Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence

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Définition

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique.

Exemples

• Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites du plan.
  • Demonstration :

1. Reflexive : Toute droite du plan est parallèle à elle-même (on notera //).
2. Transitive : Soient A,B,C trois droites. Si A // B et B // C alors A // C.
3. Symétrique : Soient A,B deux droites si A // B alors B // A

• Si H est un sous groupe de G alors si pour , on écrit alors R est une relation d'équivalence sur G.

Définition

Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R. Soit x dans E, on appelle classe d'équivalence de x selon R et on note CR(x) (ou bien C(x) ou s'il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de E R-équivalent à x,i.e. . On dit classe selon R, ou classe sous R ou classe modulo R.