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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction logarithme : Propriétés algébriques du logarithme Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le logarithme népérien étant la primitive de la fonction inverse définie sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
et s'annulant en
1
{\displaystyle 1}
, on peut démontrer la propriété algébrique suivante.
Début d’un théorème
Théorème
∀
a
,
b
∈
]
0
,
+
∞
[
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle \forall a,b\in \left]0,+\infty \right[\quad \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}
Fin du théorème
Démonstration
Pour
a
>
0
{\displaystyle a>0}
fixé, la dérivée de la fonction composée
x
↦
ln
(
a
x
)
{\displaystyle x\mapsto \ln(ax)}
(définie sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
) est :
x
↦
ln
′
(
a
x
)
=
a
a
x
=
1
x
=
ln
′
(
x
)
{\displaystyle x\mapsto \ln '(ax)={\frac {a}{ax}}={\frac {1}{x}}=\ln '(x)}
.
Il existe une constante réelle
k
{\displaystyle k}
telle que :
∀
x
>
0
ln
(
a
x
)
=
k
+
ln
(
x
)
{\displaystyle \forall x>0\quad \ln(ax)=k+\ln(x)}
.
Pour
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, on obtient :
ln
(
a
.1
)
=
k
+
ln
(
1
)
{\displaystyle \ln(a.1)=k+\ln(1)}
.
Ainsi :
ln
(
a
)
=
k
{\displaystyle \ln(a)=k}
Donc :
∀
x
>
0
ln
(
a
x
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
x
)
⟺
∀
a
,
b
>
0
ln
(
a
.
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle \forall x>0\quad \ln(ax)=\ln(a)+\ln(x)\Longleftrightarrow \forall a,b>0\quad \ln(a.b)=\ln(a)+\ln(b)}
CQFD
Début de l'exemple
Exemple
Calculer séparément à la calculatrice :
ln
(
2
)
+
ln
(
3
)
{\displaystyle \ln(2)+\ln(3)}
ln
(
6
)
{\displaystyle \ln(6)}
Fin de l'exemple
(Si
r
=
p
/
q
{\displaystyle r=p/q}
avec
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
entiers,
a
p
/
q
{\displaystyle a^{p/q}}
est par définition égal à
a
p
q
=
(
a
q
)
p
{\displaystyle {\sqrt[{q}]{a^{p}}}=\left({\sqrt[{q}]{a}}\right)^{p}}
).