Opérations sur les fonctions/Composition

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**Composition**
Leçon : Opérations sur les fonctions

Chapitre 4
Chap. préc. :	Produit et quotient

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Opérations sur les fonctions : Composition
Opérations sur les fonctions/Composition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Première approche

[modifier] Définition

Définition

Soient ƒ et g deux fonctions.

La fonction h définie par $h:x\mapsto f \left(g(x)\right)$

est appelée composée de g par ƒ, ou g suivie de ƒ.

On note $h=f\circ g$ et on lit « ƒ rond g » l'opération de composition :

Pour tout $x,~h(x)=f\circ g(x)$

L'opération de composition revient ainsi à appliquer les deux fonctions d'affilée.

$\begin{array}{ccccl} x&\underset g\mapsto & g(x) & \underset f\mapsto& f\left(g(x)\right)\\ \end{array}$

qui peut se ramener à

$\begin{array}{ccl} x&\underset {f\circ g}\mapsto & f\left(g(x)\right)\\ \end{array}$

Attention à l'ordre ! La composition n'est pas commutative en général.

En effet :

Pour tout $x,~f\circ g(x)=f\left(g(x)\right)$
Pour tout $x,~g\circ f(x)=g\left(f(x)\right)$

donnent des résultats différents. Voyons cela sur quelques exemples.

[modifier] Exemple 1

Exprimer dans chaque cas les composées $f\circ g$ et $g\circ f$

$\begin{cases} f:x\mapsto x^3\\ g:x\mapsto x + 2 \end{cases}$

$\begin{cases} f\circ g:x\mapsto \cdots\\ g\circ f:x\mapsto \cdots \end{cases}$

Solution

Calcul de $f\circ g$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset g\mapsto & x+2 & \underset f\mapsto& f\left(x+2\right)=(x+2)^3\\ \end{array}$

Pour tout $x,~f\circ g(x)=(x+2)^3$

Calcul de $g\circ f$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset f\mapsto & x^3 & \underset g\mapsto& g\left(x^3\right)=x^3+2\\ \end{array}$

Pour tout $x,~g\circ f(x)=x^3+2$

$\begin{cases} f:x\mapsto x + 2\\ g:x\mapsto x^2 \end{cases}$

$\begin{cases} f\circ g:x\mapsto \cdots\\ g\circ f:x\mapsto \cdots \end{cases}$

Solution

Calcul de $f\circ g$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset g\mapsto & x^2 & \underset f\mapsto& f\left(x^2\right)=x^2+2\\ \end{array}$

Pour tout $x,~f\circ g(x)=x^2+2$

Calcul de $g\circ f$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset f\mapsto & x+2 & \underset g\mapsto& g\left(x+2\right)=(x+2)^2\\ \end{array}$

Pour tout $x,~g\circ f(x)=(x+2)^2$

$\begin{cases} f:x\mapsto x^2\\ g:x\mapsto 2x \end{cases}$

$\begin{cases} f\circ g:x\mapsto \cdots\\ g\circ f:x\mapsto \cdots \end{cases}$

Solution

Calcul de $f\circ g$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset g\mapsto & 2x & \underset f\mapsto& f\left(2x\right)=4x^2\\ \end{array}$

Pour tout $x,~f\circ g(x)=4x^2$

Calcul de $g\circ f$ :

$\begin{array}{ccccl} x&\underset f\mapsto & x^2 & \underset g\mapsto& g\left(x^2\right)=2x^2\\ \end{array}$

Pour tout $x,~g\circ f(x)=2x^2$

[modifier] Exemple 2

Exprimer la fonction A suivante comme la composée de 3 fonctions ƒ, g et h :

Pour tout $x,~A:x\mapsto 2(x-1)^2 + 3$

On veut avoir $A=f\circ g \circ h$ avec

$f:x\mapsto \cdots$

$g:x\mapsto \cdots$

$h:x\mapsto \cdots$

Solution

On peut prendre

$f:x\mapsto 2x+3$

$g:x\mapsto x^2$

$h:x\mapsto x-1$

En effet, pour tout $x,~A(x)=f\left(g\left(h(x)\right)\right)$

On a alors le schéma suivant :

$\begin{array}{ccccccl} x&\underset h\mapsto & x-1 & \underset g\mapsto& g\left(x-1\right)=(x-1)^2& \underset f\mapsto& f\left((x-1)^2\right)=2(x-1)^2 + 3\\ \end{array}$

Une autre solution possible était

$f:x\mapsto x+3$

$g:x\mapsto 2x^2$

$h:x\mapsto x-1$

ou encore

$f:x\mapsto x+3$

$g:x\mapsto 2x$

$h:x\mapsto (x-1)^2$

[modifier] Restrictions

Xzapro4 (lui écrire) est en ce moment même en train de travailler en profondeur sur cette leçon. Merci de ne pas modifier cette page afin de limiter les risques de conflit de versions jusqu'à disparition de cet avertissement.

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Pour que la fonction $h=f\circ g$ soit bien définie, il faut que pour tout $x$ , l'image de $x$ par $g$ soit dans le domaine de définition de $f$ .

$\begin{array}{ccccl} \mathcal D_1 &\rightarrow& \mathcal D_2 &\rightarrow& \R\\ x&\underset g\mapsto & g(x) &\underset f\mapsto & f\circ g(x)\\ \end{array}$

$g(\mathcal D_1)\subset \mathcal D_2$

Contenu à insérer dans le reste de la page

Définition

Soient E, F et G trois ensembles quelconques. Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. La composée de f par g est l'application de E dans G notée $g\circ f$ qui à tout x de E associe g(f(x)), i.e. l'application définie par

$\forall x\in E, (g\circ f)(x)=g(f(x))$ .

Exemple

Considérons les applications $\begin{matrix}f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & e^x\end{matrix}$ et $\begin{matrix}g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & x^2\end{matrix}$ . Alors les composées de f par g et de g par f sont les applications $\begin{matrix}g\circ f: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & (e^x)^2=e^{2x}\end{matrix}$ et $\begin{matrix}f\circ g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & e^{(x^2)}= e^{x^2}\end{matrix}$ .

Exercice :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Déterminer

$f\circ \operatorname{Id}_E$ et $\operatorname{Id}_F\circ f$

Remarque :

En général nous n'avons pas $g\circ f=f\circ g$ .

Définition

Soient E un ensemble quelconque, f et g deux applications de $\mathcal A(E)$ . Nous disons que f et g commutent (pour la composition des applications) si $g\circ f=f\circ g$ .

Remarque :

Soient E un ensemble quelconque, et f une application de $\mathcal A(E)$ . Nous avons

$f\circ \operatorname{Id}_E=\operatorname{Id}_E\circ f=f$

et donc $\operatorname{Id}_E$ commute avec toute application de $\mathcal A(E)$ .

Proposition (associativité de la loi de composition) :

Soient E, F, G et H quatre ensembles quelconques. Soient $f: E \rightarrow F$ , $g: F \rightarrow G$ et $h: G \rightarrow H$ trois applications. Alors nous avons

$h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f$ .

Démonstration :

$h\circ (g \circ f)$ et $(h\circ g) \circ f$ sont bien des applications de E dans H et nous avons

$\begin{matrix}\forall x\in E, & [h\circ (g \circ f)](x) & = & h((g \circ f)(x)) & {\rm{par\,d\acute{e}finition\,de\,la\,compos\acute{e}e\,de\,}}g \circ f {\rm{\,par\,}}h\\ & & = & h(g(f(x))) & {\rm{par\,d\acute{e}finition\,de\,la\,compos\acute{e}e\,de\,}}f {\rm{\,par\,}}g\\ & & = & (h\circ g)(f(x)) & {\rm{par\,d\acute{e}finition\,de\,la\,compos\acute{e}e\,de\,}}g {\rm{\,par\,}}h\\& & = & [(h\circ g)\circ f](x) & {\rm{par\,d\acute{e}finition\,de\,la\,compos\acute{e}e\,de\,}}f{\rm{\,par\,}}h\circ g \end{matrix}$

Notation :

Cette application composée de f par g par h, se note simplement $h\circ g\circ f$ .

Définition

Soit E un ensemble quelconque.

Soit f une application de $\mathcal A(E)$ . Nous convenons de poser $f^0=\operatorname{Id}_E$ .
Soient $f_1, f_2, \ldots, f_n$ , n applications de $\mathcal A(E)$ ( $n\in\mathbb N^*$ ). La composée de $f 1$ par $f 2$ , par …, par $f n$ notée $f_n\circ ( f_{n-1} \circ \ldots \circ ( f_2 \circ f_1)\;)$ se définit par récurrence et d'après la proposition précédente, les parenthèses sont inutiles, nous pouvons noter ce produit plus simplement $f_n\circ f_{n-1}\circ \ldots\circ f_1$ .
Soient f une application de $\mathcal A(E)$ , et $n\in\mathbb N^*$ . En particulier (pour $f_1=\ldots=f_n=f$ ), nous obtenons la composée de f par elle-même n fois qui se note $f n$ . Celle-ci vérifie
$\begin{matrix}f^{n} = f^{n-1}\circ f = & \underbrace{f\circ f \circ \ldots \circ f}\\& n{\rm{\,fois\,}}\end{matrix}$

Exercice :

On considère l'application $\begin{matrix}f: & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^2\\& (x,y) & \mapsto & (y, x)\end{matrix}$ . Déterminer pour tout entier naturel n, fⁿ.

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Produit et quotient

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Sommaire

[modifier] Première approche

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