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Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales

Leçons de niveau 15
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Matrices orthogonales
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Exercices no3
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Coniques
Exo suiv. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Matrices orthogonales
Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.

Soit , c'est-à-dire une application linéaire telle que pour tout .

  1. Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
  2. Montrer que det φ = ±1.
  3. Soit le polynôme caractéristique de φ. Montrer que
    Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que est semblable à .
  4. Soit K un corps contenant K tel que se décompose en facteurs linéaires sur (par exemple, si ou , on peut supposer que ).
    Montrer que si est racine de , alors est aussi une racine de , de la même multiplicité.
  1. Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
  2. On note . Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
  3. Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Montrer qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.
  1. Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur telle que la matrice de Jordan soit B-orthogonale ?
  2. Même question (sur ) pour .

On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 1-6) que pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Soient E un espace euclidien et .

  1. Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
  2. Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace F est aussi stable par φ.
  3. Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme
    , avec .
  4. Montrer que cette matrice est diagonalisable sur .

Soit φ un endomorphisme de E antisymétrique, c'est-à-dire tel que φ* = –φ. Montrer de même qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme

, avec .

À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :

  1. composé de réflexions (c'est-à-dire symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
  2. composé de deux symétries orthogonales.

Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme avec . Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme.

Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ.

Pour chacune des quatre matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :

.

Déterminer la nature des transformations de dont les matrices dans la base canonique sont :

, , , .

Soient un espace euclidien de dimension 3 orienté, et une base orthonormée directe (b.o.n.d.) de . Caractériser l'endomorphisme de matrice dans .

, .

Trouver les réels pour que la matrice suivante soit dans  :

.

Soient un espace euclidien de dimension 3 orienté, et une base orthonormée directe de . Écrire la matrice dans de la rotation d'axe et d'angle .

Soient un espace euclidien de dimension et tel que . On définit alors la forme bilinéaire symétrique sur  :

.
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
  2. Démontrer que est orthogonal pour le produit scalaire .
  3. Montrer que . Qu'en déduit-on sur la matrice de dans une base orthonormée pour  ?
  4. On suppose désormais et euclidien canonique. On considère une matrice telle que et . Soit . Déduire de la question précédente qu'il existe telle que .

Soient euclidien de dimension 4 et une base orthonormée de . Soient et de matrice dans .

  1. Montrer que .
  2. Soit le plan engendré par et . Montrer que est stable par et que la restriction de à est une rotation.
  3. Montrer que le plan est stable par et est engendré par et . La restriction de à est-elle une rotation ?

Dans euclidien, soient deux rotations, distinctes de l'identité. Montrer que si et seulement si et sont soit deux rotations de même axe, soit deux retournements par rapport à deux droites orthogonales. Dans ce second cas, montrer que est un retournement.

Dans euclidien orienté, soient la rotation d'angle autour d'un vecteur non nul , et une rotation quelconque. Montrer que est la rotation d'angle autour de .

(Simplicité de ) Soit un sous-groupe distingué du groupe des rotations de . On suppose non réduit au neutre (l'identité de ) et l'on va montrer qu'alors contient au moins un retournement (c), puis qu'il les contient tous (d), puis finalement que tout entier (e).

a) Soit un élément de différent de l'identité. En considérant les , montrer qu'il existe dans au moins une rotation d'angle tel que .

b) Montrer qu'il existe un vecteur non nul tel que .

c) On note le retournement autour de et .

i) Montrer que .

ii) Montrer que est un retournement (utiliser le résultat des deux exercices précédents).

d) Soit un retournement arbitraire.

i) Montrer qu'il existe une rotation telle que (utiliser le résultat de l'exercice précédent).

ii) En déduire que .

iii) En déduire que contient tous les retournements.

e)

i) Démontrer que toute rotation dans est un produit de deux retournements.

ii) En déduire que .