Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection

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**Injection, surjection, bijection**
Leçon : Application (mathématiques)

Chapitre 3
Chap. préc. :	Opérations sur les fonctions
Chap. suiv. :	Famille

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[modifier] Les types d'applications

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application.

Nous disons que f est une application injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
$\forall x, x'\in E, f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ .
Nous disons que f est une application surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
$\forall y\in F, \exists x\in E, y=f(x)$ .
Nous disons que f est une application bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Notations :

Nous notons Inj(E, F), Surj(E, F), Bij(E, F) l'ensemble des injections, surjections, et bijections de E vers F.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F.

f est dite injective si et seulement si deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire
$\forall x, x'\in E, x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')$
(contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité.)
f est injective si et seulement si tout élément y de F possède au plus un antécédent par f.
f est injective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au plus une solution dans E.
f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet au moins une solution dans E.
f est bijective si et seulement si tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
$\forall y\in F, \exists ! x\in E, y=f(x)$ .
f est bijective si et seulement si pour tout élément y de F l'équation d'inconnue x, f(x)=y admet une unique solution dans E.

Propriétés immédiates

La composée de deux applications injectives est injective.
La composée de deux applications surjectives est surjective.
La composée de deux applications bijectives est bijective.

Proposition :

Soient E, F et G trois ensembles et des applications $f: E\rightarrow F$ , $g: F\rightarrow G$ .

$g\circ f$ injective implique que f injective.
$g\circ f$ surjective implique que g surjective.

[modifier] Application réciproque d'une application bijective

Définition

(application réciproque d'une bijection) :

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une application bijective.

L'application de F dans E, qui à tout élément de l'ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f⁻¹ et s'appelle l'application réciproque de f.

Théorème

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f:E\rightarrow F$ une bijection. Alors l'application réciproque f⁻¹ de f vérifie

$\forall x\in E, \forall y\in F, x=f^{-1}(y)\Leftrightarrow y=f(x)$

De plus

$f^{-1}\circ f=\operatorname{Id}_E$ et $f\circ f^{-1}=\operatorname{Id}_F$

L'application f⁻¹ est bijective et nous avons

$\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ (l'application réciproque de f⁻¹ est f)

Démonstration :

…

Remarque :

L'application réciproque d'une application bijective étant aussi bijective, elle est aussi appelée bijection réciproque de f.

Théorème

Soient E et F deux ensembles quelconques et $f: E\rightarrow F$ une application de E dans F. Alors f est bijective si et seulement s'il existe une application $g: F\rightarrow E$ telle que $g\circ f=\operatorname{Id}_E$ et $f\circ g=\operatorname{Id}_F$ . Dans le cas où f est bijective, nous avons g=f⁻¹.

Définition

(application involutive) :

Soient E un ensemble quelconque et f dans $\mathcal A(E)$ . f est dite involutive si $f\circ f=\operatorname{Id}_E$ .

Remarque :

D'après le théorème précédent, f est bijective et nous avons $f - 1 = f$ . (f est sa propre bijection réciproque).

Exemple

L'application identité d'un ensemble quelconque est involutive.
L'application $\begin{matrix}\mathbb R^* & \rightarrow & \mathbb R^*\\x & \mapsto & \frac{1}{x}\end{matrix}$ est involutive.
L'application $\begin{matrix}\mathbb C & \rightarrow & \mathbb C\\x & \mapsto & \overline{x}\end{matrix}$ est involutive.
Soit E un ensemble quelconque et l'ensemble des parties de E. L'application ( étant le complémentaire de X dans E) est une involution de .
- L'application $\begin{matrix}\mathbb R^3 & \rightarrow & \mathbb R^3\\(x, y, z) & \mapsto & (y, x, z)\end{matrix}$ est une involution de $\mathbb R^3$ .