En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Inégalités
Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Inégalités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Montrer les inégalités suivantes.
1.
.
2.
.
Solution
La fonction exponentielle étant strictement croissante, il suffit de montrer que
.
On a déjà montré, dans la question précédente, que
.
On en déduit
, avec
défini par :
La fonction
étant une involution de
, on a donc bien
.
3.
.
4.
.
Solution
Il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis et de remarquer que pour tout
,
.
5.
.
Solution
Il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis et de remarquer que pour tout
,
.
6.
.
7.
.
8. Pour tout réel
et
,
![{\displaystyle 0\leq x^{a}-y^{a}\leq (x-y)^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744c90d5668ac73440ff557296692b4a541ecd3d)
.
9.
.
10.
et
.
Solution
Application directe du T.A.F.
Établir, pour tout
, les inégalités :
;
;
;
.
Solution
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre
à
:
, et l'on encadre
entre
et
.
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre 2 à
:
, et l'on encadre
entre
et
.
- On applique Taylor-Lagrange à l'ordre 2 à
:
, et l'on encadre
entre
et
.
- Supposons dans un premier temps que
. En appliquant Taylor-Lagrange en 0 aux ordres 1 et 3 à
, on obtient :
et
avec
donc
, ce qui prouve l'encadrement de
proposé.
Au-delà de
, l'écart ne fait que s'accroître car
est compris entre
et
, tandis que
et
.
- Démontrer que pour tout réel
,
.
- En utilisant l'estimation grossière
, donner une approximation de
à
près.
Soit
dérivable et telle que
soit strictement décroissante.
- Soit
. Montrer que
.
- Si
, déterminer
.
Solution
- On applique à
le théorème des accroissements finis sur
puis sur
: il existe
et
tels que
et
. Par décroissance de
, on a
.
- Quand
,
est encadré par deux quantités qui tendent vers
, donc
.
Soient
deux éléments de
.
- Montrer que
.
- On note
l'application définie sur
par
. Calculer
.
- En déduire qu'il existe un unique point
tel que
, et faire le tableau de variations de
.
- En utilisant le tableau de variations de
, montrer que
.
Solution
, or
est strictement décroissante sur
.
et
.
,
,
, d'où l'existence de
.
,
est croissante de
à
puis décroissante de
à
.
donc (en posant
)
.