Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale

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Projection orthogonale
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Exercices no4
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chapitre du cours : Projecteurs orthogonaux

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Polynômes de Laguerre
Exo suiv. :Exercices divers
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Espace préhilbertien réel/Exercices/Projection orthogonale
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer .

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer .

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'espace de Hilbert . On note .

  1. Montrer que est un convexe fermé.
  2. Déterminer la projection sur .
  3. Même question avec .

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace de Hilbert. Pour un convexe fermé non vide de , on note la projection sur .

  1. Soient deux convexes fermés non vides de , tels que . Montrer, en utilisant l'identité de la médiane (équivalente à celle du parallélogramme), que pour tout ,
.
  1. Soit une suite croissante de convexes fermés non vides de . On note l'adhérence de .
    1. Montrer que est un convexe fermé non vide.
    2. Montrer que pour tout , .
    3. En déduire que pour tout , converge vers quand .
  2. Soit une suite décroissante de convexes fermés non vides de . On note l'intersection des , c.-à-d. .
    1. On suppose que est non vide. Soit . Montrer que la suite converge vers une certaine limite vérifiant .
    2. Pour tout , on note . Montrer que la suite est de Cauchy, et en déduire que converge vers , quand .
    3. Montrer que si est vide, alors , pour tout (en particulier si l'un des est borné, alors n'est pas vide).