Série numérique/Propriétés

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Critère d'Abel

Début d'un lemme

Lemme : transformation d'Abel

Soient $(a_{n})$, $(b_{n})$ et $(c_{n})$ trois suites numériques et $(A_{n})$, $(B_{n})$ et $(C_{n})$ les sommes partielles des séries associées. Si (pour tout $n\in \mathbb {N}$)

$c_{n}=A_{n}b_{n}$

alors

$C_{n}=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}$.

Fin du lemme

Vérification

${\begin{aligned}C_{n}&=\sum _{j=0}^{n}A_{j}b_{j}\\&=A_{0}B_{0}+\sum _{j=1}^{n}A_{j}(B_{j}-B_{j-1})\\&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}B_{k}-\sum _{k<n}A_{k+1}B_{k}\\&=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}(A_{k+1}-A_{k})B_{k}\\&=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}.\end{aligned}}$

 

Début d’un théorème

Théorème : critère d'Abel

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites numériques telles que

• la suite des sommes partielles de la série $\sum v_{n}$ est bornée ;
• $u_{n}\to 0$ ;
• la série $\sum (u_{n+1}-u_{n})$ est absolument convergente.

Alors, la série $\sum u_{n}v_{n}$ est convergente.

Fin du théorème

Démonstration

On applique le lemme à $A_{n}=u_{n}$ et $b_{n}=v_{n}$. Par hypothèse, $(B_{n})$ est bornée, $A_{n}\to 0$ et $\sum a_{n}$ est absolument convergente, donc

$\sum _{k\leq n}u_{n}v_{n}=C_{n}=A_{n}B_{n}-\sum _{k<n}a_{k+1}B_{k}\to \sum a_{k+1}B_{k}$,

cette dernière série étant absolument convergente.

On peut de plus remarquer que pour tout $M\geq \sup \left|B_{n}\right|$ (c'est-à-dire tout majorant $M$ des valeurs absolues des sommes partielles de $\sum v_{n}$),

$\left|\sum u_{n}v_{n}\right|\leq M\sum \left|a_{k+1}\right|=M\sum \left|u_{k+1}-u_{k}\right|$.

 

Remarques

• Ce théorème s'étend (et se démontre de même) au cas où $(v_{n})$ est à valeurs dans un espace de Banach $E$ (par exemple $E=\mathbb {R} ^{n}$).
• En particulier (test de Dirichlet), si $(u_{n})$ est monotone et de limite nulle alors, pour toute série $\sum v_{n}$ de sommes partielles bornées, la série $\sum u_{n}v_{n}$ converge dans $E$. Le cas $E=\mathbb {R}$ et $v_{n}=(-1)^{n}$ est utile pour les séries alternées :

Corollaire : test de convergence des séries alternées

Pour toute suite numérique $(u_{n})$ décroissante et de limite nulle, la série $\sum (-1)^{n}u_{n}$ converge.

Ce corollaire immédiat du critère d'Abel peut aussi se démontrer directement : les deux sous-suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ de la suite $(S_{n})$ des sommes partielles de la série $\sum (-1)^{n}u_{n}$ sont en effet adjacentes.