Polynôme/Définitions

**Définitions**
Leçon : Polynôme

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Arithmétique des polynômes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Polynôme : Définitions
Polynôme/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans toute la suite, $K$ représentera indistinctement le corps $ℝ$ des réels ou celui $ℂ$ des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

Définition

« Définition » des polynômes

On appelle fonction polynomiale toute application de K dans K qui a tout indéterminée « X » associe un réel de la forme

P (X) = a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2} + \dots + a_{n} X^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}

et les exposants sont des entiers naturels

NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée

Exemples

La fonction de K dans K qui à tout X associe $5 + 2 X + 3 X^{2}$ est un polynôme.
La fonction de K dans K qui à tout X associe $- 7$ est un polynôme.
La fonction des réels positifs dans les réels $\sqrt{X}$ n'est pas un polynôme. En effet, une fonction polynomiale est une fonction de K dans K.
La fonction de K dans K qui à tout X associe sa racine cubique n'est pas une fonction polynomiale. Pour le démontrer, on peut montrer que toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur K tout entier alors que la fonction racine cubique ne l'est pas en 0.

Unicité

Théorème :

Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f = g$ et

$f : K \to K$ $g : K \to K$

$X \to a_{n} X^{n} + ... + a_{2} X^{2} + a_{1} X + a_{0}$ $X \to b_{n} X^{n} + ... + b_{2} X^{2} + b_{1} X + b_{0}$

Alors, $a_{n} = b_{n} ... a_{2} = b_{2}; a_{1} = b_{1}; a_{0} = b_{0}$

Démonstration

On définit la fonction polynomiale $f - g : K \to K$

$X \to f (X) - g (X)$

Donc, $f (X) - g (X) = (a_{n} - b_{n}) X^{n} + ... + (a_{2} - b_{2}) X^{2} + (a_{1} - b_{1}) X + (a_{0} - b_{0}) = 0$ pour tout $X$

Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale $h$ nulle pour toute valeur de $X$ (on dit que $h$ est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.

Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel $η$ tel que $\forall x \in ⊏ - η; η ⊐$ , $h (x) \neq 0$ . En effet, la fonction polynôme est continue.

Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :

Initialisation : Si $n = 0$ , $h (x) = a_{0}$ et donc $a_{0} = 0$

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour $n - 1$ . Montrons que c'est aussi le cas pour $n$ .

Soit le polynôme $B$ tel que $B (X) = β_{n} X^{n} + ... + β_{2} X^{2} + ... β_{1} X + β_{0}$ et $B (x) = 0$ pour tout $x$ .

Donc, $B (0) = β_{0} = 0$ .

On peut donc écrire $B$ sous la forme $B (X) = β_{n} X^{n} + ... + β_{3} X^{3} + β_{2} X^{2} + β_{1} X$ .

On pose maintenant le polynôme $A (X)$ tel que $A (x) \times x = B (x)$ . Ainsi, $A (X) = β_{n} X^{(} n - 1) + ... + β_{3} X^{2} + β_{2} X + β_{1}$

D'autre part, pour tout $x \neq 0$ , $A (x) = 0$ . Or, d'après le lemme démontré précédemment, $A (0) = 0$ . En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel $η$ tel que $\forall x \in ⊏ - η; η ⊐$ , $A (x) \neq 0$ ce qui est faux.

Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, $β_{1} = β_{2} = ... β_{n} = 0 = β_{0}$ .

Donc, la propriété est démontrée pour le rang $n$ .

Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.

Ainsi, $f - g$ est identiquement nulle. Donc, $a_{n} = b_{n} ... a_{2} = b_{2}; a_{1} = b_{1}; a_{0} = b_{0}$ : le théorème est démontré.

Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante

Propriété :

Soit deux fonctions polynomiales $f$ et $g$ telles que $f = g$ et

$f : K \to K$ $g : K \to K$

$X \to a_{n} X^{n} + ... + a_{2} X^{2} + a_{1} X + a_{0}$ $X \to b_{m} X^{m} + ... + b_{2} X^{2} + b_{1} X + b_{0}$

Avec $n$ et $m$ différents de 0.

On a alors $n = m$ et $a_{n} = b_{m} ... a_{2} = b_{2}; a_{1} = b_{1}; a_{0} = b_{0}$ .

Degré d'un polynôme

Soit $P (X) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k} \in K [X]$ .

Définition

Coefficients : $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ sont appelés les coefficients de P.

Degré : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera $\deg (P)$ ou $d^{o} (P)$ .

Formellement, $\deg (P) = max {k \in ℕ ∣ a_{k} \neq 0}$ .

Par convention, le degré du polynôme nul est − ∞

La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.

On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.

Propriété

Soient $P, Q \in K [X]$ . Alors :

$\deg P Q = \deg P + \deg Q$ ;
$\deg (P + Q) \leq max (\deg P, \deg Q)$ avec égalité sauf si $\deg P = \deg Q$ et si la somme des monômes de plus haut degré de $P$ et $Q$ est nulle.

Exemples

$3 X^{2}$ est un monôme de degré 2
$- 7 X^{5}$ est un monôme de degré 5
$\sqrt{2} X^{0}$ , est un monôme de degré 0
$- 7 X^{5} + 7 X^{5}$ , est un polynôme de degré moins l'infini.

'Démonstration'

Soit $P \in (K [X])^{\times}$ . Il existe $Q \in K [X]$ tel que $P Q = 1$ .

En particulier, $\deg P + \deg Q = \deg 1 = 0 \Rightarrow \deg P = \deg Q = 0$ car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.

On note $K_{n} [X]$ le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ (par convention, on pose $\deg 0 = - \infty < n$ ).

Propriété : Bases du K-espace vectoriel K[X]

La base canonique de $K [X]$ est $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n}, \dots)$ . En particulier :

$K [X]$ est de dimension infinie ;
$K_{n} [X]$ est de dimension n + 1 car $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ en est la base canonique.

Soit $(P_{n})$ une famille de polynômes telle que $P_{n}$ soit de degré $n$ . Alors, pour tout $n$ , $(P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n})$ forme une base de $K_{n} [X]$ .

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