Leçons de niveau 14

Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Espaces hilbertiens
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Opérateurs linéaires
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique : Espaces hilbertiens
Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

La mécanique quantique utilise dans son formalisme moderne des vecteurs agissant dans des espaces complexes, appelés espaces hilbertiens. Nous rappelons dans ce chapitre de quoi il s'agit.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]


Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :

est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.


Cette notion de complétude peut être explicitée dans le cas de l’ensemble des rationnels, , qui n’est pas complet : en effet, on peut construire une suite de rationnels qui tend vers , lequel est irrationnel (cela est une conséquence du fait que est dense dans ). Ainsi, l’ensemble des rationnels n’est pas complet.

Bases de Hilbert[modifier | modifier le wikicode]

La notion de « base orthonormée » peut être étendue aux espaces hilbertiens de dimension infinie, prenant la définition suivante :


Intérêt en mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Les espaces hilbertiens permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les observables, qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des opérateurs linéaires. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.