En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Montrer que si ou est inversible alors et ont même polynôme caractéristique.
Dans le cas particulier où est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni , ni n'est inversible.
Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si alors est équivalente à la matrice .
Pour fixé et , le -ième coefficient du polynôme caractéristique de et celui de sont deux fonctions de , définies continues sur (avec ou ), et coïncident sur le sous-ensemble d'après la question précédente. Par densité de dans (cf. Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie), ces deux fonctions sont égales.
(Le résultat s'étendra même ensuite au cas où est seulement un anneau commutatif unitaire intègre, en le remplaçant par son corps des fractions.)
Soient telles que puis, soit . Alors, et donc il suffit de montrer que et ont même polynôme caractéristique. Calculons ces deux produits en découpant en blocs de tailles compatibles :
et donc
.
Exercice 2-2
Référence : Qiaochu Yuan, « ab, ba, and the spectrum », sur qchu.wordpress.com, , qui indique aussi d'autres méthodes.
Soit . On se propose de démontrer que et ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées et de taille à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.
Soient l'anneau de polynômes à coefficients entiers en indéterminées et les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans , .
En déduire le théorème annoncé.
Solution
,
or l'anneau est commutatif et intègre et est non nul. On peut donc simplifier.
Soient un anneau commutatif unitaire quelconque et deux matrices quelconques dans . Notons le polynôme universel qui, d'après la question précédente, est invariant par échange des indéterminées : . Par évaluation, c'est-à-dire en remplaçant les indéterminées par des valeurs particulières, on en déduit, dans : .
Exercice 2-3
Généralisation du résultat de l'exercice précédent.
Soient un anneau commutatif unifère et . On considère le polynôme :
.
Démontrer que ;
En déduire que si alors .
Solution
Dans le développement du déterminant par la formule de Leibniz, on constate qu'il n'apparaît de monôme en que dans un seul des n! termes de la somme, celui qui est produit des termes diagonaux de , c'est-à-dire :
.
Le coefficient de dans ce produit est .
En développant , on trouve . On conclut grâce à la question précédente.