Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée

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Cette section nécessite des connaissances sur la composition des fonctions. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.


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Dérivée d'une fonction composée
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Chapitre no 11
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Dérivée d'une fonction composée
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Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée
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Dérivée d'une fonction composée[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Ce théorème sera démontré dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle.

Panneau d’avertissement Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début d’un principe


Fin du principe

Le schéma est

et se ramène à

Les deux fonctions mises en jeu sont alors :

  •  ;
  • .

On a bien .

  • est définie et dérivable sur et, pour tout , .
  • est définie et dérivable sur et et, pour tout , .
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout  :


Finalement, pour tout , .


Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Domaine de définition

Une racine carrée est définie si et seulement si son contenu est positif.

Une étude de la fonction du second degré donne le tableau de signes suivant :

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Pour des rappels sur la résolution des inéquations du second degré, se reporter au cours sur les fonctions et équations du second degré.

Donc est définie sur .


Étude de la dérivabilité

Le schéma est

et se ramène à

Les deux fonctions mises en jeu sont alors : et .

On a bien

  • est définie et dérivable sur et, pour tout , .
  • est définie sur , mais n'est dérivable que sur .
Pour avoir la dérivabilité de , il faut donc retirer tous les points pour lesquels , c'est-à-dire 1 et 2.

Finalement, est dérivable sur


  • On applique la formule du théorème :
Pour tout  :

Finalement, pour tout , .


Autres exemples[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Dérivée d'une fonction composée.



Dériver les fonctions suivantes en utilisant la formule de composition en précisant le domaine sur lequel cette dérivation est valable :

  •  ;
  • .

Conséquences : formules de dérivation[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction définie sur un domaine à valeurs dans

On obtient les formules de dérivation de composées suivantes :

Si de plus, pour tout ,