Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien

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À ce niveau, il y a deux manières d’aborder la fonction logarithme népérien. On peut la définir :

• soit à partir de la fonction inverse
• soit à partir de la fonction exponentielle

Nous allons présenter ces deux approches. Nous admettrons qu'elles sont équivalentes. La démonstration nécessite le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque (niveau 14).

Logarithme népérien et fonction inverse

Cette section nécessite des connaissances sur les primitives. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Problématique

Si $n\neq 1$, une primitive de $x\mapsto x^{-n}$ est $x\mapsto {\frac {x^{-n+1}}{-n+1}}$ mais pour $n=1$, on n'a rien de tel.

On ne trouve pas de primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ parmi les fonctions usuelles. Pourtant, cette fonction étant continue sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$, un théorème nous assure l’existence d’une primitive.

Définition de la fonction logarithme népérien

Définition

On appelle fonction logarithme népérien et on note $\ln$ l’unique primitive de $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ qui s'annule en $x=1$. Autrement dit :

• pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\ln '(x)={\frac {1}{x}}$
• $\ln(1)=0$

Logarithme népérien d’un nombre réel strictement positif

Définition

Le logarithme népérien d’un nombre réel $x>0$ est son image par la fonction logarithme népérien définie ci-dessus. On le note donc $\ln(x)$.

Logarithme népérien et exponentielle

Cette section nécessite des connaissances sur la fonction exponentielle. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Rappel : l'étude de la fonction exponentielle $\exp$ (définie par $\exp '=\exp$ et $\exp(0)=1$) montre que c'est une bijection strictement croissante de $\mathbb {R}$ dans $\left]0,+\infty \right[$. En particulier, son tableau de variations est le suivant :

${\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &&&&&+\infty \\&&&&\nearrow \\\exp(x)&&&1\\&&\nearrow \\&0\\\end{array}}$

Définition

On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note $\ln$, la bijection réciproque, de $\left]0,+\infty \right[$ dans $\mathbb {R}$, de la fonction $\exp$.

Autrement dit :

• pour tout réel $x$ strictement positif, le nombre réel $\ln(x)$ est caractérisé par : $\exp \left(\ln(x)\right)=x$

Ou encore :

• pour tout $y\in \mathbb {R} ,~\ln(\exp(y))=y$

Remarque

En particulier, $\ln(1)=0$.

Exemples

Calculer au centième près avec la calculatrice (utiliser la touche ln, et non log) :

$\ln(2)$=

$\ln(10)$=

$\ln(0,1)$=

$\ln(0,5)$=

$\ln(1000,3)$=