Leçons de niveau 14

Polynôme/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Polynôme
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Polynôme/Définitions
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Dans toute la suite, représentera indistinctement le corps des réels ou celui des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

Définition[modifier | modifier le wikicode]


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Unicité[modifier | modifier le wikicode]

Théorème :

Soit deux fonctions polynomiales et telles que et

Alors,

Démonstration

On définit la fonction polynomiale

Donc, pour tout

Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale nulle pour toute valeur de (on dit que est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.

Pour le démonter, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel tel que , . En effet, la fonction polynôme est continue.

Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :

Initialisation : Si , et donc

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour . Montrons que c'est aussi le cas pour .

Soit le polynôme tel que et pour tout .

Donc, .

On peut donc écrire sous la forme .

On pose maintenant le polynôme tel que . Ainsi,

D'autre part, pour tout , . Or, d'après le lemme démontré précédemment, . En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel tel que , ce qui est faux.

Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, .

Donc, la propriété est démontrée pour le rang .

Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.

Ainsi, est identiquement nulle. Donc, : le théorème est démontré.

Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante

Propriété :

Soit deux fonctions polynomiales et telles que et

Avec et différents de 0.

On a alors et .

Degré d'un polynôme[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.

On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à (par convention, on pose ).