Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens
Introduction
[modifier | modifier le wikicode]La mécanique quantique utilise dans son formalisme moderne des vecteurs agissant dans des espaces complexes, appelés espaces hilbertiens. Nous rappelons dans ce chapitre de quoi il s'agit.
Définitions
[modifier | modifier le wikicode]On appelle espace préhilbertien un espace vectoriel sur le corps des réels ou des complexes, muni d'un produit scalaire.
Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :
où est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.
On appelle espace hilbertien un espace préhilbertien complet , c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy convergent pour la norme associée au produit scalaire dans .
Bases de Hilbert
[modifier | modifier le wikicode]La notion de « base orthonormée » peut être étendue aux espaces hilbertiens de dimension infinie, prenant la définition suivante :
On appelle base hilbertienne de l'espace hilbertien une famille de vecteurs telle que :
Avec le delta de Kronecker. La première relation implique la liberté de , la seconde utilise la convergence au sens de la norme induite par le produit scalaire.
Dans le cas où ces conditions sont vérifiées, la famille est unique pour tout vecteur , elle constitue les « coordonnées » de .
Tout espace hilbertien de dimension finie admet une telle « base ».
Remarquons cependant qu'au sens usuel (de l'algèbre linéaire), si est de dimension infinie alors n'est pas génératrice (donc n'est pas une base) de et la plupart des vecteurs de n'ont donc pas de coordonnées dans .
Intérêt en mécanique quantique
[modifier | modifier le wikicode]Les espaces hilbertiens permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les observables, qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des opérateurs linéaires. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.