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Exercice : Inégalités
Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Montrer les inégalités suivantes.
1. .
2. .
Solution
La fonction exponentielle étant strictement croissante, il suffit de montrer que .
On a déjà montré, dans la question précédente, que .
On en déduit , avec défini par :
La fonction étant une involution de , on a donc bien
- .
3. .
4. .
Solution
Il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis et de remarquer que pour tout , .
5. .
Solution
Il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis et de remarquer que pour tout , .
6. .
7. .
8. Pour tout réel et ,
.
9. .
10. et .
Solution
Application directe du T.A.F.
Établir, pour tout , les inégalités :
- ;
- ;
- ;
- .
Solution
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre à : , et l'on encadre entre et .
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre 2 à : , et l'on encadre entre et .
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre 2 à : , et l'on encadre entre et .
- Supposons dans un premier temps que . En appliquant Taylor-Lagrange en 0 aux ordres 1 et 3 à , on obtient : et avec donc , ce qui prouve l'encadrement de proposé.
Au-delà de , l'écart ne fait que s'accroître car est compris entre et , tandis que et .
- Démontrer que pour tout réel ,
- .
- En utilisant l'estimation grossière , donner une approximation de à près.
Soit dérivable et telle que soit strictement décroissante.
- Soit . Montrer que .
- Si , déterminer .
Solution
- On applique à le théorème des accroissements finis sur puis sur : il existe et tels que et . Par décroissance de , on a .
- Quand , est encadré par deux quantités qui tendent vers , donc .
Soient deux éléments de .
- Montrer que .
- On note l'application définie sur par . Calculer .
- En déduire qu'il existe un unique point tel que , et faire le tableau de variations de .
- En utilisant le tableau de variations de , montrer que .
Solution
- , or est strictement décroissante sur .
- et .
- , , , d'où l'existence de .
, est croissante de à puis décroissante de à .
- donc (en posant ) .