Suites et séries de fonctions/Exercices/Séries de fonctions
Exercice 2-1
[modifier | modifier le wikicode]Soit un ensemble au plus dénombrable de réels. Construire une fonction croissante dont l'ensemble des points de discontinuité est exactement .
Choisissons une énumération de : (distincts) et posons (série normalement convergente). La fonction est croissante, comme somme d'une série de fonctions croissantes. Elle est discontinue en tout point de (en , elle fait un saut de ). Elle est continue en tout point , comme somme d'une série uniformément convergente de fonctions continues en .
Exercice 2-2
[modifier | modifier le wikicode]Étudier la convergence uniforme de la série de terme général .
Par imparité, on peut se restreindre à , où .
Sur , on a convergence normale car . Mais sur , la convergence n'est pas uniforme.
En effet, la suite de fonctions est décroissante et donc
- ,
si bien que
- ,
donc
- .
Exercice 2-3
[modifier | modifier le wikicode]On rappelle que (voir par exemple cet exercice, ou le début de ce devoir).
En déduire que :
- ;
- .
- et sur , la convergence de cette série est uniforme, car la fonction est bornée (on peut la majorer explicitement en étudiant ses variations, ou invoquer simplement sa continuité et sa limite finie en 0). Par conséquent (et d'après le rappel)
- .
- De même, sur , avec convergence uniforme, donc
- .
Ces deux égalités ont été découvertes en 1697 par Jean Bernoulli. Voir les références de l'article de Wikipédia, dont :
- E. Weisstein, « Sophomore's Dream », sur MathWorld ;
- (par exemple) : William Dunham, The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, 2005 [lire en ligne], chap.3 (« The Bernoullis ») ;
- et (pour aller plus loin) : Jean Jacquelin, « Sophomore's Dream Function », .