En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Application directe
Application linéaire/Exercices/Application directe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u_{1}&:&\mathbb {R} ^{3}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y,z)&\mapsto &x-y+3z\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612f2022d94794edc61ab73eb689d17526a98826)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u_{2}&:&\mathbb {R} ^{3}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y,z)&\mapsto &x-y+3\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459c1e93d96312f110ab9f76b2fceb7b94380a31)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u_{3}&:&\mathbb {R} ^{3}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y,z)&\mapsto &(x-y)z\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93795e61d4a337221ff35974bece3d495c81e99c)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}u_{4}&:&\mathbb {R} ^{3}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\~&~&(x,y,z)&\mapsto &(x-y,z)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9f91ccc6125d39d461935a7e8fc018b1c28df1)
Solution
est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées
donc c'est une forme linéaire.
n'est pas linéaire car
.
n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur
et tout scalaire
,
est différent de
dès que
et
(exemple :
et
).
est linéaire. Cela vient du fait que
où
et
sont les formes linéaires produit scalaire par
et
. On systématisera cet argument au chapitre « Matrice/Matrice d'une application linéaire », mais on peut déjà le voir sur cet exemple :
- pour tous vecteurs
et tout scalaire
, on a (par linéarité de
et
et par définition des opérations sur l'espace vectoriel d'arrivée
) :
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{4}\left(\lambda v_{1}+v_{2}\right)&=\left(f\left(\lambda v_{1}+v_{2}\right),g\left(\lambda v_{1}+v_{2}\right)\right)\\&=\left(\lambda f\left(v_{1}\right)+f\left(v_{2}\right),\lambda g\left(v_{1}\right)+g\left(v_{2}\right)\right)\\&=\lambda \left(f\left(v_{1}\right),g\left(v_{1}\right)\right)+\left(f\left(v_{2}\right),g\left(v_{2}\right)\right)\\&=\lambda u_{4}\left(v_{1}\right)+u_{4}\left(v_{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44330564a4e875e78a82d618107a6dccfac9528f)
Pour chaque couple
d'espaces vectoriels et chaque application
, indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
.
,
,
,
,
.
Solution
-
est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées
donc c'est une forme linéaire.
n'est pas linéaire car
.
est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées
donc c'est une forme linéaire.
n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur
et tout scalaire
,
est différent de
dès que
et
(exemple :
et
).
-
est l'application linéaire de matrice
.
n'est pas linéaire car
.
n'est pas linéaire car
ne l'est pas :
.
est l'application linéaire de matrice
.
est l'application linéaire de matrice
.
et
sont linéaires car les applications de dérivation ou d'évaluation en un point le sont.
n'est pas linéaire mais quadratique (exemple :
).
Montrer que l'application
![{\displaystyle {\begin{matrix}u&:&\mathbb {R} ^{2}&\to &\mathbb {R} ^{2}\\&&\left(x,y\right)&\mapsto &\left(x+y,x-y\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969795bfe3928d3a5b68c982337ae19dcb9baa70)
est un automorphisme de
et calculer l'automorphisme réciproque.
Montrer que l'application
définie par
est bijective et calculer son inverse.
Solution
![{\displaystyle f{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x-2y+2z=x'\\x+2y-z=y'\\-y+z=z'\end{matrix}}\right\}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=x'-2z'\\y&=-x'+y'+3z'\\z&=-x'+y'+4z'\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed07f449bdb3d7a5d61d7cef69b1a438dc595113)
donc
est bijective et sa bijection réciproque est donnée par
.
Soit
.
- Soient
deux à deux distincts et
l'application définie par
. Montrer que
est linéaire et bijective.
- Soient
. Montrer qu'il existe un unique polynôme
tel que
. Calculer
,
et
.
Solution
est linéaire car ses
composantes (évaluation en un point) le sont. Son noyau est réduit à
car un polynôme non nul de degré
ne peut pas avoir
racines. Elle est donc injective. Comme ses espaces de départ et d'arrivée ont même dimension (
), elle est finalement bijective. Voir aussi Interpolation de Lagrange.
- L'existence et l'unicité de
sont garanties par la bijectivité de
. Voir aussi Polynômes de Tchebychev.
.
.
.
Soient
deux réels,
le
-espace vectoriel des applications continues de
dans
, et
.
Montrer que l’application
![{\displaystyle {\begin{matrix}L&:&E&\to &\mathbb {R} \\&&f&\mapsto &\int _{a}^{b}f(t)\varphi (t)\ \mathrm {d} t\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3664c0f11b4de086ed20721a99874e9659d261b4)
est une forme linéaire sur
.
Soient
telles que
.
Montrer que
est la composée de
par une homothétie de
, c'est-à-dire :
.
Solution
Le résultat étant immédiat si
est l'application nulle, supposons
.
Pour tout
tel que
, notons
l'unique scalaire tel que
.
Soient
, d'images non nulles par
.
- Si
est libre alors
car
.
- Si
(
) alors
donc
, si bien que
.
Dans les deux cas, on en déduit que
. Ainsi, tous les
(pour
) sont égaux à un même scalaire
.
L'égalité
étant aussi vérifiée pour les
tels que
, la conclusion s'ensuit.
Pour tout
, on note
le sous-espace vectoriel des polynômes de degré
dans
.
Soit
l'application définie par
.
- Démontrer que
est linéaire.
- Démontrer que
pour tout
dont le degré est
; en déduire le noyau de
.
- On considère
,
pour tout
. Démontrer que
pour tout
.
- Démontrer que
est une base de
.
- Soit
.
- Démontrer que
.
- Pour tout
, donner une méthode permettant de calculer
tel que
.
- Calculer
tel que
et
. En déduire la somme
pour tout
.
- Calculer de même
pour tout
.
Soit
. On considère
comme un
-espace vectoriel et l'on fixe la base
.
- Montrer que
est
-linéaire.
- Calculer
.
- Existe-t-il
et
tels que
et
? Si c'est le cas, déterminer un tel
et un tel
.
- Décrire géométriquement
.
- Soit
. Calculer
et décrire géométriquement
.
Solution
est composée des applications
(
-linéaire) et
(
- donc
-linéaire) :
. Donc
est
-linéaire.
donc
,
donc
et
.
. Or
,
et
.
Le système précédent se réécrit donc ![{\displaystyle {\begin{cases}2\sin {\frac {\theta }{2}}\left(-\sin {\frac {\theta }{2}}x+\cos {\frac {\theta }{2}}y\right)=0\\2\cos {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}x-\cos {\frac {\theta }{2}}y\right)=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed24698dffc0a790e212c6ace12b048e6064cd30)
Une solution est donc
.
De même, ![{\displaystyle f(x+\mathrm {i} y)=-(x+\mathrm {i} y)\Leftrightarrow {\begin{cases}x(\cos \theta +1)+y\sin \theta =0\\x\sin \theta +y(-\cos \theta +1)=0\end{cases}}\Leftrightarrow x\cos {\frac {\theta }{2}}+y\sin {\frac {\theta }{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff753e25e5591d2b6ae681de862a60b0319b8ce0)
Une solution est donc
.
Ou globalement : ![{\displaystyle \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }{\bar {u}}=u\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta /2}{\bar {u}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta /2}u\Leftrightarrow \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta /2}u\in \mathbb {R} \Leftrightarrow u\in \mathbb {R} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta /2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7ac5be5c168b407674a23211f15acfeddde097)
et de même,
.
est une base de
, car
-libre (en fait,
) et
est la symétrie par rapport à
, parallèlement à
(c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à
).
avec
, donc
est la rotation d'angle
.
On pouvait d'ailleurs le trouver directement :
.