Leçons de niveau 14

Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens

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Espaces hilbertiens
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Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

La mécanique quantique utilise dans son formalisme moderne des vecteurs agissant dans des espaces complexes, appelés espaces hilbertiens. Nous rappelons dans ce chapitre de quoi il s'agit.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :

est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.


Bases de Hilbert[modifier | modifier le wikicode]

La notion de « base orthonormée » peut être étendue aux espaces hilbertiens de dimension infinie, prenant la définition suivante :


Remarquons cependant qu'au sens usuel (de l'algèbre linéaire), si est de dimension infinie alors n'est pas génératrice (donc n'est pas une base) de et la plupart des vecteurs de n'ont donc pas de coordonnées dans .

Intérêt en mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces hilbertiens permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les observables, qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des opérateurs linéaires. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.