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Exercice : Dérivée d'une fonction composéeFonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans chacun des cas suivants, dériver
f
{\displaystyle f}
spécifique , que l'on précisera.
f
1
:
x
↦
(
3
x
−
1
5
x
+
3
)
3
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{3}}
f
2
:
x
↦
cos
2
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto \cos {\frac {2}{x}}}
f
3
:
x
↦
tan
4
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto \tan ^{4}x}
f
4
:
x
↦
x
1
/
x
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto x^{1/x}}
Solution
On pose
u
:
x
↦
3
x
−
1
5
x
+
3
{\displaystyle u:x\mapsto {\frac {3x-1}{5x+3}}}
f
1
=
u
3
{\displaystyle f_{1}=u^{3}}
pour tout
x
≠
−
3
5
{\displaystyle x\neq -{\frac {3}{5}}}
u
′
(
x
)
=
3
(
5
x
+
3
)
−
5
(
3
x
−
1
)
(
5
x
+
3
)
2
=
14
(
5
x
+
3
)
2
{\displaystyle u'(x)={\frac {3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^{2}}}={\frac {14}{(5x+3)^{2}}}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
u
n
)
′
=
n
u
n
−
1
u
′
{\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'}
Donc pour tout
x
≠
−
3
5
{\displaystyle x\neq -{\frac {3}{5}}}
f
1
′
(
x
)
=
3
(
3
x
−
1
5
x
+
3
)
2
14
(
5
x
+
3
)
2
=
42
(
3
x
−
1
)
2
(
5
x
+
3
)
4
{\displaystyle f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{2}{\frac {14}{(5x+3)^{2}}}={\frac {42(3x-1)^{2}}{(5x+3)^{4}}}}
On pose
u
:
x
↦
2
x
{\displaystyle u:x\mapsto {\frac {2}{x}}}
f
2
=
cos
u
{\displaystyle f_{2}=\cos u}
pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
u
′
(
x
)
=
−
2
x
2
{\displaystyle u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}}
(
cos
u
)
′
=
−
(
sin
u
)
u
′
{\displaystyle (\cos u)'=-(\sin u)u'}
Donc pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
f
2
′
(
x
)
=
−
sin
2
x
(
−
2
x
2
)
=
2
x
2
sin
2
x
{\displaystyle f_{2}'(x)=-\sin {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)={\frac {2}{x^{2}}}\sin {\frac {2}{x}}}
On pose
u
=
tan
{\displaystyle u=\tan }
f
3
=
u
4
{\displaystyle f_{3}=u^{4}}
pour tout
x
∈
R
∖
(
π
2
+
π
Z
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)}
u
′
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
{\displaystyle u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
u
n
)
′
=
n
u
n
−
1
u
′
{\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'}
Donc pour tout
x
∈
R
∖
(
π
2
+
π
Z
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)}
f
3
′
(
x
)
=
4
tan
3
x
1
cos
2
x
=
4
sin
3
x
cos
5
x
{\displaystyle f_{3}'(x)=4\tan ^{3}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {4\sin ^{3}x}{\cos ^{5}x}}}
On pose
u
:
x
↦
ln
x
x
{\displaystyle u:x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}}
f
4
=
exp
u
{\displaystyle f_{4}=\exp u}
pour tout
x
>
0
{\displaystyle x>0}
u
′
(
x
)
=
1
−
ln
x
x
2
{\displaystyle u'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}}
(
exp
u
)
′
=
(
exp
u
)
u
′
{\displaystyle (\exp u)'=(\exp u)u'}
Donc pour tout
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
4
′
(
x
)
=
exp
u
1
−
ln
(
x
)
x
2
=
x
1
/
x
1
−
ln
x
x
2
{\displaystyle f_{4}'(x)=\exp u{\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}=x^{1/x}{\frac {1-\ln x}{x^{2}}}}
Dans chacun des cas suivants, dériver
f
{\displaystyle f}
spécifique , que l'on précisera.
f
1
:
x
↦
(
3
x
+
1
5
x
−
3
)
3
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{3}}
f
2
:
x
↦
sin
2
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto \sin {\frac {2}{x}}}
f
3
:
x
↦
tan
3
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto \tan ^{3}x}
f
4
:
x
↦
e
−
1
/
x
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto \operatorname {e} ^{-1/x}}
Solution
On pose
u
:
x
↦
3
x
+
1
5
x
−
3
{\displaystyle u:x\mapsto {\frac {3x+1}{5x-3}}}
f
1
=
u
3
{\displaystyle f_{1}=u^{3}}
pour tout
x
≠
3
5
{\displaystyle x\neq {\frac {3}{5}}}
u
′
(
x
)
=
3
(
5
x
−
3
)
−
5
(
3
x
+
1
)
(
5
x
−
3
)
2
=
−
14
(
5
x
−
3
)
2
{\displaystyle u'(x)={\frac {3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x-3)^{2}}}={\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
u
n
)
′
=
n
u
n
−
1
u
′
{\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'}
Donc pour tout
x
≠
3
5
{\displaystyle x\neq {\frac {3}{5}}}
f
1
′
(
x
)
=
3
(
3
x
+
1
5
x
−
3
)
2
−
14
(
5
x
−
3
)
2
=
−
42
(
3
x
+
1
)
2
(
5
x
−
3
)
4
{\displaystyle f_{1}'(x)=3\left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{2}{\frac {-14}{(5x-3)^{2}}}=-{\frac {42(3x+1)^{2}}{(5x-3)^{4}}}}
On pose
u
:
x
↦
2
x
{\displaystyle u:x\mapsto {\frac {2}{x}}}
f
2
=
sin
u
{\displaystyle f_{2}=\sin u}
pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
u
′
(
x
)
=
−
2
x
2
{\displaystyle u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}}
(
sin
u
)
′
=
(
cos
u
)
u
′
{\displaystyle (\sin u)'=(\cos u)u'}
Donc pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
f
2
′
(
x
)
=
cos
2
x
(
−
2
x
2
)
=
−
2
x
2
cos
2
x
{\displaystyle f_{2}'(x)=\cos {\frac {2}{x}}\left(-{\frac {2}{x^{2}}}\right)=-{\frac {2}{x^{2}}}\cos {\frac {2}{x}}}
On pose
u
=
tan
{\displaystyle u=\tan }
f
3
=
u
3
{\displaystyle f_{3}=u^{3}}
pour tout
x
∈
R
∖
(
π
2
+
π
Z
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)}
u
′
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
{\displaystyle u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
(
u
n
)
′
=
n
u
n
−
1
u
′
{\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'}
Donc pour tout
x
∈
R
∖
(
π
2
+
π
Z
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)}
f
3
′
(
x
)
=
3
tan
2
x
1
cos
2
x
=
3
sin
2
x
cos
4
x
{\displaystyle f_{3}'(x)=3\tan ^{2}x\;{\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {3\sin ^{2}x}{\cos ^{4}x}}}
On pose
u
:
x
↦
−
1
x
{\displaystyle u:x\mapsto -{\frac {1}{x}}}
f
4
=
exp
u
{\displaystyle f_{4}=\exp u}
pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
u
′
(
x
)
=
1
x
2
{\displaystyle u'(x)={\frac {1}{x^{2}}}}
(
exp
u
)
′
=
(
exp
u
)
u
′
{\displaystyle (\exp u)'=(\exp u)u'}
Donc pour tout
x
∈
R
∗
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}}
f
4
′
(
x
)
=
exp
(
−
1
/
x
)
x
2
{\displaystyle f_{4}'(x)={\frac {\exp(-1/x)}{x^{2}}}}
