Suites et séries de fonctions/Exercices/Suites de fonctions

Exercice 1-1

Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie sur $\mathbb {R} _{+}$ par :

$f_{n}(x)={\frac {\sin {nx}}{n{\sqrt {x}}}}$ si $x>0$ et $f_{n}(0)=0$.

Solution

Il est clair que la suite $\left(f_{n}\right)$ converge simplement vers la fonction nulle. Montrons que la convergence est uniforme sur $\mathbb {R} _{+}$ : on a $\left|f_{n}(x)\right|={\frac {\left|\sin(nx)\right|}{n{\sqrt {x}}}}\leq {\frac {\sqrt {\left|\sin(nx)\right|}}{n{\sqrt {x}}}}\leq {\frac {\sqrt {nx}}{n{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}$ et cela pour tout $x\in \mathbb {R} _{+}^{*}$.

 

Exercice 1-2

Construction de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle par la méthode d'Euler (version rectifiée et rédigée de celle du 15/01/2010 dans la leçon « Fonction exponentielle »).

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ et tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, on pose

$u_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$.

1. Démontrer que si $h>-1$ et $x>-n$, alors $u_{n+1}(x+h)\geq \left(1+h\right)u_{n}(x)$.
2. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est simplement convergente.
3. Notons $\exp$ sa limite. Vérifier que $\exp(0)=1$.
4. Montrer que si $|h|<1$, alors
   $\forall x\in \mathbb {R} \quad h\exp(x)\leq \exp(x+h)-\exp(x)\leq {\frac {h}{1-h}}\exp(x).$
5. En déduire que $\exp$ est dérivable et égale à sa dérivée.

Solution

1. En fixant $h>-1$ et en dérivant la fonction $\left]-n,+\infty \right[\to \mathbb {R} \quad x\mapsto {\frac {u_{n+1}(x+h)}{u_{n}(x)}}$, on trouve qu'elle atteint son minimum pour $x=nh$, or sa valeur en ce point est $1+h$.
2. Soit un entier $N>|x|$. D'après la question précédente (appliquée à $h=0$), les suites $\left(u_{n}(x)\right)_{n\geq N}$ et $\left(u_{n}(-x)\right)_{n\geq N}$ sont croissantes, or elles sont strictement positives et leur produit est majoré par $1$. Cela prouve que la suite $\left(u_{n}(x)\right)_{n\geq N}$ est croissante et majorée (par $1/u_{N}(-x)$), donc convergente.
3. $u_{n}(0)=1$.
4. La première inégalité se déduit de la question 1, et la seconde se déduit de la première en remplaçant $h$ par $-h$ et $x$ par $x+h$.
5. Immédiat.

 

Exercice 1-3

Soit $g:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ une fonction vérifiant les hypothèses suivantes :

• $g(0)=0$ ;
• $\lim _{t\to +\infty }tg(t)=0$ ;
• l'intégrale impropre $\int _{0}^{+\infty }g(t)\,\mathrm {d} t$ converge vers une valeur non nulle.

1. Montrer qu'il existe de telles fonctions.
2. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie sur $\mathbb {R} _{+}$ par $u_{n}(x)=ng(nx)$ est simplement convergente.
3. Cette convergence est-elle uniforme au voisinage de $0$ ?

Solution

1. Soit $f(t)=\operatorname {e} ^{-t^{2}}$. La fonction $g(t)=f'(t)=-2t\operatorname {e} ^{-t^{2}}$ convient, mais on peut trouver des exemples plus simples, comme la fonction indicatrice de l'intervalle $\left]0,1\right[$.
2. $u_{n}(0)=0$ et pour tout $x>0$, $u_{n}(x)={\frac {nxg(nx)}{x}}\to {\frac {0}{x}}$. Donc $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers $0$.
3. Non, jamais (quel que soit l'exemple $g$ choisi), car pour tout $a>0$, $\int _{0}^{a}u_{n}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{na}g(t)\,\mathrm {d} t\to \int _{0}^{+\infty }g(t)\,\mathrm {d} t\neq 0$.