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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Polynôme : Définitions
Polynôme/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans toute la suite,
représentera indistinctement le corps
des réels ou celui
des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).
« Définition » des polynômes
On appelle fonction polynomiale toute application de K
dans K qui a tout indéterminée « X » associe un réel de la forme

et les exposants sont des entiers naturels
NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée
Début de l'exemple
Exemples
* La fonction de K dans K qui à tout X associe

est un polynôme.
- La fonction de K dans K qui à tout X associe
est un polynôme.
- La fonction des réels positifs dans les réels
n'est pas un polynôme. En effet, une fonction polynomiale est une fonction de K dans K.
- La fonction de K dans K qui à tout X associe sa racine cubique n'est pas une fonction polynomiale. Pour le démontrer, on peut montrer que toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur K tout entier alors que la fonction racine cubique ne l'est pas en 0.
Fin de l'exemple
Théorème :
Soit deux fonctions polynomiales
et
telles que
et
Alors,
Démonstration
On définit la fonction polynomiale
Donc,
pour tout
Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale
nulle pour toute valeur de
(on dit que
est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.
Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel
tel que
,
. En effet, la fonction polynôme est continue.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
Initialisation : Si
,
et donc
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour
. Montrons que c'est aussi le cas pour
.
Soit le polynôme
tel que
et
pour tout
.
Donc,
.
On peut donc écrire
sous la forme
.
On pose maintenant le polynôme
tel que
. Ainsi,
D'autre part, pour tout
,
. Or, d'après le lemme démontré précédemment,
. En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel
tel que
,
ce qui est faux.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence,
.
Donc, la propriété est démontrée pour le rang
.
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi,
est identiquement nulle. Donc,
: le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
Propriété :
Soit deux fonctions polynomiales
et
telles que
et
Avec
et
différents de 0.
On a alors
et
.
Soit
.
Définition
Coefficients : 
sont appelés les coefficients de P.
Degré : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera
ou
.
Formellement,
.
Par convention, le degré du polynôme nul est −
∞
La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
'Démonstration'
Soit
. Il existe
tel que
.
En particulier,
car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.
On note
le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à
(par convention, on pose
).
Propriété : Bases du K-espace vectoriel K[X]
La
base canonique de
![{\displaystyle K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4d802ca5718a14dc961af8692f35cdfad169b)
est

. En particulier :
est de dimension infinie ;
est de dimension n + 1 car
en est la base canonique.
Soit
une famille de polynômes telle que
soit de degré
.
Alors, pour tout

,

forme une base de
![{\displaystyle K_{n}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131aa9a2676024f1948cc866a7afde0016f9568e)
.