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Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt

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Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Exercices no4
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Matrices orthogonales
Exo suiv. :Projection et symétrie orthogonales
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Espace euclidien/Exercices/Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Pour chaque espace euclidien muni d'un produit scalaire  :

  • appliquer la méthode de Gram-Schmidt à la famille libre afin de produire une base orthonormée pour l'espace vectoriel engendré  ;
  • calculer la projection orthogonale de sur  ;
  • donner les équations de .
  1. , le produit scalaire usuel, et .
  2. , le produit scalaire usuel, , .
  3. , , et .
  4. , , , .
  5. , , , .

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Trouver une base orthonormée de pour le produit scalaire .
  2. Pour tout réel , montrer qu'il existe un polynôme tel que . Déterminer explicitement en fonction de .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Trouver une base orthonormée de pour le produit scalaire .