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**PPCM**
Leçon : Arithmétique

Chapitre 5
Chap. préc. :	Théorèmes de Bézout et Gauss

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Arithmétique/PPCM », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définition
2 Théorème
3 Propriété

[modifier] Définition

Le plus petit multiple commun à $a\,$ et $b\,$ est l'entier $m \ne 0\,$ tel que :

$a|m\,$ et $b|m\,$
Pour tout multiple $M \ne 0$ de a et de a, $M \ge$ m

Définition

$\forall (a,b) \in \mathbb{N}^{*2}$ , le PPCM de a et b est noté $ppcm(a,b)\,$

PPCM de 2 entiers relatifs

Définition

$\forall (a,b) \in \mathbb{Z}^{*2}$ , $ppcm(a,b) = ppcm(|a|,|b|)\,$

[modifier] Théorème

Théorème

L'ensemble des multiples communs à 2 entier naturels non nuls est l'ensemble des multiples de leur PPCM

Démonstration

Tout multiple de $ppcm(a,b)\,$ est multiple commun à $a\,$ et à $b\,$ .

$m = ppcm(a,b) \Rightarrow m = ka\,$ et $m = k'b\,$ avec $(k,k') \in \mathbb{N}^{*2}$
Un multiple de $ppcm(a,b)\,$ est $qm\,$ avec $q \in \mathbb{N}^{*}$

$qm = qka\,$ et $qm = qk'b\,$
On en déduit que $qm\,$ est un multiple de $a\,$ et $b\,$

Soit $m \ne 0$ , un multiple commun à $a\,$ et $b\,$ et soit $m = ppcm(a,b)\,$

$M = mq + r\,$ avec $0 \le r < m$

$a|M\,$ et $a|m \Rightarrow a|(M-q) \Rightarrow a|r\,$

De même : $b|r\,$

Alors $r\,$ est un multiple commun à $a\,$ et $b\,$ et $r < m\,$ donc $r = 0\,$

On en déduit que $M = mq \Rightarrow M$ est un multiple de $m\,$

[modifier] Propriété

[modifier] Propriété 1

Propriété

a, b, n des entiers naturels non nuls
Si $a|n\,$ et $b|n\,$ alors $ppcm(a,b)|n\,$

[modifier] Propriété 2

Propriété

$a$ et $b$ des entiers naturels non nuls et $m = p p c m (a, b)$
$\begin{cases} m=ka & k \in \mathbb{N}^{*} \mbox{ et } \lambda \in \mathbb{N}^{*}\\ m=\lambda b & \mbox{et }k\mbox{ et } \lambda \mbox{ premiers entre eux}\end{cases}$

[modifier] Propriété 3

Décomposition en facteur premiers

Propriété

On prend tous les facteurs intervenant dans les décompositions, chacun d'entre-eux à son plus grand exposant

Exemple

$a=60 \qquad a = 2^2 \times 3 \times 5\,$
$b=48 \qquad a = 2^4 \times 3\,$

$ppcm(a,b) = 2^4 \times 3 \times 5\,$

Arithmétique/PPCM

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Sommaire

[modifier] Définition

[modifier] Théorème

[modifier] Propriété

[modifier] Propriété 1

[modifier] Propriété 2

[modifier] Propriété 3

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