Leçons de niveau 12

Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

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Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
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Chapitre no 10
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'un quotient
Chap. suiv. :Dérivée d'une fonction composée
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Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
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Théorème sur la dérivation d'une fonction affine suivie d'une autre fonction[modifier | modifier le wikicode]

On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :

  • On applique d’abord une fonction affine
  • On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ


Le schéma étudié est donc le suivant :

qui peut se ramener à l'étude de


Début d’un théorème
Fin du théorème


Panneau d’avertissement Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit g la fonction définie sur par . Dériver g

Début d’un principe
Fin du principe


Le schéma est

et se ramène à


Soit

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
  • Dans notre cas,
  • Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
  • En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout  :


Finalement, pour tout


Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit g la fonction définie sur par . Dériver g

Le schéma est

et se ramène à


Soit

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
  • Dans notre cas,
  • Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
  • En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout


Exemple 3[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit g la fonction définie sur par . Dériver g

Le schéma est

et se ramène à


Soit

  • D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
  • Dans notre cas,
  • Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
  • En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
  • On applique la formule du théorème :
Pour tout

Exemple 4[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit g la fonction définie sur un domaine par . Dériver g.


Panneau d’avertissement Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.
On commence comme d'habitude par identifier les éléments et ƒ

Le schéma est

et se ramène à


La fonction ƒ est définie par sur le domaine . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.

En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine

Vérifier la dérivabilité.

  • Enfin, on applique la formule du théorème :
Pour tout

Exemple 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit g la fonction définie sur un domaine par


Le schéma est

et se ramène à


La fonction ƒ est définie par sur le domaine . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.


Étudier le signe de l’expression . En déduire le domaine

Vérifier la dérivabilité.


  • Enfin, on applique la formule du théorème :
Pour tout