Application linéaire/Projecteurs, symétries

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**Projecteurs, symétries**
Leçon : Application linéaire

Chapitre 3
Chap. préc. :	Propriétés générales
Chap. suiv. :	Dimension finie

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application linéaire : Projecteurs, symétries
Application linéaire/Projecteurs, symétries », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soit E un $\scriptstyle\mathbb K$ -espace vectoriel.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E : $E=F\oplus G$

Sommaire

1 Projecteurs
- 1.1 Définition
- 1.2 Caractérisation
2 Symétries
- 2.1 Définition
- 2.2 Caractérisation

[modifier] Projecteurs

[modifier] Définition

Projection sur G parallèlement à F

Définition

Il existe un unique endomorphisme p de E défini par :

$p|_F=0\,$
$p|_G=\mathrm{Id}_G\,$

p est appelé projecteur sur G parallèlement à F.

Propriété

$\mathrm{Ker}(p)=F\,$
$\mathrm{Im}(p)=G\,$

On remarque qu'un projecteur projette sur son image parallèlement à son noyau.

[modifier] Caractérisation

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E)$ . u est un projecteur ssi $u^2=u\,$ .

Démonstration

On suppose que u est un projecteur.
- $\forall x\in E,~u(x)\in\mathrm{Im}(u)\textrm{~donc~}u(x)=u(u(x))$
- Donc $u\circ u=u$
On suppose . Montrons que u est le projecteur sur Im(u) parallèlement à Ker(u). Cela se fait en plusieurs étapes :
- Vérifier que , ce qui se fait en deux temps :
  - Vérifier que
    - Soit $x\in E~:~x=(x-u(x))+u(x)$
    - $u(x)\in\mathrm{Im}(u)$
    - $u(x-u(x))=u(x)-(u\circ u)(x)=u(x)-u(x)=0$ donc $x-u(x)\in\mathrm{Ker}(u)$
    - Donc $E\subset\mathrm{Ker}(u)+\mathrm{Im}(u)$
    - L'inclusion inverse étant triviale, on a $E=\mathrm{Ker}(u)+\mathrm{Im}(u)\,$
  - Vérifier que
    - Soit $x\in\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)$
    - $x\in\mathrm{Ker}(u)$ donc u(x)=0
    - $x\in\mathrm{Im}(u)$ donc $\exists y\in E,~u(y)=x$
    - Donc u(y)=u(u(x))=u(0)=0 donc $\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)\subset\{0\}$
    - L'inclusion inverse étant triviale, $\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}$
- On a alors bien $\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Im}(u)=E$
- Montrons à présent que u est le projecteur sur Im(u) parallèlement à Ker(u):
  - $u_{\vert\mathrm{Ker}(u)}=0$
  - Soit $x\in\mathrm{Im}(u)$ . $\exists y\in E,~u(y)=x$
  - $u(x)=u(u(y))=(u\circ u)(y)=u(y)=x$
  - Donc $u_{\vert\mathrm{Im}(u)}$ est l'injection canonique de Im(u) dans E.
- Finalement, u est le projecteur sur Im(u) parallèlement à Ker(u).

[modifier] Symétries

[modifier] Définition

Symétrie par rapport à G parallèlement à F

Définition

Il existe un unique endomorphisme s de E défini par :

$s|_F=\mathrm{Id}_F\,$
$s|_G=\mathrm{Id}_G\,$

s est appelé symétrie par rapport à G parallèlement à F.

Propriété

$\mathrm{Ker}(s)=\{0\}\,$
$\mathrm{Im}(p)=E\,$

[modifier] Caractérisation

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E)$ . u est une symétrie ssi $u^2=\mathrm{Id}_E\,$ .

Démonstration

On suppose que u est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. On note p le projecteur sur F parallèlement à G.

$\begin{align}u\circ u&=(2p-\mathrm{Id}_E)\circ(2p-\mathrm{Id}_E)\\ &=4p^2-4p+\mathrm{Id}_E &=4p-4p+\mathrm{Id}_E=\mathrm{Id}_E \end{align}$

On suppose que $u\circ u=\mathrm{Id}_E$ . On pose $p=\frac{u+\mathrm{Id}_E}2$

$\begin{align}p\circ p&=\left(\frac{u+\mathrm{Id}_E}2\right)\circ\left(\frac{u+\mathrm{Id}_E}2\right)\\ &=\frac{u\circ u+2u+\mathrm{Id}_E}4\\ &=\frac{2u+2\mathrm{Id}_E}4=p \end{align}$

Donc p est un projecteur, donc u est une symétrie.

Application linéaire

Propriétés générales

Dimension finie

Application linéaire/Projecteurs, symétries

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Sommaire

[modifier] Projecteurs

[modifier] Définition

[modifier] Caractérisation

[modifier] Symétries

[modifier] Définition

[modifier] Caractérisation

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