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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction dérivée : Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction
Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On s'intéresse dans ce chapitre à la dérivation d'une fonction dont l’expression à partir d'un réel x est obtenue en deux temps :
- On applique d’abord une fonction affine
- On applique ensuite au résultat une fonction quelconque ƒ
Le schéma étudié est donc le suivant :
qui peut se ramener à l'étude de
Début d’un théorème
Fin du théorème
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Lorsqu'on utilise ce genre de théorème, il faut être particulièrement vigilant aux domaines de définition et de dérivabilité. Nous allons le voir sur quelques exemples.
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Soit g la fonction définie sur par . Dériver g
Début d’un principe
Fin du principe
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
- Dans notre cas,
- Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
- En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout
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Soit g la fonction définie sur par . Dériver g
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
- Dans notre cas,
- Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
- En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
Solution
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
- Dans notre cas,
- Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
- En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout
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- Soit g la fonction définie sur par . Dériver g
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
- Dans notre cas,
- Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
- En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout
Solution
Le schéma est
et se ramène à
Soit
- D'après le théorème, g est dérivable en x lorsque ƒ est dérivable en
- Dans notre cas,
- Pour tout , donc ƒ est dérivable sur et, pour tout
- En particulier, ƒ est dérivable en donc g est dérivable en x
- On applique la formule du théorème :
- Pour tout :
Finalement, pour tout
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- Soit g la fonction définie sur un domaine par . Dériver g.
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Voici notre premier exemple de fonction qui n’est pas définie partout. Il faudra donc faire attention aux domaines de définition et de dérivabilité.
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- On commence comme d'habitude par identifier les éléments et ƒ
Le schéma est
et se ramène à
Solution
Le schéma est
et se ramène à
La fonction ƒ est définie par sur le domaine . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
En déduire pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g n’est pas définie. En déduire le domaine
Vérifier la dérivabilité.
Solution
La fonction ƒ est définie par sur le domaine
Soit
On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine
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ƒ est dérivable sur , donc g est dérivable sur .
Par ailleurs, pour tout
- Enfin, on applique la formule du théorème :
- Pour tout
Solution
- Pour tout :
Pour tout
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Soit g la fonction définie sur un domaine par
Le schéma est
et se ramène à
Solution
Le schéma est
et se ramène à
La fonction ƒ est définie par sur le domaine . Compléter dans le schéma l'emplacement « ? » avec cette nouvelle donnée.
Solution
La fonction ƒ est définie par sur le domaine
Étudier le signe de l’expression . En déduire le domaine
Solution
Soit
On en déduit que la fonction g est définie sur le domaine
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Vérifier la dérivabilité.
Solution
ƒ est n'est dérivable que sur
g n'est donc dérivable que si , c'est-à-dire si
Donc g est dérivable sur
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Par ailleurs, pour tout
- Enfin, on applique la formule du théorème :
- Pour tout
Solution
- Pour tout :
Donc, pour tout
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