Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales

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Matrices orthogonales
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Exercices no3
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Coniques
Exo suiv. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.

Soit , c.-à-d. une application linéaire telle que pour tout .

  1. Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
  2. Montrer que det φ = ±1.
  3. Soit le polynôme caractéristique de φ. Montrer que
    Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que est semblable à .
  4. Soit K un corps contenant K tel que se décompose en facteurs linéaires sur (par exemple, si ou , on peut supposer que ).
    Montrer que si est racine de , alors est aussi une racine de , de la même multiplicité.

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
  2. On note . Montrer que l'endomorphisme de donné par la matrice est B-orthogonal pour .
  3. Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Monter qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur telle que la matrice de Jordan soit B-orthogonale ?
  2. Même question (sur ) pour .

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 6) que pour tout endomorphisme d'un -espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Soient E un espace euclidien et .

  1. Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
  2. Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace F est aussi stable par φ.
  3. Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme
    , avec .
  4. Montrer que cette matrice est diagonalisable sur .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :

  1. composé de réflexions (c.-à-d. symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
  2. composé de deux symétries orthogonales.

Exercice 3-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme avec . Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme.

Exercice 3-7[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ.

Exercice 3-8[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacune des trois matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :

.