Fonction exponentielle/L'exponentielle comme solution d'une équation différentielle

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Exponentielle et équation différentielle

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp qui vérifie :

• $\exp(0)=1\,$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée valant 1 en 0.

Démonstration

Existence : L'existence peut être démontrée à l'aide du calcul intégral. On propose ici une démonstration de l'existence à l'aide des suites.

Soit $x\in \mathbb {R}$. Introduisons la suite $(u_{n}(x))$ définie, pour tout $n\in \mathbb {N}$ par $u_{n}(x)=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$.

Convergence de la suite $(u_{n}(x))$ :

1. Lemme: Pour tout $h>-1$ et $n\in \mathbb {N}$ tel que $n>-x$, on a $u_{n+1}(x+h)\geq (1+h)u_{n}(x)$.
2. Proposition 1: Pour tout $n\in \mathbb {N}$ tel que $n+1>|x|$, on a $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\leq \left(1+{\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}\leq \left(1-{\frac {x}{n+1}}\right)^{-n-1}\leq \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{-n}$
3. Conséquence: La suite $(u_{n}(x))$ est convergente.

A partir du rang $n>|x|$, la suite $(u_{n}(x))$ est croissante et majorée par $\left(1-{\frac {x}{E(x)}}\right)^{-E(x)}$

Étude de la limite de la suite $(u_{n}(x))$ :

Notons $\ell (x)$ la limite de la suite $(u_{n}(x))$.

1. Proposition 2: Pour h>-1, $\ell (x+h)-\ell (x)\geq \ell (x)h$.

Il suffit d'appliquer le lemme et de faire tendre $n$ vers $+\infty$. On obtient alors $\ell (x+h)\geq (1+h)\ell (x)$.

1. Corollaire 1: Pour h<1, $(1-h)\ell (x+h)\leq \ell (x)$.

On applique la proposition 2 en remplaçant $h$ par $-h$ et $x$ par $x+h$

1. Corollaire 2: Ainsi, en combinant les deux inégalités précédentes, on a, pour $|h|<1$, $\ell (x)h\leq \ell (x+h)-\ell (x)\leq {\frac {h}{1-h}}\ell (x)$.
2. Corollaire 3: $\ell$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et a pour dérivée elle même, c'est-à-dire: pour tout $x\in \mathbb {R}$, $\ell '(x)=\ell (x)$.

Ainsi, la fonction $\ell :x\mapsto \lim _{n\rightarrow +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ est une solution de $(E)$.

Unicité :

• Remarquons tout d'abord que f ne s'annule pas sur $\mathbb {R}$.

En effet la fonction définie par $\phi (x)=f(x)\times f(-x)$ a pour dérivée :

$\phi '(x)=f'(x)\times f(-x)-f(x)\times f'(-x)=f(x)\times f(-x)-f(x)\times f(-x)=0$.

donc $\phi \,$ est constante et comme $\phi (0)=1\,$,

on en déduit $\phi (x)=1\,$ pour tout x.

Finalement $f(x)\times f(-x)=1$ pour tout x donc $f(x)\,$ ne s'annule pas.

• Soit g une autre fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :

$g'=g\,$ et $g(0)=1\,$,

alors $h={\frac {g}{f}}$ est défine et dérivable sur $\mathbb {R}$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h'={\frac {g'f-gf'}{f^{2}}}={\frac {gf-gf}{f^{2}}}=0$

donc h est constante sur $\mathbb {R}$. Or $h(0)={\frac {g(0)}{f(0)}}=1$ donc $g=f\,$.

 

Calculatrice

Pour prendre l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche « e^x ».

On effectue souvent cette opération en utilisant le préfixe « seconde » ou « shift » suivi de la touche ln.

Exemples

A la calculatrice, donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ :

$\exp(7)\,$ =

$\exp(-3)\,$ =

$\exp(\pi +1)\,$ =

Cas général

Début d’un théorème

Théorème

Pour tout réel k, il existe une unique fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que $f'=k\cdot f\,$ et $f(0)=1\,$.

Cette fonction est $f:x\mapsto \exp(kx)\,$.

Fin du théorème

Démonstration

Existence : $f'(x)=k\cdot \exp(kx)=kf\,$.

Unicité : Soit g une autre fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :

$g'=kg$ et $g(0)=1$,

alors $h={\frac {g}{f}}$ est défine et dérivable sur $\mathbb {R}$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h'={\frac {g'f-gf'}{f^{2}}}={\frac {kgf-gkf}{f^{2}}}=0$

donc h est constante sur $\mathbb {R}$. Or $h(0)={\frac {g(0)}{f(0)}}=1$ donc $g=f$.