Espace vectoriel/Définitions

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**Définitions**
Leçon : Espace vectoriel

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Familles de vecteurs

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Espace vectoriel/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d'un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.

[modifier] Espace vectoriel

[modifier] Définition

Soient un ensemble E non vide et $\scriptstyle (\mathbb K,+,\cdot)$ un corps (généralement $\scriptstyle \R$ ou $\scriptstyle \mathbb C$ ). Son neutre pour + est $\scriptstyle{0_{\mathbb K}}$ et son neutre pour $\scriptstyle\cdot$ est $\scriptstyle{1_{\mathbb K}}$ .

Espace vectoriel

On note $\left(E, +, \star \right)$ l'ensemble E muni d'une loi interne « + » (c'est-à-dire une opération entre les éléments de E) et d'une loi externe « $\star$ » (c'est-à-dire une opération entre un élément de E et un élément de $\scriptstyle \mathbb K$ ).

On dit que E est un espace vectoriel lorsque :

$\left(E, +\right)$ forme un groupe commutatif^[1]^,^[2]

$\forall \lambda\in\mathbb K,~\forall (x,y)\in E^2,~\lambda \star (x + y) = (\lambda \star x) + (\lambda \star y)$ (la loi $\star$ est distributive par rapport à la loi + )

$\forall (\lambda,\mu)\in\mathbb K^2,~\forall x\in E,~(\lambda+\mu) \star x = \lambda \star x + \mu \star x$

$\forall (\lambda,\mu)\in\mathbb K^2,~\forall x\in E,~(\lambda \cdot \mu) \star x=\lambda \star (\mu\star x)$

$\forall x\in E,~1_{\mathbb K} \star x=x$

Les éléments de E s'appellent des vecteurs et les éléments de $\scriptstyle \mathbb{K}$ des scalaires.^[3]

Il existe un vecteur, noté 0_E, tel que :

$\forall x \in E,~ 0_{\mathbb K} \star x = 0_E$

appelé vecteur nul.

[modifier] Exemples

Les espaces vectoriels sont des objets très courants.

Exemples

$\left(\R,+,\times\right)$ , où « + » et « × » représentent respectivement l'addition et la multiplication usuelle, possède une structure d'espace vectoriel (réel).
$\left(\R^2,+,\times\right)$ , où « + » et « × » représentent respectivement l'addition de vecteurs et la multiplication par un réel, possède une structure d'espace vectoriel réel (c'est le plan euclidien).
$\left(\R^3,+,\times\right)$ , où « + » et « × » représentent respectivement l'addition de vecteurs et la multiplication par un réel, possède une structure d'espace vectoriel réel (c'est l'espace euclidien).
$(\R^\mathbb N,+,\times)$ , l'ensemble des suites à valeurs dans $\R$ , muni de l'addition « + » des suites et de « × » la multiplication par un réel (et non la multiplication terme à terme de deux suites !), est un espace vectoriel.
$(\mathcal F(\R,\mathbb R),+,\times)$ , l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ , où « + » et « × » représentent respectivement l'addition des fonctions et la multiplication par un réel (et non la fonction produit $x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ !), est un $\R$ -espace vectoriel.
$(\mathcal F(\R,\mathbb C),+,\times)$ , l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\mathbb C$ est un $\mathbb C$ -espace vectoriel.

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène est un espace vectoriel.

En particulier, $\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb K^2,~\forall (x,y)\in E^2,~\lambda x+\mu y\in E$ . Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.

Dorénavant :

$\scriptstyle{\mathbb K}$ désigne $\scriptstyle{\R}$ ou $\scriptstyle{\mathbb C}$
E est un $\scriptstyle{\mathbb K}$ -espace vectoriel
I est un ensemble fini
$\scriptstyle{x=(x_i)_{i\in I}\in E^I}$ est une famille d'éléments de E.

[modifier] Quelques propriétés

Propriété

$\forall\lambda\in\mathbb{K},\forall x\in E~,~\lambda\star x=0_E\Leftrightarrow\lambda=0_{\mathbb K}\textrm{~ou~}x=0_E$
$\forall x\in E~,~(-1)\star x=-x$

Démonstration

Soit $(\lambda,x)\in\mathbb K\times E$ .

On suppose $\lambda\star x=0_E\,$ et $\lambda \ne 0_{\mathbb K}$

$\lambda^{-1}\star (\lambda \star x)=\lambda^{-1}\star 0_E = 0_E$

Par ailleurs, $\lambda^{-1}\star (\lambda \star x)=(\lambda^{-1}\cdot \lambda) \star x=1_{\mathbb K}\star x=x$

Donc $x=0_E\,$

Finalement, $\lambda\star x=0_E\Rightarrow \lambda=0_{\mathbb K}{\rm ~ou~}x=0_E$ .

Soit $x\in E$ :

Par distributivité de $\star$ par rapport à + :

$\begin{align} (-1)\star x+x &= (-1+1)\star x \\ &= 0\star x\\ &= 0_E \end{align}$

Donc $(-1)\times x=-x$

[modifier] Conventions implicites de l'algèbre linéaire

En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :

avec des lettres romaines les vecteurs : x, y…
avec ces lettres grecques les scalaires : λ, μ…

Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée $\vec x$ , volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.

Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole $\star$ pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.

Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et $\cdot$ .

[modifier] Combinaison linéaire

Définition

On appelle combinaison linéaire d'éléments de x tout vecteur v de E tel qu'il existe $(\lambda_i)_{i\in I} \in \mathbb K^I$ vérifiant $v=\sum_{i\in I}\lambda_ix_i$ .

On dit qu'il existe une relation linéaire dans x ssi 0 est une combinaison linéaire d'éléments de x à coefficients non tous nuls.

Exemples

Dans la famille $(a,b,c)\,$ , on a la relation linéaire $a-b-c=0\,$

Dans $E=\R^3$ muni d'une base, on pose :

$v_1=\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix} 2\\-3\\8\end{pmatrix}$

Dans la famille v, il y a la relation linéaire $2v_1+v_2-v_3=0\,$ .

[modifier] Sous-espace vectoriel

[modifier] Définitions

Sous-espace vectoriel

Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E lorsque :

$F\ne\empty$
$\forall(\lambda,u)\in \mathbb K\times F,~\lambda u\in F$
$\forall(u,v)\in F^2,~u+ v\in F$

Remarque

Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors $0_E\in F$ .

En effet, $\scriptstyle{F\ne\empty}$ , donc $\scriptstyle{\exists x\in F}$ .

D'après le deuxième point, $\scriptstyle{-x\in F}$ .

D'après le troisième point, $\scriptstyle{x+(-x)\in F}$ , soit $\scriptstyle{0\in F}$ .

Remarque technique : Montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel

Pour montrer qu'un ensemble F est un sous-espace vectoriel de E, on montre :

$0\in F$ .

L'élément nul est un souvent facile à manipuler : il est donc en règle générale très facile de montrer qu'il appartient à F même pour des ensembles compliqués. Si $0\in F$ , on a alors l'assurance que $F\ne\empty$ .

$\forall (\lambda,u,v)\in\mathbb K\times E^2,~\lambda u+v\in F$ .

Cette assertion est équivalente aux deux derniers points de la définition réunis. Montrer directement cette appartenance permet de concentrer les deux points en une seule preuve.

On peut donc résumer la définition du sous-espace vectoriel à un ensemble non vide (contenant 0) et stable par combinaison linéaire.

Exemple

$E=\mathcal C^0([0,2],\R)$ , ensemble des fonctions continues de l'intervalle [0,2] dans $\scriptstyle{\R}$ . On pose F l'ensemble des fonctions de E qui s'annulent en 1.

F est un sous-espace vectoriel de E :

$0_E\in F$ (car la fonction nulle sur l'intervalle [0,2] est nulle en 1 !)
Soit $(\lambda,f,g)\in\R\times F^2$

$(\lambda f+g)(1)=\lambda f(1)+g(1)=\,0$ donc λf + g est nulle en 1, donc $\lambda f+g\in F$ .

Donc F est bien un sous-espace vectoriel de E.

Théorème

Tout sous-espace vectoriel de E est un $\scriptstyle \mathbb K$ -espace vectoriel.

Voir les exercices sur : Espaces et sous-espaces vectoriels.

Remarque technique : Montrer qu'un espace est un espace vectoriel

En général, pour montrer qu'un espace est un espace vectoriel, on montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu. Cela permet de vérifier un nombre de points beaucoup plus restreints pour démontrer qu'un ensemble admet une structure d'espace vectoriel.

Exemple

On sait que l'ensemble $\mathcal F(\R,\R)$ des fonctions de est un $\scriptstyle{\R}$ -espace vectoriel lorsqu'il est muni :

de la loi + d'addition des fonctions
de la loi × de multiplication d'une fonction par un nombre réel

On pose $\mathcal I$ l'ensemble des fonctions impaires de $\scriptstyle{\R}$ dans $\scriptstyle{\R}$ .

$\mathcal I=\{f\in \mathcal F(\R,\R),\forall x\in\R,~f(-x)=-f(x)\}$

Montrer que $\mathcal I$ est un $\R$ -espace vectoriel.

$\mathcal I\subset\mathcal F(\R,\R)$
$0\in\mathcal I$
Soit $(\lambda,f,g)\in\R\times \mathcal I^2$

$\forall x\in\R,~(\lambda f+g)(-x)=\lambda f(-x)+g(-x)=-\lambda f(x)-g(x)=-(\lambda f(x)+g(x))$

Donc $\lambda f+g\in\mathcal I$

Donc $\mathcal I$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R,\R)$ , donc $\mathcal I$ est un $\R$ -espace vectoriel.

[modifier] Sous-espace vectoriel engendré par une partie

La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.

On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d'un espace vectoriel E. En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de E » contenant tous les x_i ?

Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs

Le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille x est noté $\scriptstyle\mathrm{Vect}(x)\,$ ^[4] et est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de x : $\mathrm{Vect}(x)=\left\{\sum_{i\in I}\lambda_ix_i~,~(\lambda_i)_i\in\mathbb K^I \right\}$ .

Cet ensemble est, au sens de l'inclusion, le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant tous les x_i

Sous-espace vectoriel engendré par une partie de E

Soient E un espace vectoriel sur $\scriptstyle\mathbb{K}$ et A une partie de E.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par A, et on note $\scriptstyle\mathrm{Vect}(A)$ ^[5] l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'éléments de A :

$\mathrm{Vect}(A)=\left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i.u_i~|~n\in\mathbb N, (\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in \mathbb{K}^n,(u_1,\cdots,u_n)\in A^n\right\}$

Il s'agit, au sens de l'inclusion, du plus petit espace vectoriel contenant A.

[modifier] Somme de sous-espaces vectoriels

Somme de sous-espaces vectoriels

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On définit la somme de F et G comme l'ensemble :

$F+G=\{u+v~|~(u,v)\in F\times G\}$

Remarque : $\scriptstyle F+G=\mathrm{Vect}\left(F\cup G\right)$

[modifier] Intersection de sous-espaces vectoriels

Propriété

Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration

Soient I un ensemble et $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de E.

$\forall i\in I,~0_E\in F_i$ donc $0_E\in \bigcap_{i\in I}F_i$ (et au passage $\bigcap_{i\in I}F_i\ne \empty$ )
Soit $(\lambda,x,y)\in\mathbb K\times \left(\bigcap_{i\in I}F_i\right)^2$
est un sous-espace vectoriel de E et donc
- Donc $\lambda x+y\in \bigcap_{i\in I}F_i$

Donc $\bigcap_{i\in I}F_i$ est un sous-espace vectoriel de E.

[modifier] Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Voir les exercices sur : Espaces et sous-espaces vectoriels.

Sous-espaces supplémentaires

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

F et G sont dits supplémentaires ssi $\begin{cases}F+G=E\\F\cap G=\{0\}\end{cases}$ .

On note alors $E=F\oplus G$ .

Exemple

$E=\mathcal F(\R,\R)$ , espace vectoriel des fonctions de $\scriptstyle{\R}$ dans $\scriptstyle{\R}$ .

On note :

$\mathcal P$ , sous-espace vectoriel des fonctions paires de $\mathcal F(\R,\R)$
$\mathcal I$ , sous-espace vectoriel des fonctions impaires de $\mathcal F(\R,\R)$

On a $\mathcal F(\R,\R)=\mathcal I\oplus\mathcal P$ .

Soit :
- $\forall x\in\R,~f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2+\frac{f(x)-f(-x)}2$
- $x\mapsto\frac{f(x)+f(-x)}2\in\mathcal P$
- $x\mapsto\frac{f(x)-f(-x)}2\in\mathcal I$
Donc $\mathcal F(\R,\R)=\mathcal I+\mathcal P$

Soit :
- $\forall x\in\R,~f(x)=f(-x)$ car $f\in\mathcal P$
- $\forall x\in\R,~f(x)=-f(-x)$ car $f\in\mathcal I$
- Donc $\forall x\in\R,~f(x)=0$ , ie f=0
Donc $\mathcal I\cap\mathcal P\subset\{0\}$
L'inclusion inverse étant triviale, $\mathcal I\cap\mathcal P=\{0\}$

Donc $\mathcal F(\R,\R)=\mathcal I\oplus\mathcal P$ .

[modifier] Produit d'espaces vectoriels

Définition

Soient E et F deux $\scriptstyle \mathbb K$ -espaces vectoriels. On définit l'espace produit de E et F, noté E × F^[6] par $E\times F=\{(x,y)~|~x\in E,y\in F\}$ .

Structure vectorielle de l'espace produit

$E\times F\,$ est un $\scriptstyle \mathbb K$ -espace vectoriel.

[modifier] Remarques

↑ On rappelle qu'un ensemble E muni d'une loi de composition interne « + » est un groupe lorsque :
- il possède un élément neutre « 0 » tel que pour tout élément x de E, x + 0 = x ;
- tout élément x possède un inverse -x tel que leur somme vaut l'élément neutre : x + (-x) = 0.
↑ On parle parfois de « groupe abélien ». Cela signifie que pour tous x, y, on a : x + y = y + x.
↑ En réalité, les axiomes précédents sont « calqués » sur les règles géométriques que l'on observe sur les vecteurs du plan ou de l'espace, c'est ce qui justifie l'appellation d'espace vectoriel.
↑ On lit « Vect de x ».
↑ On lit « Vect de A ».
↑ On lit « E croix F »

Espace vectoriel

Sommaire

Familles de vecteurs

[0] On rappelle qu'un ensemble E muni d'une loi de composition interne « + » est un groupe lorsque :

il possède un élément neutre « 0 » tel que pour tout élément x de E, x + 0 = x ;

tout élément x possède un inverse -x tel que leur somme vaut l'élément neutre : x + (-x) = 0.

[2] ssède un élément neutre « 0 » tel que pour tout élément x de E, x + 0 = x ;

[3] tout élément x possède un inverse -x tel que leur somme vaut l'élément neutre : x + (-x) = 0.

[1] On parle parfois de « groupe abélien ». Cela signifie que pour tous x, y, on a : x + y = y + x.

[2] En réalité, les axiomes précédents sont « calqués » sur les règles géométriques que l'on observe sur les vecteurs du plan ou de l'espace, c'est ce qui justifie l'appellation d'espace vectoriel.

[3] On lit « Vect de x ».

[4] On lit « Vect de A ».

[5] On lit « E croix F »

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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Sommaire

[modifier] Espace vectoriel

[modifier] Définition

[modifier] Exemples

[modifier] Quelques propriétés

[modifier] Conventions implicites de l'algèbre linéaire

[modifier] Combinaison linéaire

[modifier] Sous-espace vectoriel

[modifier] Définitions

[modifier] Sous-espace vectoriel engendré par une partie

[modifier] Somme de sous-espaces vectoriels

[modifier] Intersection de sous-espaces vectoriels

[modifier] Sous-espaces vectoriels supplémentaires

[modifier] Produit d'espaces vectoriels

[modifier] Remarques

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