Relation (mathématiques)/Exercices/Relation d'équivalence

Exercice 1-1

Soit $f:A\to A$ une injection. On définit sur $A$ la relation ${\mathcal {R}}$ par (pour tous $x,y\in A$) :

$x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} \quad y=f^{n}(x){\text{ ou }}x=f^{n}(y)$.

(Pour la notation $f^{n}$, voir Puissances itérées d'une fonction.)

1°   Montrer que (pour tous $x,y\in A$)

$x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow \exists p,q\in \mathbb {N} \quad f^{p}(x)=f^{q}(y)$.

2°   Montrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence sur $A$.

3°  Soit $C$ une classe d'équivalence pour ${\mathcal {R}}$.

a)  Montrer que $f(C)=C\cap \operatorname {Im} (f)$.

b)  Montrer que si $a\in C\setminus f(C)$ alors $C=\{f^{n}(a)\mid n\in \mathbb {N} \}$ et $C\setminus f(C)=\{a\}$.

4°  Montrer que toute partie $X\subset A$ telle que $f(X)=X$ est une réunion de classes d'équivalence.

5°  Soit $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ définie par : $f(n)={\begin{cases}n+2&{\text{si }}&n<0\\n+4&{\text{si }}&n\geq 0.\end{cases}}$

a)  Montrer que $f$ est injective.

b)  Déterminer $\operatorname {Im} (f)$.

c)  Décrire les classes d'équivalence de la relation ${\mathcal {R}}$ associée à $f$.

Solution

1°   Si $y=f^{n}(x){\text{ ou }}x=f^{n}(y)$ alors $f^{p}(x)=f^{q}(y)$, pour $(p,q)=(n,0){\text{ ou }}(0,n)$.

Réciproquement, si $f^{p}(x)=f^{q}(y)$ avec $p,q\in \mathbb {N}$ :

• si $q\leq p$, alors $f^{p-q}(x)=y$ (par injectivité de $f^{q}$) ;
• de même, si $q\leq p$ alors $f^{q-p}(y)=x$.

Dans les deux cas, $x{\mathcal {R}}y$.

2°   La réflexivité et la symétrie de ${\mathcal {R}}$ étant immédiates (par définition de $f^{0}$ et de ${\mathcal {R}}$), démontrons la transitivité, grâce à la question précédente. Supposons donc $x{\mathcal {R}}y$ et $y{\mathcal {R}}z$. Il existe alors $p,q,r,s\in \mathbb {N}$ tels que $f^{p}(x)=f^{q}(y)$ et $f^{r}(y)=f^{s}(z)$, d'où $f^{p+r}(x)=f^{q+r}(y)=f^{q+s}(z)$ et donc $x{\mathcal {R}}z$.

3°  a)  Pour tout $x\in A$, puisque $f(x){\mathcal {R}}x$, on a $x\in C\Leftrightarrow f(x)\in C\Leftrightarrow f(x)\in C\cap \operatorname {Im} (f)$.

b)   Si $a\in C\setminus f(C)$ alors (par définition de ${\mathcal {R}}$ et puisque $a\notin \operatorname {Im} (f)$) $\forall x\in A\quad x\in C\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}a\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} \quad x=f^{n}(a)$, donc $a$ est l'unique élément de $C\setminus \operatorname {Im} (f)=C\setminus f(C)$.

4°  Soit $X$ une telle partie, montrons que $X=\cup _{x\in X}{\overline {x}}$, où ${\overline {x}}$ désigne la classe d'équivalence de $x$. Autrement dit : pour tout $x\in X$, montrons que ${\overline {x}}\subset X$, c'est-à-dire que $y{\mathcal {R}}x\Rightarrow y\in X$. Si $y=f^{n}(x)$ (pour un certain $n\in \mathbb {N}$), on a bien sûr $y\in f^{n}(X)=X$. Mais si $x=f^{n}(y)$, on a aussi $y\in \left(f^{n}\right)^{-1}(X)=X$ (car $f^{-1}(X)$ est égal à $f^{-1}(f(X))$ par hypothèse, c'est-à-dire — par injectivité de $f$ — à $X$).

5°  a)  $f$ envoie injectivement $\mathbb {Z} \setminus \mathbb {N}$ sur $A=\{\dots ,-2,-1,0,1\}$ et $\mathbb {N}$ sur $B=\{4,5,6,\dots \}$. Comme $A$ et $B$ sont disjoints, $f$ est injective.

b)  $\operatorname {Im} (f)=A\cup B=\mathbb {Z} \setminus \{2,3\}$.

c)  Il y a quatre classes : ${\overline {2}}=2+4\mathbb {N}$, ${\overline {3}}=3+4\mathbb {N}$, ${\overline {0}}=4\mathbb {N} \cup -2\mathbb {N}$ et ${\overline {1}}=1+{\overline {0}}$.

 

Exercice 1-2

Les relations $(X,\Gamma )$ suivantes sont-elles des relations d'équivalence ? Si oui, décrire les classes d'équivalence et l'ensemble quotient.

1. $X=\mathbb {Z}$, $\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid x+y\in 2\mathbb {Z} \}$.
2. $X=\mathbb {R}$, $\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \cos(2x)=\cos(2y)\}$.
3. $X=\mathbb {R}$, $\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}-y^{2}=x-y\}$.
4. $X=\mathbb {Z}$, $\Gamma =\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid x^{2}-y^{2}\in 3\mathbb {Z} \}$.
5. $X=\mathbb {Z} ^{2}$, $\Gamma =\{((x,y),(x',y'))\in X^{2}\mid (x+x',y^{2}-y'^{2})\in (2\mathbb {Z} )\times (3\mathbb {Z} )\}$.
6. $X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$, $\Gamma =\{(u,v)\in X^{2}\mid \exists \lambda \in \mathbb {R} \quad v=\lambda u\}$.

Solution

1. Oui : c'est la relation « avoir même parité que ». Elle partitionne $\mathbb {Z}$ en deux classes : les entiers pairs et les impairs. Formellement : $X/\Gamma =\{2\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} +1\}$.
2. Oui, comme toute relation dont le graphe est de la forme $\{(x,y)\in X^{2}\mid f(x)=f(y)\}$. La classe d'équivalence d'un réel $x$ est $\pm x+\pi \mathbb {Z}$ et l'ensemble quotient est en bijection avec $[-1,1]$ : $X/\Gamma =\{C_{t}\mid t\in [-1,1]\}$ avec $C_{t}=\{x\in \mathbb {R} \mid \cos(2x)=t\}$.
3. Oui comme précédemment, car $x^{2}-y^{2}=x-y$ se réécrit $x^{2}-x=y^{2}-y$. En étudiant les variations de la fonction $x\mapsto x^{2}-x$, on trouve que les classes d'équivalence sont le singleton $\{1/2\}$ et les paires $\{1/2-h,1/2+h\}$ pour chaque $h>0$. L'ensemble quotient est ainsi en bijection avec $\mathbb {R} _{+}$.
4. Oui comme précédemment, en posant $f(x)=$ la classe de $x^{2}{\bmod {3}}$. Il y a donc 2 classes : les entiers divisibles par 3 et les autres.
5. Oui comme précédemment, en posant $f(x,y)=(x{\bmod {2}},y^{2}{\bmod {3}})\in (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )$. Il y a donc 4 classes : $2\mathbb {Z} \times 3\mathbb {Z}$, $(2\mathbb {Z} +1)\times 3Z$, $2\mathbb {Z} \times Y$ et $(2\mathbb {Z} +1)\times Y$, en notant $Y$ l'ensemble des entiers non divisibles par 3.
6. Oui, cf. Droite projective.

 

Exercice 1-3

Soient $(E,{\mathcal {R}})$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence et $f:F\to E$ une application.

Montrer élégamment (au lieu de vérifier séparément les trois propriétés usuelles) que la relation ${\mathcal {S}}$ sur $F$ définie par

$x{\mathcal {S}}y\Longleftrightarrow f(x){\mathcal {R}}f(y)$

est une relation d'équivalence.

Solution

Pour tout $x\in F$, notons $g(x)\in E/{\mathcal {R}}$ la ${\mathcal {R}}$-classe de $f(x)$. Alors,

$x{\mathcal {S}}y\Longleftrightarrow g(x)=g(y)$.

 

Exercice 1-4

1. Montrer que sur $X=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, la relation ${\mathcal {R}}$ définie par $(m,n){\mathcal {R}}(m',n')\Longleftrightarrow m+n'=n+m'$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que sur $X/{\mathcal {R}}$, les deux opérations suivantes sont bien définies :
   ${\overline {(m,n)}}+{\overline {(s,t)}}={\overline {(m+s,n+t)}}$ et ${\overline {(m,n)}}\cdot {\overline {(s,t)}}={\overline {(ms+nt,ns+mt)}}$.
3. Quel est l'intérêt de cette construction ?

Solution

1. • Réflexivité : $m+n=n+m$.
   • Symétrie : si $m+n'=n+m'$ alors $m'+n=n'+m$.
   • Transitivité : si $m+n'=n+m'$ et $m'+n''=n'+m''$ alors $m+n'+n''=n+m'+n''=n+n'+m''$ donc $m+{\cancel {n'}}+n''=n+{\cancel {n'}}+m''$.
2. Si $m+n'=n+m'$ et $s+t'=t+s'$ alors
   • $m+s+n'+t'=n+t+m'+s'$ (donc la première opération est bien définie) et
   • $ms+nt+n's'+m't'+nt'+ms'=ms+nt+(m+n')s'+(n+m')t'=ms+nt+(n+m')s'+(m+n')t'$$=m(t+s')+n(s+t')+m's'+n't'=ns+mt+m's'+n't'+nt'+ms'$ donc
     $ms+nt+n's'+m't'{\cancel {+nt'+ms'}}=ns+mt+m's'+n't'{\cancel {+nt'+ms'}}$ (donc la seconde aussi).
3. L'ensemble quotient $X/{\mathcal {R}}$, muni de ces deux opérations, constitue l'anneau $(\mathbb {Z} ,+,\times )$ des entiers relatifs.

 

Exercice 1-5

Pour un ensemble infini $E$ fixé, notons

$\operatorname {cofin} (E)=\{C\in {\mathcal {P}}(E)\mid {\overline {C}}{\text{ est fini}}\}$

où ${\overline {C}}$ désigne le complémentaire de $C$ dans $E$, et définissons sur ${\mathcal {P}}(E)$ la relation ${\mathcal {R}}$ suivante :

$A{\mathcal {R}}B\Longleftrightarrow \exists C\in \operatorname {cofin} (E)\quad A\cap C=B\cap C$.

1. Montrer que $\operatorname {cofin} (E)$ est non vide et stable par intersection (c'est-à-dire $\forall C,D\in \operatorname {cofin} (E)\quad C\cap D\in \operatorname {cofin} (E)$).
2. Montrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
3. Montrer que pour tous $A,B\subset E$, $A{\mathcal {R}}B$ si et seulement si la différence symétrique $A\Delta B$ est finie.
4. Donner un exemple de deux parties de $E$ qui ne sont pas en relation par ${\mathcal {R}}$.

Solution

1. $E\in \operatorname {cofin} (E)$ car l'ensemble ${\overline {E}}=\varnothing$ est fini.
   $\forall C,D\in \operatorname {cofin} (E)\quad C\cap D\in \operatorname {cofin} (E)$ car l'ensemble ${\overline {C\cap D}}={\overline {C}}\cup {\overline {D}}$ est fini.
2. La symétrie est immédiate. La réflexivité et la transitivité se déduisent de la question précédente (pour la transitivité, on écrit que si $X\cap C=Y\cap C$ et $Y\cap D=Z\cap D$ alors $X\cap (C\cap D)=Z\cap (C\cap D)$).
3. $A\cap C=B\cap C\Leftrightarrow (A\cap C)\Delta (B\cap C)=\varnothing \Leftrightarrow (A\Delta B)\cap C=\varnothing \Leftrightarrow A\Delta B\subset {\overline {C}}$, et $\exists C\in \operatorname {cofin} (E)\quad A\Delta B\subset {\overline {C}}\Longleftrightarrow A\Delta B{\text{ est fini}}$.
4. $E\Delta \varnothing =E$ n'est pas fini.

 

Exercice 1-6

Soient $E$ un ensemble et $A$ une partie fixée de $E$. On définit une relation ${\mathcal {R}}$ sur ${\mathcal {P}}(E)$ par :

$X{\mathcal {R}}Y\Longleftrightarrow X\cup A=Y\cup A$.

1. Justifier que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
2. Trouver un sous-ensemble $B$ de $E$ tel que l'application ${\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(E)/{\mathcal {R}},\;X\mapsto \operatorname {cl} (X)$ soit bijective.

Solution

1. $X{\mathcal {R}}Y\Longleftrightarrow f(X)=f(Y)$, où $f$ est l'application de ${\mathcal {P}}(E)$ dans lui-même définie par : $f(X)=X\cup A$.
2. $B=E\setminus A$ convient car pour tout $X\in {\mathcal {P}}(E)$, il existe une unique partie $Y$ de $E\setminus A$ telle que $X\cup A=Y\cup A$ : la partie $X\setminus A$.

 

Exercice 1-7

On note $\mathbb {F} _{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},-{\overline {1}}\}$ l'ensemble des classes de congruence modulo $3$, muni des opérations $+$ et $\times$ (déduites, par passage au quotient, des opérations usuelles sur $\mathbb {Z}$, donc héritant des bonnes propriétés de ces opérations usuelles — associativité, commutativité, neutres, distributivité — qui font de $\mathbb {F} _{3}$ ce qu'on appelle un anneau commutatif unitaire).

1. Dresser les tables de ces deux opérations sur $\mathbb {F} _{3}$.
2. Soit $A=\mathbb {F} _{3}[X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb {F} _{3}$ et $B\subset A$ le sous-ensemble des polynômes de degré strictement inférieur à $2$ (y compris le polynôme ${\overline {0}}$, qui par convention est de degré $-\infty$).
   Dresser la liste des éléments de $B$.
3. En notant $q(P)$ et $r(P)$ (pour tout $P\in A$) le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^{2}+{\overline {1}}$ dans $A$, caractérisés par
   $q(P)\in A,\quad r(P)\in B\quad {\text{et}}\quad P=\left(X^{2}+{\overline {1}}\right)q(P)+r(P)$,
   on définit sur $A$ une relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$ par :
   $P{\mathcal {R}}Q\Leftrightarrow r(P)=r(Q)$.
   On note $\operatorname {cl} (P)$ la ${\mathcal {R}}$-classe d'un élément $P\in A$.
   Montrer que l'application
   ${\overline {r}}:A/{\mathcal {R}}\to B,\quad \operatorname {cl} (P)\mapsto r(P)$
   est bien définie et bijective.
4. Montrer que $P{\mathcal {R}}Q$ si et seulement si $X^{2}+{\overline {1}}\mid P-Q$ (c'est-à-dire si $P-Q$ est le produit de $X^{2}+{\overline {1}}$ par un polynôme de $A$).
5. Montrer qu'il existe une unique application $\oplus :A/{\mathcal {R}}\times A/{\mathcal {R}}\to A/{\mathcal {R}}$ et une unique application $\otimes :A/{\mathcal {R}}\times A/{\mathcal {R}}\to A/{\mathcal {R}}$ telles que
   $\forall P,Q\in A\quad \operatorname {cl} (P)\oplus \operatorname {cl} (Q)=\operatorname {cl} (P+Q){\text{ et }}\operatorname {cl} (P)\otimes \operatorname {cl} (Q)=\operatorname {cl} (P\times Q)$.
6. Calculer $r(-X^{2})$ et $r((X+{\overline {1}})(X-{\overline {1}}))$, puis montrer que
   $\forall P\in B\setminus \{{\overline {0}}\}\quad \exists Q\in B\quad r(P\times Q)={\overline {1}}$.
   Comment cette propriété se traduit-elle sur les éléments de l'anneau $A/{\mathcal {R}}$ ?

Solution

1. ${\begin{array}{c|ccc}+&{\overline {0}}&{\overline {1}}&-{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&-{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&-{\overline {1}}&{\overline {0}}\\-{\overline {1}}&-{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\end{array}},\quad {\begin{array}{c|ccc}\times &{\overline {0}}&{\overline {1}}&-{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\{\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&-{\overline {1}}\\-{\overline {1}}&{\overline {0}}&-{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\end{array}}$
2. $B$ a $9$ éléments : ${\overline {0}},{\overline {1}},-{\overline {1}},X,X+{\overline {1}},X-{\overline {1}},-X,-X+{\overline {1}},-X-{\overline {1}}$.
3. L'application ${\overline {r}}$ est bien définie et injective car $\operatorname {cl} (P)=\operatorname {cl} (P)\Leftrightarrow P{\mathcal {R}}Q\Leftrightarrow r(P)=r(Q)$. Elle est surjective car $\forall P\in B\quad P=r(P)={\overline {r}}(\operatorname {cl} (P))$.
4. $X^{2}+{\overline {1}}\mid P-Q\Leftrightarrow r(P-Q)=0\Leftrightarrow r(P)-r(Q)=0$.
5. La formule $\operatorname {cl} (P)\oplus \operatorname {cl} (Q)=\operatorname {cl} (P+Q)$ détermine au plus une application $\oplus :A/{\mathcal {R}}\times A/{\mathcal {R}}\to A/{\mathcal {R}}$. De même pour $\otimes$. Démontrer leur existence revient à vérifier que les formules définissent $\oplus$ et $\otimes$ de façon ambiguë, c'est-à-dire que si $\operatorname {cl} \left(P_{1}\right)=\operatorname {cl} \left(P_{2}\right)$ et $\operatorname {cl} \left(Q_{1}\right)=\operatorname {cl} \left(Q_{2}\right)$, alors $\operatorname {cl} \left(P_{1}+Q_{1}\right)=\operatorname {cl} \left(P_{2}+Q_{2}\right)$ et $\operatorname {cl} \left(P_{1}\times Q_{1}\right)=\operatorname {cl} \left(P_{2}\times Q_{2}\right)$. Si $r(P_{1})=r(P_{2})$ et $r(Q_{1})=r(Q_{2})$, alors :
   • pour $\oplus$ : $r\left(P_{1}+Q_{1}\right)-r\left(P_{2}+Q_{2}\right)=r\left(P_{1}\right)+r\left(Q_{1}\right)-r\left(P_{2}\right)-r\left(Q_{2}\right)=0$ ;
   • pour $\otimes$, on utilise la question précédente : $X^{2}+{\overline {1}}$ divise $P_{1}-P_{2}$ et $Q_{1}-Q_{2}$ donc $P_{1}Q_{1}-P_{2}Q_{2}=P_{1}\left(Q_{1}-Q_{2}\right)+\left(P_{1}-P_{2}\right)Q_{2}$ est aussi divisible par $X^{2}+{\overline {1}}$.
6. $-X^{2}=-(X^{2}+{\overline {1}})+{\overline {1}}$ et $X^{2}-{\overline {1}}=(X^{2}+{\overline {1}})+{\overline {1}}$ (car ${\overline {1}}+{\overline {1}}+{\overline {1}}={\overline {3}}={\overline {0}}$) donc $r(-X^{2})$ et $r((X+{\overline {1}})(X-{\overline {1}}))$ sont égaux à ${\overline {1}}$. Ceci fournit, pour les 6 éléments $P=\pm X,\pm (X+{\overline {1}}),\pm (X-{\overline {1}})$ de $B\setminus \{{\overline {0}}\}$, un $Q\in B$ tel que $r(P\times Q)=1$. Pour les 2 éléments restants, $P=\pm {\overline {1}}$, la solution est évidente : $Q=P$. Cette propriété signifie que dans l'anneau $A/{\mathcal {R}}$, tout élément non nul est inversible :
   $\forall x\in A/{\mathcal {R}}\setminus \{\operatorname {cl} ({\overline {0}})\}\quad \exists y\in A/{\mathcal {R}}\quad x\otimes y=\operatorname {cl} ({\overline {1}})$.
   $(A/{\mathcal {R}},\oplus ,\otimes )$ est un corps à 9 éléments.

 

Exercice 1-8

Soit ${\mathcal {R}}$ la relation binaire sur $\mathbb {R}$ définie par :

$x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow x^{2}-y^{2}=x-y$.

1. Montrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
2. Décrire ses classes d'équivalence, et l'ensemble quotient $\mathbb {R} /{\mathcal {R}}$.
3. Donner un exemple de partie $X$ de $\mathbb {R}$ contenant exactement un élément de chaque classe.

Solution

1. $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ pour (par exemple) $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto t^{2}-t$. Ceci suffit à prouver que que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
2. On a aussi $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow (x-1/2)^{2}=(y-1/2)^{2}\Leftrightarrow y-1/2=\pm (x-1/2)\Leftrightarrow y\in \{x,1-x\}$ donc les classes sont les paires de réels de somme $1$ et le singleton $\{1/2\}$. L'ensemble quotient a pour éléments ces paires et ce singleton : $\mathbb {R} /{\mathcal {R}}=\{\{1/2-s,1/2+s\}\mid s\in \mathbb {R} _{+}\}$.
3. $X=\left[1/2,+\infty \right[$ convient.

 

Soit ${\mathcal {R}}$ la relation binaire sur $\mathbb {R}$ définie par :

$x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow x^{3}-y^{3}=3\left(x-y\right)$.

1. Montrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que chaque ${\mathcal {R}}$-classe a au plus 3 éléments.
3. Pour préciser le résultat précédent, on pose
   $A_{k}:=\{x\in \mathbb {R} \mid {\text{la classe de }}x{\text{ a exactement }}k{\text{ éléments}}\}$.
   Déterminer les ensembles $A_{3}$, $A_{2}$, $A_{1}$ et $A_{0}$ (il pourra éventuellement être utile de remarquer que $-1\;{\mathcal {R}}\;2$).
4. Donner un exemple de partie $X$ de $\mathbb {R}$ contenant exactement un élément de chaque classe.
5. Montrer qu'une telle partie $X$ a la puissance du continu.

Solution

1. $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$, où $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est définie par : $f(t)=t^{3}-3t$.
2. La classe d'équivalence d'un réel $x$ est l'ensemble des antécédents par $f$ du réel $f(x)$. Sur $\mathbb {R}$ (comme sur n'importe quel corps commutatif), un polynôme de degré 3 ne peut pas prendre 4 fois la même valeur.
3. $A_{0}=\varnothing$ car toute classe d'équivalence est non vide. On peut déterminer $A_{1},A_{2},A_{3}$ de deux façons :
   • Méthode analytique : le tableau des variations de $f$ :
     ${\begin{array}{c|ccccccccccc|}x&-\infty &&-2&&-1&&1&&2&&+\infty \\\hline &&&&&&&&&&&+\infty \\&&&&&&&&&&\nearrow &\\&&&&&2&&&&2&&\\f(x)&&&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-2&&&&-2&&&&\\&&\nearrow &&&&&&&&&\\&-\infty &&&&&&&&&&\\\hline \end{array}}$
     donne :
     $A_{3}=\left]-2,2\right[\setminus \{-1,1\},\quad A_{2}=\{-2,-1,1,2\}\quad {\text{et}}\quad A_{1}=\left]-\infty ,-2\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.
   • Méthode algébrique : déterminons la classe d'un réel $a$, c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ tels que $x^{3}-a^{3}=3(x-a)$, ou encore : $(x-a)(x^{2}+ax+a^{2}-3)=0$. Mis à part $a$ lui-même, ce sont les réels $x$ solutions de $x^{2}+ax+a^{2}-3=0$. Il y en a deux distinctes si $\Delta :=a^{2}-4(a^{2}-3)=3(4-a^{2})$ est $>0$, une si $\Delta =0$, et aucune si $\Delta <0$. En général, la classe de $a$ contient, dans chacun de ces trois cas, un élément de plus ($a$), sauf si a figure déjà parmi les solutions de $x^{2}+ax+a^{2}-3=0$, c'est-à-dire sauf si $a=\pm 1$, auquel cas $\Delta >0$ mais la classe de $a$ contient seulement $2$ éléments et pas $2+1=3$. Par conséquent, $a\in A_{3}$ si $\Delta >0$ et $a\neq \pm 1$, $a\in A_{2}$ si $\Delta =0$ ou $a=\pm 1$, et $a\in A_{1}$ si $\Delta <0$.
     On retrouve bien $A_{3}=\left]-2,2\right[\setminus \{-1,1\}$, $A_{2}=\{-2,-1,1,2\}$ et $A_{1}=\left]-\infty ,-2\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.
4. D'après l'étude ci-dessus, $X=\left]-\infty ,-2\right[\cup \left[1,+\infty \right[$ convient.
5. L'application $X\to f(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ,\;x\mapsto f(x)$ est bijective par construction.

 

Soit ${\mathcal {R}}$ la relation sur $\mathbb {R}$ définie par :

$x{\mathcal {R}}y\Longleftrightarrow x^{3}-y^{3}=3\left(x^{2}-y^{2}\right)$.

1. Montrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence.
2. Montrer que les ${\mathcal {R}}$-classes sont finies et pour tout $k\in \mathbb {N}$, déterminer l'ensemble

   $A_{k}:=\{x\in \mathbb {R} \mid {\text{la classe de }}x{\text{ a exactement }}k{\text{ éléments}}\}$.

3. Donner un exemple de partie $X$ de $\mathbb {R}$ contenant exactement un élément de chaque classe.

Solution

1. $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$, où $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ est définie par : $f(t)=t^{3}-3t^{2}$.
2. La classe d'équivalence d'un réel $x$ est l'ensemble des antécédents par $f$ du réel $f(x)$. Sur $\mathbb {R}$ (comme sur n'importe quel corps commutatif), un polynôme de degré 3 ne peut pas prendre 4 fois la même valeur donc les classes sont finies et si $k\geq 4$, $A_{k}=\varnothing$.
   $A_{0}=\varnothing$ car toute classe d'équivalence est non vide. On peut déterminer $A_{1},A_{2},A_{3}$ de deux façons :
   • Méthode analytique : le tableau des variations de $f$ :
     ${\begin{array}{c|ccccccccccc|}x&-\infty &&-1&&0&&2&&3&&+\infty \\\hline &&&&&&&&&&&+\infty \\&&&&&&&&&&\nearrow &\\&&&&&0&&&&0&&\\f(x)&&&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-4&&&&-4&&&&\\&&\nearrow &&&&&&&&&\\&-\infty &&&&&&&&&&\\\hline \end{array}}$
     donne :
     $A_{3}=\left]-1,3\right[\setminus \{0,2\},\quad A_{2}=\{-1,0,2,3\}\quad {\text{et}}\quad A_{1}=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]3,+\infty \right[$.
   • Méthode algébrique : déterminons la classe d'un réel $a$, c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ tels que $x^{3}-a^{3}=3(x^{2}-a^{2})$, ou encore : $(x-a)(x^{2}+ax+a^{2}-3x-3a)=0$. Mis à part $a$ lui-même, ce sont les réels $x$ solutions de $x^{2}+(a-3)x+(a^{2}-3a)=0$. Il y en a deux distinctes si $\Delta :=(a-3)^{2}-4(a^{2}-3a)=-3(a^{2}-2a-3)$ est $>0$ c'est-à-dire si $-1<a<3$, une si $\Delta =0$, et aucune si $\Delta <0$. En général, la classe de $a$ contient, dans chacun de ces trois cas, un élément de plus ($a$), sauf si $a$ figure déjà parmi les solutions de $x^{2}+(a-3)x+(a^{2}-3a)=0$, c'est-à-dire sauf si $a=0$ ou $2$, auquel cas $\Delta >0$ mais la classe de $a$ contient seulement $2$ éléments et pas $2+1=3$.
     On retrouve bien $A_{3}=\left]-1,3\right[\setminus \{0,2\}$, $A_{2}=\{-1,0,2,3\}$ et $A_{1}=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]3,+\infty \right[$.
3. D'après l'étude ci-dessus, $X=\left]-\infty ,-1\right[\cup \left[2,+\infty \right[$ convient (par exemple).

 

Exercice 1-9

On rappelle que :

• deux matrices carrées $A,B\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )$ sont dites semblables, ce que nous noterons $A{\mathcal {S}}B$, s'il existe une matrice inversible, $P\in \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )$, telle que $B=P^{-1}AP$ ;
• ${\mathcal {S}}$ est une relation d'équivalence sur $\operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )$.

On notera $[A]$ la ${\mathcal {S}}$-classe d'une matrice $A$, et $\det(A)$ son déterminant.

1. Montrer qu'il existe une unique application ${\overline {\det }}:\operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )/{\mathcal {S}}\to \mathbb {R}$ telle que
   $\forall A\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )\quad {\overline {\det(}}[A])=\det(A)$.
2. Cette application est-elle surjective ? injective ?

Solution

1. L'application ${\overline {\det }}$, si elle existe, est nécessairement unique car l'équation ${\overline {\det(}}[A])=\det(A)$ la détermine complètement. Pour montrer qu'elle existe — c'est-à-dire que cette définition de ${\overline {\det(}}[A])$ est non ambiguë — il suffit de vérifier que $A{\mathcal {S}}B\Rightarrow \det(A)=\det(B)$. Si $B=P^{-1}AP$, on a bien $\det(B)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)=\det(A)\det(P^{-1})\det(P)=\det(AP^{-1}P)=\det(A\mathrm {I} _{n})=\det(A)$.
2. ${\overline {\det }}$ est surjective car $\operatorname {im} ({\overline {\det }})=\operatorname {im} (\det )=\mathbb {R}$ (pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, par exemple, ${\begin{vmatrix}\lambda &0\\0&1\end{vmatrix}}=\lambda$). Elle n'est pas injective car, par exemple, les matrices $A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ et $B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ ont même déterminant mais ne sont pas semblables, donc ${\overline {\det(}}[A])={\overline {\det(}}[B])$ mais $[A]\neq [B]$.

 

Exercice 1-10

Soient $F$ et $G$ deux ensembles et $E=G^{F}$ l'ensemble des applications de $F$ dans $G$. On suppose $F$ non vide et l'on fixe un élément $x\in F$.

Pour tout $y\in G$, on note ensuite $A_{y}:=\{f\in E\mid f(x)=y\}$. Montrer que ces ensembles $A_{y}$ forment une partition de $E$.

Solution

La relation ${\mathcal {R}}$ sur $E$ définie par $f{\mathcal {R}}g\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ est une relation d'équivalence et les $A_{y}$ sont ses classes.

 

Exercice 1-11

On définit, sur l'espace $\mathbb {R} _{4}[X]$ des polynômes réels de degré $\leq 4$, une relation ${\mathcal {R}}$ par : $A{\mathcal {R}}B\Leftrightarrow A-B\in \mathbb {R} _{2}[X]$. Démontrer que ${\mathcal {R}}$ est une relation d'équivalence et expliciter la classe $\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(X^{k})$ pour $k=0,1,2,3,4$.

Solution

$A{\mathcal {R}}B\Leftrightarrow A$ et $B$ ont les mêmes coefficients en degrés 3 et 4.

$\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(1)=\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(X)=\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(X^{2})=\mathbb {R} _{2}[X]$, $\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(X^{3})=X^{3}+\mathbb {R} _{2}[X]$ et $\mathrm {cl} _{\mathcal {R}}(X^{4})=X^{4}+\mathbb {R} _{2}[X]$.

 

Exercice 1-12

1. Démontrer que la relation $\complement _{E}A\subset B$ entre sous-ensembles de $E$ est symétrique.
2. De même pour la relation $B\subset \complement _{E}A$.

Solution

1. $\complement _{E}A\subset B\Leftrightarrow A\cup B=E$, or $A\cup B=B\cup A$.
2. $B\subset \complement _{E}A\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$, or $A\cap B=B\cap A$.

 

Exercice 1-13

Soient $n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z}$ et ${\mathcal {R}}_{i}$ la relation de congruence $x\equiv y{\bmod {n_{i}}}$ dans $\mathbb {Z}$. Calculer l'intersection des ${\mathcal {R}}_{i}$.

Solution

On a $x\equiv y{\bmod {n_{i}}}$ pour tout $i\in \{1,\dots ,k\}$ si et seulement si $x\equiv y{\bmod {\operatorname {ppcm} (n_{1},\dots ,n_{k})}}$ (voir Arithmétique/PPCM).

 

Exercice 1-14

Soient $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

Montrer que tout supplémentaire de $F$ dans $E$ est un ensemble de représentants pour la relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$ sur $E$ définie par : $x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x-y\in F$.

Solution

Soit $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$. Par projection, $\forall x\in E\quad \exists !y\in G\quad x{\mathcal {R}}y$.

 

Exercice 1-15

Sur l'ensemble $E^{\mathbb {N} }$, on définit la relation $\sim$ par :

$(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }\sim (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\Leftrightarrow \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=v_{n}$.

Démontrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.

Solution

La réflexivité et la symétrie sont immédiates. Vérifions la transitivité. Soient $u,v,w$ trois suites telles que $u\sim v$ et $v\sim w$. Il existe donc $N,N'\in \mathbb {N}$ tels que $\forall n\geq N\quad u_{n}=v_{n}$ et $\forall n\geq N'\quad v_{n}=w_{n}$. Alors, $\forall n\geq \max(N,N')\quad u_{n}=w_{n}$, ce qui prouve que $u\sim w$.

 

Exercice 1-16

Quels intervalles sont des ensembles de représentants pour la relation de congruence modulo $2\pi$ sur $\mathbb {R}$ ?

Solution

Les intervalles de la forme $\left[a,a+2\pi \right[$ ou $\left]a,a+2\pi \right]$.