Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence
Nous étudions, dans ce chapitre, les suites définies par récurrence.
Un premier exemple
[modifier | modifier le wikicode]Soit . Nous allons chercher un développement limité à un ordre quelconque de la suite (un)n∈ℕ définie par :
Si alors .
Pour que , il suffit donc que
- , c'est-à-dire .
En choisissant une constante , on obtient donc, par récurrence :
- .
Autrement dit :
- .
On peut alors en déduire le développement de un à n’importe quel ordre. Par exemple, à l'ordre 3 :
Le théorème de Cesàro
[modifier | modifier le wikicode]Nous allons maintenant étudier quelques théorèmes utiles dans la recherche d’équivalents d’une suite définie par récurrence. Nous commencerons par le théorème de Cesàro qui nous sera utile pour démontrer les autres théorèmes qui viendront par la suite.
Faites ces exercices : exercice 4-1. |
Soient une suite réelle et la suite de ses moyennes de Cesàro, définies par
- .
Si la suite converge vers alors .
- Traitons d'abord le cas . Soit . Par hypothèse, donc il existe tel que :
- .
- D’après l’inégalité triangulaire, on en déduit :
- Comme l’expression ne dépend pas de , son quotient par tend vers quand tend vers l'infini. Il existe donc tel que
- et l'on obtient ainsi :
- ,
- c'est-à-dire :
- .
- Passons au cas général. On suppose maintenant que . Alors, la suite
- converge vers donc, d'après le cas particulier précédent :
- .
- Or
- .
- On a donc bien , c'est-à-dire .
(Pour une généralisation, voir le premier point du théorème de Stolz-Cesàro.)
L'exemple qui suit est une application du théorème de Cesàro.
Soient et (un)n∈ℕ la suite définie par :
Trouver un équivalent de cette suite.
On remarque que cette suite est positive et
- .
Par conséquent :
- donc ;
- .
En appliquant le théorème de Cesàro, on en déduit :
- ,
ce qui prouve que
. |
Deux théorèmes découlant du théorème de Cesàro
[modifier | modifier le wikicode]Les deux théorèmes ci-dessous généralisent respectivement l'exemple qui précède et l'exercice 4-1. Le second se déduit du premier.
Faites ces exercices : exercice 4-2. |
Soient et deux réels strictement positifs et une suite strictement positive telle que
- .
Alors,
- .
En posant , l'hypothèse se réécrit
donc la suite est croissante à partir d'un certain rang, et si sa limite était finie, elle vérifierait , ce qui est absurde. Par conséquent, donc
- , c'est-à-dire .
En appliquant le théorème de Cesàro, on en déduit :
- .
On a donc bien :
- .
Faites ces exercices : exercice 4-3. |
Soient et deux réels strictement positifs et une suite strictement positive telle que
- .
Alors,
- .
D'après les hypothèses, la suite est positive et décroissante (à partir d'un certain rang) donc convergente, et sa limite vérifie : donc .
Par conséquent, donc , d'où, en posant :
- .
On peut donc conclure grâce au théorème 1 :
- .
Un autre théorème
[modifier | modifier le wikicode]Soit (un)n∈ℕ une suite telle que :
avec α > 1 et . La suite (un) converge vers une limite et l'on a :
.
(Pour une généralisation, voir Série numérique/Théorème de Stolz-Cesàro.)
Par comparaison des séries (convergente, comme la série de Riemann ) et (télescopique), la suite converge, vers une limite que l’on notera .
Par hypothèse, pour tout , il existe un entier tel que
donc tel que
- ,
ce qui signifie que
- .
Or on sait (chap. 3) que
- .
Par conséquent, on peut conclure :
- .
Voici une application de ce théorème :
Faites ces exercices : Série harmonique. |
On se propose de trouver un développement limité à un ordre quelconque de la suite (un)n∈ℕ définie par :
- .
À partir d'un développement de à l'ordre d, nous allons trouver un développement de un à l'ordre d – 1.
Par exemple pour d = 3 :
donne d'abord :
et donc, par application du théorème :
la suite converge vers une limite (appelée la constante d’Euler ; ) et
- .
Pour aller plus loin, considérons :
- .
On a
et donc, par application du théorème :
- ,
c’est-à-dire :
- .
Le lecteur, pour s’entraîner, pourra calculer de même le développement à l'ordre 14 :
- .
Compte tenu de la définition de un, on en déduit :
- .