Polynôme/Arithmétique des polynômes
désigne toujours un corps commutatif et l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.
Division euclidienne et divisibilité dans K[X]
[modifier | modifier le wikicode]Il existe une unique division euclidienne dans , c'est-à-dire :
- .
est appelée quotient de par et reste.
La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du théorème :
- Le couple (Q, R), s'il existe, est unique :
La démonstration se fonde sur une propriété du degré d'un polynôme ; le degré du produit de deux polynômes M et N est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :
On suppose l'existence de deux couples (Q1, R1), (Q2, R2) résultats de la division euclidienne de A par B, on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :
Le polynôme B(Q1 – Q2) est donc de degré strictement inférieur à celui de B, ce qui n'est possible que si Q1 – Q2 est nul. L'égalité (1) montre alors que R1 – R2 est aussi nul.
- Il existe un couple (Q, R) satisfaisant l'identité de la division euclidienne :
Soient m et n les degrés de A et B. Si m < n (y compris si m = –∞, c'est-à-dire si A = 0), il suffit de prendre Q égal au polynôme constant 0 et R égal à A pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Soit p ≥ n ; supposons la propriété démontrée pour toute valeur de m strictement inférieure à p et montrons-la pour m = p. Pour cela, notons
et posons
Ce polynôme est de degré inférieur à m, strictement (car les monômes de degré m des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes Q1 et R1 tels que :
En combinant (2) et (3), on obtient :
ce qui établit la proposition.
Exemple : Division de x4-x3+x2-x+8 par x2+3x+1
- Étape 1 : division de x4-x3+x2 par x2+3x+1 (quotient x2, reste -4x3)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x3
- Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 -3x3 + x2 x2 - 4x - 4x3 - x -4x3 - 12x2 -4x + 12x2 + 3x
- Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1 x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x + 12 - 4x3 - x -4x3 - 12x2 -4x + 12x2 + 3x + 8 12x2 + 36x +12 - 33x - 4
- Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 4x + 12) - 33x - 4
Soient et deux polynômes.
On dit que divise (ce qu'on note ) s'il existe tel que :
- .
Les démonstrations se font comme dans (voir le cours d'arithmétique).
PGCD et PPCM
[modifier | modifier le wikicode]Définitions
[modifier | modifier le wikicode]Soient .
- Un PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de et est un polynôme qui divise et et tel que tout diviseur commun à et divise (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
- Un PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de et est un polynôme qui est divisible par et et tel que tout multiple commun à et soit divisible par (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .
Remarques :
- .
- Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
- Comme dans , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).
Il est le même que dans . On établit le lemme d'Euclide :
Il faut montrer que l’ensemble des diviseurs communs à et est égal à .
Soit un diviseur de . ALors, et réciproquement, .
On a bien l'égalité : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat.
On en déduit l'algorithme d'Euclide :
Soient tels que .
Opération | Reste | Commentaires |
---|---|---|
on divise par | ||
si , on divise par | ||
… | … | … |
si , on divise par |
Théorèmes d'arithmétique
[modifier | modifier le wikicode]Ces théorèmes se démontrent comme dans .
Idéaux de K[X]
[modifier | modifier le wikicode]K[X] est un anneau principal, ce qui signifie que tout idéal de K[X] est principal : plus précisément, si est un idéal de K[X], alors :
- .
L'idéal est engendré par le polynôme nul.
Soit maintenant un idéal non nul de . Soit, parmi les éléments non nuls de , un polynôme de degré minimum.
Comme , par définition d'un idéal, .
Réciproquement, soit . Par division euclidienne de par , il existe tels que et .
Le polynôme appartient à , comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par choix de , la condition implique donc .
Ceci prouve que donc finalement, .
Polynômes premiers et irréductibles
[modifier | modifier le wikicode]Soit non constant.
- Le polynôme est dit irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme .
- Le polynôme est dit premier si :
- .
Comme dans tout anneau vérifiant le théorème de Gauss, on a :
Mieux : on a vu que est principal ; on en déduit :
L'anneau est factoriel ; cela signifie que tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles, unique à l’ordre des facteurs près et à association près.