Fonction dérivée/Dérivée et variations
Une page de Wikiversité.
 |
|||
| Chapitre 4 | |||
| Leçon : Fonction dérivée | |||
|---|---|---|---|
| Chap. préc. : | Fonction dérivée | ||
| Chap. suiv. : | Extremum local | ||
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction dérivée : Dérivée et variations
Fonction dérivée/Dérivée et variations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sommaire |
[modifier] Sens de variation
[modifier] Lien entre nombre dérivé et sens de variation
Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.
On a vu que, en tout point 
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :
- Si
, la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite. - Au contraire, si
la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.
[modifier] Théorème global
|
Théorème |
|
Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.
|
est positive sur I, alors la fonction ƒ est croissante sur I.
On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point 
, la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.
La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.
|
Théorème |
|
Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I
|
sauf peut-être en un nombre fini de points où 
s'annule, alors ƒ est strictement croissante sur I.
sauf peut-être en un nombre fini de points où [modifier] Exemples
Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.
Pour tout 
Pour tout ![x\in ]0;+\infty[,~f'(x)=\frac1{2\sqrt x}](http://upload.wikimedia.org/math/a/3/b/a3bcc514b78211cd690acb3a0a65057b.png)
Pour tout 
[modifier] Exercices
- Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».
Il suffit de choisir une fonction constante sur un palier, comme expliqué plus haut.
- Étudier les variations de la fonction trinôme
- On commence par dériver la fonction
- ƒ est dérivable et, pour tout
- On étudie ensuite le signe de la dérivée
- Soit
- Donc
- ƒ' est strictement positive sur
![\left]\frac34;+\infty\right[](http://upload.wikimedia.org/math/c/e/e/ceed8fe9ca26be17d1af2f672dfedd00.png)
- ƒ' est strictement négative sur
![\left]-\infty;\frac34\right[](http://upload.wikimedia.org/math/c/8/e/c8e4138bf0ceea8932fc52b4b8b3fb56.png)
- On en déduit les variations de ƒ :
| ƒ est strictement décroissante sur et strictement croissante sur |
ƒ atteint son minimum en 
[modifier] Tableaux de variations
Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,
on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :
- Remarques
- Noter la différence de légende : on parle du signe de
et des variations de la fonction 
. - Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.
