et ) montre que c'est une bijection strictement croissante de dans . En particulier, son tableau de variations est le suivant :


Remarque
En particulier, .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Calculer au centième près avec la calculatrice (utiliser la touche ln, et non log) :

=

=

=

=

=